Задание 15 · Стереометрическая задача (доказательство + вычисление)

15.7. Угол между плоскостями

Для репетитора: показать ответы

1. Двугранный угол и угол между плоскостями

Двугранный угол — фигура из двух полуплоскостей с общей границей (ребром), не лежащих в одной плоскости.
Линейный угол двугранного угла — угол, полученный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру. Его градусная мера и есть мера двугранного угла. Построить линейный угол: взять точку на ребре и в каждой грани провести из неё луч, перпендикулярный ребру.
Угол между пересекающимися плоскостями — наименьший из четырёх двугранных углов, которые они образуют; он лежит в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$. Для параллельных плоскостей угол считается равным $0^\circ$.
Плоскости перпендикулярны, если угол между ними равен $90^\circ$.

Что надо знать для обоснований

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым плоскости, перпендикулярна плоскости.
Признаки перпендикулярности плоскостей: плоскость, проходящая через прямую, перпендикулярную другой плоскости, перпендикулярна ей; плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна каждой из них; если плоскости перпендикулярны, то прямая одной плоскости, проведённая перпендикулярно линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости.
Теорема о трёх перпендикулярах: если прямая в плоскости проходит через основание наклонной и перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной (и обратно). На практике это главный способ доказать перпендикулярность и построить линейный угол.

2. Способы нахождения угла между плоскостями

В лекциях по заданию №14 выделяют такие способы:

построение линейного угла двугранного угла;
теорема о площади ортогональной проекции многоугольника;
прямые, параллельные сторонам линейного угла;
вспомогательные плоскости, параллельные данным;
перпендикуляры к плоскостям;
расстояния от точки до плоскости и до прямой;
теорема косинусов для трёхгранного угла;
координатный метод.

Ниже — те, что нужны чаще всего.

3. Способ 1. Линейный угол (классический)

Найдите ребро — прямую пересечения плоскостей. Если плоскости пересекаются не по ребру фигуры, её надо построить (продлите прямые в плоскостях до пересечения).
Через точку на ребре проведите в каждой плоскости перпендикуляр к ребру. Часто это высоты боковых граней, апофемы, высоты равнобедренных треугольников или диагонали.
Угол между этими перпендикулярами — линейный угол. Обоснуйте, что он линейный (перпендикулярность к ребру), например по теореме о трёх перпендикулярах: перпендикуляр к плоскости, наклонная и её проекция.
Найдите угол из получившегося треугольника: прямоугольного (через $\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$) или произвольного (теорема косинусов).

Типовая конфигурация. Нужно найти угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания. Опустите перпендикуляр $PH$ из вершины на плоскость основания, из $H$ проведите $HK$ перпендикулярно ребру основания. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $PK$ тоже перпендикулярна ребру, и $\angle PKH$ — линейный угол. В прямоугольном треугольнике $PHK$: $\operatorname{tg}\angle PKH=\dfrac{PH}{HK}$.

В правильной пирамиде апофема основания (перпендикуляр из центра основания к его стороне) является проекцией апофемы пирамиды на плоскость основания, поэтому угол между этими апофемами — угол между боковой гранью и основанием. Если все двугранные углы при основании равны, высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности.

4. Способ 2. Площадь ортогональной проекции

Площадь проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостями: $S_{\text{пр}}=S\cdot\cos\varphi$. Отсюда $\cos\varphi=\dfrac{S_{\text{пр}}}{S}$.

Способ удобен, когда и сам многоугольник, и его проекция — «хорошие» фигуры (например, сечение и его проекция на основание). Не нужно строить линейный угол и искать перпендикуляры.

5. Способ 3. Метод координат

Угол между плоскостями равен углу между их нормалями (с модулем в числителе — острый угол). Если нормали $\vec n_1$ и $\vec n_2$: $\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}$.

Введите систему координат (оси вдоль рёбер, начало в вершине) и найдите координаты нужных точек.
Составьте уравнения плоскостей $Ax+By+Cz+D=0$ по трём точкам; $\vec n=(A;B;C)$.
Подставьте в формулу. Скалярное произведение $\vec n_1\cdot\vec n_2=A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2$.

