Задание 15 · Стереометрическая задача (доказательство + вычисление)

15.6. Сечения параллелепипедов

Для репетитора: показать ответы

1. Параллелепипед: определения и свойства

Параллелепипед — призма, в основании которой параллелограмм; у него шесть граней, и все они параллелограммы. Грани, не имеющие общего ребра, называются противоположными; вершины, не лежащие в одной грани, — противоположными вершинами. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, — диагональ.

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам; параллелепипед симметричен относительно этой точки.
Прямой параллелепипед — боковые рёбра перпендикулярны основанию. Прямоугольный параллелепипед — прямой, с прямоугольником в основании; три ребра, выходящие из одной вершины, — его измерения $a,b,c$.
В прямоугольном параллелепипеде $d^2=a^2+b^2+c^2$. Куб — прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами $a$: диагональ куба $a\sqrt3$, диагональ грани $a\sqrt2$.

Тело	Площадь поверхности	Объём
Прямой параллелепипед	$S_{\text{бок}}=P\cdot h$, $S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}$	$V=S_{\text{осн}}\cdot h$
Прямоугольный параллелепипед	$S_{\text{полн}}=2(ab+bc+ac)$, $S_{\text{бок}}=2c(a+b)$	$V=abc$
Куб	$S=6a^2$	$V=a^3$

2. Общие правила построения сечения

Сечение — многоугольник, вершины которого лежат на рёбрах, а стороны в гранях. Построить его — значит в каждой пересекаемой грани отметить две точки сечения, провести через них прямую и найти её точки пересечения с рёбрами. Опора — аксиомы стереометрии:

через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость;
если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней;
если две плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой.

3. Главный инструмент для параллелепипеда — параллельные грани

Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны. У параллелепипеда три пары параллельных граней, поэтому:

если секущая плоскость пересекает две противоположные грани, то её следы на них — параллельные отрезки;
если сечение — четырёхугольник, пересекающий четыре боковые грани, то его противоположные стороны попарно параллельны, то есть это параллелограмм;
построив отрезок сечения в одной грани, через известную точку противоположной грани проводят отрезок, ему параллельный (комбинированный метод: свойства параллельных плоскостей вместе с методом следов);
сечение плоскостью, параллельной грани, — многоугольник, равный этой грани.

Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой, то плоскости параллельны. С его помощью строят сечение, проходящее через заданную точку параллельно данной плоскости (например, плоскости $PQR$): сначала строят плоскость $PQR$ методом следов, затем проводят нужные параллельные прямые.

4. Метод следов для параллелепипеда

Постройте след секущей плоскости на плоскости основания: для этого найдите точки пересечения прямых, проведённых через заданные точки в боковых гранях, с плоскостью основания.
Отметьте точки пересечения следа со сторонами основания и найдите точки секущей плоскости на боковых рёбрах.
Соедините найденные точки в гранях. Если след далеко от фигуры, используйте внутреннее проектирование: проектируйте точки на плоскость основания (по боковому ребру) и стройте проекцию сечения.

5. Часто встречающиеся сечения

Диагональное сечение — плоскость через два противоположных боковых ребра (то есть через диагональ основания и параллельное ему боковое ребро): параллелограмм, у прямого параллелепипеда — прямоугольник. Его стороны — боковое ребро и диагональ основания.
Сечение, проходящее через диагональ параллелепипеда (например, $AC_1$), проходит через центр симметрии, поэтому симметрично относительно него; при пересечении боковых рёбер получается параллелограмм.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскость через три вершины, соседние с одной вершиной (например, $B$, $D$, $A_1$ при вершине $A$), даёт правильный треугольник со стороной $a\sqrt2$: его стороны — диагонали граней.