Пример: у плоскостей с нормалями $(0;1;-1)$ и $(1;0;-1)$ скалярное произведение равно 1, длины $\sqrt2$ и $\sqrt2$, поэтому $\cos\varphi=\dfrac12$, $\varphi=60^\circ$. Нормаль можно найти и как решение системы $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0$, $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0$.

6. Способ 4. Через перпендикуляры и метод объёмов

Угол между плоскостями можно найти как угол между перпендикулярами к ним: опустите перпендикуляр к каждой из плоскостей из подходящих точек и найдите угол между этими перпендикулярами (в прямоугольном треугольнике). Если длину перпендикуляра трудно найти, его можно получить методом объёмов: высота пирамиды $h=\dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$.

7. Чертёж и запись ответа

Выносной чертёж с линейным углом облегчает вычисления и проверку.
Ответ может быть записан через $\arcsin$, $\arccos$ или $\operatorname{arctg}$; разные записи могут задавать одно и то же значение — проверьте эквивалентность.
Если в координатном решении получилось $|\cos\varphi|>1$ или $|\sin\varphi|>1$, в вычислениях ошибка.

Лайфхак 1. Ищите перпендикуляры к ребру. Высота боковой грани, апофема, высота равнобедренного треугольника — готовые стороны линейного угла.

Лайфхак 2. Площадь проекции экономит построения. Если площади сечения и его проекции находятся легко, $\cos\varphi=\dfrac{S_{\text{пр}}}{S}$ даёт ответ без поиска линейного угла.

Лайфхак 3. Если не получается построить — координаты. Метод координат алгоритмичен и подходит, когда времени мало; но следите за тем, чтобы нормали были найдены верно.

Лайфхак 4. Параллельные плоскости. Угол между данными плоскостями можно заменить углом между плоскостями, им параллельными, если так легче построить линейный угол.

Типичные ошибки. Неверное применение признаков перпендикулярности; ошибки в формулах; неочевидные утверждения без обоснования (в том числе то, что построенный угол — линейный); ошибки в чертеже.

Разобранные примеры

Пример 1

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁  — прямоугольник ABCD, в котором AB  =  12, AD  =  5.

а)  Докажите, что расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно расстоянию между прямыми $A_1D_1$ и BD.

б)  Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD₁, если расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно 13.

Решение

а)  Основания призмы параллельны, поэтому расстояние между прямыми AC и $B_1D_1$ равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Этой же высоте равно расстояние между прямыми $A_1D_1$ и BD.

б)  Из пункта а) высота призмы равна 13. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Поэтому искомый угол равен углу между ребром $DD_1$ и прямой $BD_1.$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDD_1.$ Его катеты равны $DD_1=13,BD= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс AD в квадрате конец аргумента =13.$ Значит, $\angle BD_1D=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: $45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Пример 2

В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ все рёбра равны 6. Через точки A, С₁ и середину T ребра А₁В₁ проведена плоскость.

а)  Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.

Решение

а)  Найдём стороны треугольника ATC₁:

$AT= корень из: начало аргумента: 36 плюс 9 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 45 конец аргумента ,$

$TC_1= корень из: начало аргумента: 36 минус 9 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 27 конец аргумента ,$

$AC_1= корень из: начало аргумента: 36 плюс 36 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 72 конец аргумента .$

Заметим, что

$AC_1 в квадрате =72=45 плюс 27=AT в квадрате плюс TC_1 в квадрате .$

Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ATC₁ является прямоугольным.

б)  Так как прямая C₁T перпендикулярна прямым A₁T и AT, угол A₁TA искомый. Найдём тангенс угла A₁TA:

$тангенс \angleA_1TA= дробь: числитель: AA_1, знаменатель: A_1T конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: 3 конец дроби =2.$

Ответ: $арктангенс 2.$

Источники

«Угол между плоскостями», лекция А. А. Прокофьева к заданию 14 ЕГЭ, материалы школы № 1298 (sch1298sz.mskobr.ru)
«Стереометрия: параллельность, перпендикулярность, углы, расстояния», конспект, физический факультет МГУ (am.phys.msu.ru)
«Задание 14. Стереометрическая задача», методические материалы к ЕГЭ профильного уровня, abiturient.ru, 2017
«Координатный метод для углов и расстояний в стереометрии», научная статья, Тюменский государственный университет (elib.utmn.ru), 2022
«Метод объёмов в стереометрии», урок.1сентября.ру (urok.1sept.ru)
«Теорема о трёх перпендикулярах», Википедия

У1
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 7. На его ребре BB₁ отмечена точка K так. что KB  =  4. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.
а)  Докажите, что A₁P : PB₁  =  1 : 3, где P  — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.
б)  Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
У2
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квадрат ABCD со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка E лежит на диагонали BD₁, причём BE  =  1.
а)  Постройте сечение призмы плоскостью A₁C₁E.
б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
У3
Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между этими хордами равно $2 корень из: начало аргумента: 197 конец аргумента .$
а)  Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.
б)  Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
У4
На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 3 : 4. Точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB = 9, AD = 6 , AA₁ = 14.
а)  В каком отношении плоскость ETD₁ делит ребро BB₁?
б)  Найдите угол между плоскостью ETD₁ и плоскостью AA₁B₁.
У5
Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, у которой сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 3. Через точки A, C₁ и середину T ребра A₁B₁ проведена плоскость.
а)  Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
У6
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью α содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC, является ромб.
а)  Докажите, что грань ABCD  — квадрат.
б)  Найдите угол между плоскостями α и BCC₁, если AA₁  =  6, AB  =  4.
У7
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка K  — середина ребра C₁D₁.
а)  Докажите, что расстояние от вершины A₁ до прямой BK равно ребру куба.
б)  Найдите угол между плоскостями KBA₁ и BCC₁.
У8
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна 2, а диагональ боковой грани равна $корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$
а)  Докажите, что объем пирамиды $A_1BCC_1B_1$ вдвое больше объема пирамиды $AA_1BC.$
б)  Найдите угол между плоскостью A₁BC и плоскостью основания призмы.
У9
Высота цилиндра равна 3. Равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной 10 и ∠A  =  120° расположен так, что его вершина A лежит на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины B и C  — на окружности верхнего основания.
а)  Найдите угол между плоскостью ABC и плоскостью основания цилиндра.
б)  Докажите, что радиус основания цилиндра больше, чем AB.
У10
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC  =  SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а)  Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б)  Найдите угол между плоскостями α и SBC.
У11
Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 2. На ребре BB₁ отмечена точка K так, что $KB=1,6.$ Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.
а)  Докажите, что $A_1 P: P B_1=3: 1,$ где P  — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.
б)  Найдите угол между плоскостями α и BB₁C₁.
У12
Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно $корень из: начало аргумента: 730 конец аргумента .$
а)  Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.
б)  Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
У13
На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA  =  1 : 2, на ребре BB₁  — точка F так, что B₁F : FB  =  1 : 5, а точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB  =  4, AD  =  2, AA₁  =  6.
а)  Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б)  Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.
У14
Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1,$ у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, $C_1$ и середину T ребра $A_1B_1$ проведена плоскость.
а)  Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью $ABC.$
У15
Основание прямой четырехугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$   — прямоугольник ABCD, в котором AB  =  4, AD  =  3.
а)  Докажите, что расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно расстоянию между прямыми $A_1D_1$ и BD.
б)  Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD₁, если расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно 5.
У16
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка K  — середина ребра C₁D₁.
а)  Докажите, что расстояние от вершины A₁ до прямой BK равно ребру куба.
б)  Найдите угол между плоскостями KBA₁ и ADD₁.
У17
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 3, а диагональ боковой грани равна 5.
а)  Докажите, что объем пирамиды $A_1BCC_1B_1$ вдвое больше объема пирамиды $AA_1BC.$
б)  Найдите угол между плоскостью $A_1BC$ и плоскостью основания призмы.
У18
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA  =  7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC  =  SK : KC  =  1 : 2. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а)  Докажите, что плоскость α параллельна SA
б)  Найдите угол между плоскостями $альфа$ и SBC.
У19
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S  — вершина. Точка M  — середина ребра SA, точка K  — середина ребра SC.
а)  Докажите, что прямые SB и MK перпендикулярны.
б)  Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB  =  14, SC  =  16.
У20
Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁, все рёбра которой равны 6. Через точки A, С₁ и середину T ребра А₁В₁ проведена плоскость.
а)  Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
У21
В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE : EA₁  =  2 : 3.
а)  Докажите, что точки A и C₁ равноудалены от плоскости BED₁.
б)  Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.
У22
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S  — вершина. Точка M  — середина ребра SA, точка K  — середина ребра SC.
а)  Докажите, что прямые SB и MK перпендикулярны.
б)  Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 2, SC = 4.
У23
Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁, все рёбра которой равны 6. Через точки A, С₁ и середину T ребра А₁В₁ проведена плоскость.
а)  Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
У24
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка M   — середина ребра SA, точка K   — середина ребра SC.
а)  Докажите, что прямые SB и MK перпендикулярны.
б)  Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 6, SC = 11.
У25
В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 5. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE : EA₁  =  2 : 1.
а)  Докажите, что вершины A₁ и С равноудалены от плоскости BED₁.
б)  Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.