6. Вычисления

Длины сторон сечения — из прямоугольных треугольников в гранях (теорема Пифагора); в кубе диагональ грани $a\sqrt2$.
Площадь сечения: площадь параллелограмма или трапеции; либо через проекцию $S=\dfrac{S_{\text{пр}}}{\cos\varphi}$, где $S_{\text{пр}}$ — площадь проекции сечения на основание, $\varphi$ — угол между плоскостью сечения и основанием.
Отношение объёмов частей, на которые сечение делит параллелепипед: считайте объёмы частей как комбинации призм и пирамид; для куба и прямоугольного параллелепипеда удобно ввести координаты вершин.
Метод координат: оси вдоль трёх рёбер из одной вершины; уравнение плоскости сечения по трём точкам; угол и расстояния — по формулам векторов.

Лайфхак 1. Параллельные грани — параллельные следы. Как только в одной грани построен отрезок сечения, в противоположной грани проводите параллельный ему.

Лайфхак 2. Куб и прямоугольный параллелепипед — это координаты. Поместите вершину в начало координат, оси направьте по рёбрам: все точки получают простые координаты, а плоскость сечения находится по трём точкам.

Лайфхак 3. Центр симметрии. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам; сечение, проходящее через эту точку, делит параллелепипед на две равные по объёму части.

Лайфхак 4. Проверяйте существование сечения. Убедитесь, что построенная плоскость действительно пересекает рёбра в нужных точках, а не только их продолжения.

Типичные ошибки. Принимают за сечение многоугольник, которого не существует, из-за неточного чертежа (на ЕГЭ такой случай встречался, и многие считали четырёхугольник сечением); применяют признаки параллельности без проверки условий; используют неочевидные утверждения без обоснования.

Разобранные примеры

Пример 1

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=6\sqrt{2}$, $AD=10$, $AA_1=16$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=5:3$ и $B_1F:FB=5:11$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.

Решение

Ответ:$97{,}5$

Пример 2

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=2\sqrt{2}$, $AD=6$, $AA_1=10$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=3:2$ и $B_1F:FB=3:7$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.

Решение

Ответ: $22{,}5$

Источники

«Параллелепипед», Википедия
«Построение сечений многогранников», приложение к статье, урок.1сентября.ру (urok.1sept.ru)
«Задание 14. Стереометрическая задача», методические материалы к ЕГЭ профильного уровня, abiturient.ru, 2017
«Методы построения сечений многогранников», методический материал, infourok.ru
«Практикум по решению стереометрических задач», программа элективного курса, школьный сайт (gosuslugi.ru)

У1
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ известны рёбра: AB  =  3, AD  =  2, AA₁  =  5. Точка O принадлежит ребру BB₁ и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины B.
а)  Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C₁, является ромбом.
б)  Найдите площадь этого сечения.
У2
На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E  =  6EA. Точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что $AB = 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ AD  =  12, AA₁  =  14.
а)  Докажите, что плоскость ETD₁ делит ребро BB₁ в отношении 4 : 3.
б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD₁.
У3
Точка E  — середина ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁.
а)  Докажите, что сечение куба плоскостью A₁BE − это равнобокая трапеция.
б)  Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 2.
У4
Точки P и Q  — середины рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно.
а)  Докажите, что прямые B₁P и QB перпендикулярны.
б)  Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 10.
У5
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром длины 1. Точка Р  — середина А₁D₁, точка Q делит отрезок АВ₁ в отношении 2 : 1, считая от вершины А, R  — точка пересечения отрезков ВС₁ и В₁С.
а)  Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR.
б)  Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ АС₁ куба.
У6
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC₁ и пересекающая ребра BB₁ и DD₁ в точках F и E соответственно.
а)  Докажите, что сечение AFC₁E  — параллелограмм.
б)  Найдите площадь сечения, если известно, что AFC₁E  — ромб и AB  =  3, BC  =  2, AA₁  =  5.
У7
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K, L и M  — середины ребер AB, B₁C₁ и DD₁.
а)  Докажите, что сечение куба плоскостью KLM является правильным многоугольником.
б)  Найдите расстояния от точки A до плоскости KLM, если ребро куба равно 2.
У8
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через середину M диагонали AC₁ проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB  =  5, BC  =  3 и AA₁  =  4.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку D₁.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $альфа$ делит ребро A₁B₁.
У9
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром длины 1. Точка Р  — середина A₁D₁, точка Q делит отрезок AB₁ в отношении 2 : 1, считая от вершины A, R  — точка пересечения отрезков BC₁ и B₁C.
а)  Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR.
б)  Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ AC₁ куба.
У10
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 5. На его ребре AA₁ отмечена точка M так, что AM  =  3. Через точки M и B₁ проведена плоскость α, параллельная AC₁.
а)  Докажите, что $D_1 N : NA_1 = 1 : 2,$ если N  — точка пересечения плоскости α с ребром A₁D₁.
б)  Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
У11
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины ребер: AB  =  4, BC  =  2, AA₁  =  2. Точка M  — середина B₁C₁, точка L делит ребро A₁B₁ в отношении 1 : 3, считая от вершины B₁. Плоскость LMC пересекает ребро AB в точке K.
а)  Докажите, что K  — середина AB.
б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью KLM.
У12
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на ребрах AB и D₁C₁ отмечены точки M и N, такие, что D₁N : NC₁  =  BM : MA  =  1 : 3, точка O  — центр грани  BCC₁B₁. Через точки A₁ и O проходит плоскость α параллельно прямой MN и составляет с плоскостями ABC, BB₁C и DCC₁ одинаковые углы.
а)  Докажите, что стороны параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ относятся как 3 : 4 : 5.
б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью α, если ребра параллелепипеда равны 3, 4, 5.
У13
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AD  =  2AA₁, AB  =  3AA₁. Плоскость α проходит через вершины A и C₁ и пересекает ребро CD в точке N такой, что CN  =  2ND.
а)  Докажите, что плоскость α делит ребро A₁B₁ в отношении 2 : 1.
б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью α, если AA₁  =  1.
У14
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, известны рёбра: AB  =  3, AD  =  2, AA₁  =  5. Точка O принадлежит ребру BB₁ и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины B.
а)  Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C₁  — параллелограмм.
б)  Найдите площадь этого сечения.
У15
Точка E  — середина ребра BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁.
а)  Докажите, что сечение куба плоскостью D₁AE есть равнобокая трапеция.
б)  Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 4.
У16
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через диагональ BD₁ проведена плоскость α, параллельная прямой AC.
а)  Докажите, что прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания A₁B₁C₁D₁ параллельна прямой A₁C₁.
б)  Найдите угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если AB  =  5, BC  =  12, CC₁  =  10.
У17
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через середину M диагонали AC₁ проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB  =  13, BC  =  5 и AA₁  =  12.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку D₁.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A₁B₁.
У18
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через середину M диагонали AC₁ проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB  =  17, BC  =  8 и AA₁  =  15.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку D₁.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A₁B₁.
У19
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=3$, $AD=4$, $AA_1 =6$. Через точки $B_1$ и $D$ параллельно $AC$ проведена плоскость, пересекающая ребро $CC_1$ в точке $K$.
а) Докажите, что $K$ — середина $CC_1$.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения.
У20
Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=10$, $AB=12$.
У21
В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $AA_1$ взята точка $E$ так, что $AE=\dfrac{1}{4}$. На ребре $BC$ взята точка $F$ так, что $BF=\dfrac{2}{5}$. Через центр куба $O$ и точки $E$ и $F$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Пусть $K$, $L$ и $M$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с прямыми $B_1C_1$, $BB_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Докажите, что $B_1K=\dfrac{6}{5}$, $B_1L=\dfrac{3}{2}$ и $B_1M=2$.
б) Найдите расстояние от вершины $B_1$ до плоскости $\alpha$.
У22
Дан куб $ABCDA1B1C1D1.$ Диагонали основания $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Найдите сечение куба плоскостью $α,$ проходящей через точку $A$ перпендикулярно прямой $A1O.$
У23
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA1B1C1D1$ , в основании которого лежит квадрат $ABCD$ . На ребрах $BB1$ , $CC1$ , $DD1$ отмечены точки $M, N, K$ соответственно так, что $BM : M B1 = 1 : 5$ , $CN : N C1 = 3 : 1$ , $DK : KD1 = 1 : 2$ .
Найдите отношение отрезков, на которые делит плоскость $M N K$ диагональ $AC$ .
У24
Постройте сечение куба, проходящее через точки $M,$ $K$ и $P.$

а)
$PIC$

б)
$PIC$

в) (точка М находится в верхней грани)
$PIC$

г)
$PIC$
У25
Точка $M$ — середина ребра $CD$ куба $ABCDA1B1C1D1.$ Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки $M$ и $C1$ параллельно $AC.$

Д1
На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA  =  6 : 1, на ребре BB₁  — точка F так, что B₁F : FB = 3 : 4, а точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что $AB = 4 корень из 2 ,$ AD = 30, AA₁  =  35.
а)  Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Д2
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны рёбра $AB = 8,$ $AD = 7$ и $AA_1 = 5.$ Точка W принадлежит ребру DD₁ и делит его в отношении 1 : 4, считая от вершины D.
а)  Докажите, что любая плоскость, проходящая через вершины A₁ и C, делит параллелепипед на две равновеликие фигуры.
б)  Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки C, W и A₁.
Д3
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB  =  4, BC  =  3, AA₁  =  2. Точки P и Q  — середины рёбер A₁B₁ и CC₁ соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B₁C₁ в точке K.
а)  Докажите, что B₁K : KC₁  =  2 : 1.
б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью APQ.
Д4
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через диагональ BD₁ проведена плоскость α, параллельная прямой AC.
а)  Докажите, что прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания A₁B₁C₁D₁ параллельна прямой A₁C₁.
б)  Найдите угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если AB  =  6, BC  =  8, CC₁  =  10.
Д5
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка P лежит на ребре AA₁, причём A₁P : PA  =  3 : 4, BB₁  =  14, AD  =  6. Плоскость DPB₁ пересекает ребро CC₁ в точке N, тангенс угла между прямой  NP и плоскостью основания ABCD равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$
а)  Докажите, что четырехугольник DPB₁N  — ромб.
б)  Найдите площадь сечения DPB₁N.
Д6
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC₁ и пересекающая ребра BB₁ и DD₁ в точках F и E соответственно.
а)  Докажите, что сечение AFC₁E  — параллелограмм.
б)  Найдите площадь сечения, если известно, что AFC₁E  — ромб и AB  =  3, BC  =  2, AA₁  =  5.
Д7
На ребре BB₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка F так, что B₁F : FB  =  1 : 6. Точка  T  — середина ребра  B₁C₁. Известно, что $AB=6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ AD  =  12, AA₁  =  14.
а)  Докажите, что плоскость FTD₁ делит ребро AA₁ в отношении 2 : 5.
б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью FTD₁.
Д8
На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка E так, что $A_1 E: E A=3: 2,$ точка T  — середина ребра B₁C₁. Длины рёбер AD и A A₁ равны 6 и 10 соответственно.
a) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD₁ является равнобедренной трапецией.
б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью ETD₁, если $A B=2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$
Д9
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ $A B=20 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $A D=42$ и $A A_1=56.$ На отрезках BC₁ и BD отмечены точки M и N соответственно так, что прямые AM и A₁N пересекаются и $BN : ND =1: 7.$
а)  Докажите, что угол между прямой D₁M и плоскостью BCC₁ равен 30°.
б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью AMN.
Д10
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через точки B₁ и D₁ проходят плоскости α и β, каждая из которых делит диагональ AC₁ на части, относящиеся друг к другу как 1 : 3. Также AB  =  4, BC  =  3 и высота параллелепипеда равна $дробь: числитель: 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$
а)  Докажите, что плоскости α и β перпендикулярны.
б)  Найдите отношение объемов частей, на которые плоскости α и β делят параллелепипед  ABCDA₁B₁C₁D₁.
Д11
B основании параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб с диагоналями $AC=2,$ $BD = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ пересекающимися в точке О. Ребро AA₁ наклонено к плоскости основания под углом 45°, а вершина A₁ ортогонально проецируется в точку O. Через точку A₁ перпендикулярно боковым ребрам проходит плоскость $альфа .$
а)  Докажите, что сечение призмы плоскостью $альфа$   — квадрат.
б)  Найдите отношение, в котором плоскость $альфа$ делит объем призмы.
Д12
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки M и K  — середины его ребер AB и BC соответственно. Плоскость α проходит через точку B параллельно прямым A₁M и B₁K.
а)  Докажите, что плоскость α проходит через точку D.
б)  Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если его ребра равны 2.
Д13
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD с углом 60° при вершине A. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что четырёхугольник AMKN  — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.
а)  Докажите, что точка M  — середина ребра A₁B₁.
б)  Найдите высоту призмы, если ее объем равен 5 и известно, что точка K делит ребро B₁C₁ в отношении B₁K : KC₁  =  2 : 3.
Д14
На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E  =  4EA. Точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что $AB = 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ AD  =  16, AA₁  =  20.
а)  Докажите, что плоскость ETD₁ делит ребро BB₁ в отношении 3 : 2.
б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD₁.
Д15
Точки P и Q  — середины рёбер AD и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно.
а)  Докажите, что прямые $B_1P$ и QB перпендикулярны.
б)  Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 4.
Д16
На ребре BB₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка F так, что B₁F : FB  =  3 : 4. Точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что $AB=3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ AD  =  12, AA₁  =  14.
а)  Докажите, что плоскость FTD₁ делит ребро AA₁ в отношении 6 : 1.
б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью FTD₁.
Д17
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны рёбра AB  =  5, AD  =  4, AA₁  =  9. Точка O принадлежит ребру BB₁ и делит его в отношении 4 : 5, считая от вершины B.
а)  Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C₁  — параллелограмм.
б)  Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C₁.
Д18
Точка $O$ - точка пересечения диагоналей грани $CDD_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $DA_1C_1$ пересекает диагональ $BD_1$ в точке $F$.
а) Докажите, что $BF:FD_1=A_1F:FO$.
б) Точки $M$ и $N$ - середины ребер $AB$ и $AA_1$ соответственно. Найдите угол между прямой $MN$ и плоскостью $DA_1C_1$.
Д19
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB = 6\sqrt{2}$, $AD = 10$, $AA_1 = 16$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E : EA = 5 : 3$ и $B_1F : FB = 5 : 11$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$.
a) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.
Д20
Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=6$, $AB=4$.
Д21
В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $AA_1$ взята точка $E$ так, что $AE=\dfrac{1}{3}$. На ребре $BC$ взята точка $F$ так, что $BF=\dfrac{3}{5}$. Через центр куба $O$ и точки $E$ и $F$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Пусть $K$, $L$ и $M$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с прямыми $B_1C_1$, $BB_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Докажите, что $B_1K=\dfrac{6}{5}$, $B_1L=2$ и $B_1M=1{,}5$.
б) Найдите расстояние от вершины $B_1$ до плоскости $\alpha$.
Д22
Дан куб $ABCDA1B1C1D1,$ точка $K$ — середина ребра $AA1.$ Постройте сечение куба плоскостью $α,$ проходящей через точки $K$ и $B$ параллельно диагонали $A1C.$
Д23
Дан куб $ABCDA1B1C1D1.$ На ребрах $AA1$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причем $AM :MA1 =2 :1,$ а $N$ — середина $BC.$ Найдите сечение куба плоскостью $(DMN ).$
Д24
Точка $M$ — середина ребра $AD$ куба $ABCDA1B1C1D1.$ Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно прямым $CB1$ и $BD.$
Д25
В кубе $ABCDA1B1C1D1$ точки $M,$ $N$ и $K$ — середины ребер $CD,$ $B1C1$ и $AA1$ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью $(KMN ).$

Тело	Площадь поверхности	Объём
Прямой параллелепипед	\(S_{\text{бок}}=P\cdot h\), \(S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}\)	\(V=S_{\text{осн}}\cdot h\)
Прямоугольный параллелепипед	\(S_{\text{полн}}=2(ab+bc+ac)\), \(S_{\text{бок}}=2c(a+b)\)	\(V=abc\)
Куб	\(S=6a^2\)	\(V=a^3\)