Д1
Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 12. Точки M и N  — середины рёбер AA₁ и A₁C₁ соответственно.
а)  Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б)  Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁.
Д2
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M  — середина ребра SA, точка K  — середина ребра SB. Кроме того известно, что SC = 6, BC = 4.
а)  Докажите, что BMC -- равнобедренный, остроугольный треугольник.
б)  Найдите угол между плоскостями CMK и ABC.
Д3
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка M   — середина ребра SA, точка K   — середина ребра SC.
а)  Докажите, что прямые SB и MK перпендикулярны.
б)  Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 8, SC = 6.
Д4
Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁, все рёбра которой равны 4. Через точки A, С₁ и середину T ребра А₁В₁ проведена плоскость.
а)  Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
Д5
В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка F середина ребра AB, а точка E делит ребро DD₁ в отношении DE : ED₁  =  6 : 1. Через точки F и E проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B₁D в точке О.
а)  Докажите, что плоскость α делит диагональ DB₁ в отношении DO : OB₁  =  2 : 3.
б)  Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA₁B₁C₁D₁  — правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а высота равна 7.
Д6
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B  — точка Q, причём AP  =  BQ  =  SA.
а)  Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.
б)  Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.
Д7
В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE : EA₁  =  1 : 2.
а)  Докажите, что точки A и C₁ равноудалены от плоскости BED₁.
б)  Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.
Д8
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1.
а)  Докажите, что прямые SB и SD перпендикулярны.
б)  Найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD.
Д9
В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M сторона основания AB равна 6. На ребре AB отмечена точка K так, что AK : KB  =  5 : 1.
а)  Докажите, что объем пирамиды делится плоскостью MKC в отношении 5 : 1.
б)  Сечение MKC является равнобедренным треугольником с основанием MK. Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.
Д10
В треугольной пирамиде SABC точка Е  — середина ребра SA, точка F  — середина ребра SB, О  — точка пересечения медиан треугольника АВС.
а)  Докажите, что плоскость CEF делит отрезок SO в отношении 3 : 2, считая от вершины S.
б)  Найдите косинус угла между плоскостями CEF и EFT, если точка Т  — середина SC, пирамида SABC правильная, площадь треугольника АВС равна $27 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а SB  =  10.
Д11
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M  — середина ребра SA, точка K  — середина ребра SB.
а)  Докажите, что прямые SC и AB перпендикулярны.
б)  Найдите угол между плоскостями CMK и ABC, если SC  =  8, AB  =  6.
Д12
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S  — вершина. Точка M  — середина ребра SA, точка K  — середина ребра SC.
а)  Докажите, что прямые SB и MK перпендикулярны.
б)Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB  =  10, SC  =  8.
Д13
Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁, все рёбра которой равны 6. Через точки A, С₁ и середину T ребра А₁В₁ проведена плоскость.
а)  Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
Д14
В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка M середина ребра C₁D₁, а точка K делит ребро AA₁ в отношении $\ левая квадратная скобка AK:K{{A_1=1:3.$ Через точки K и M проведена плоскость α, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ A₁C в точке O.
а)  Докажите, что плоскость α делит диагональ A₁C в отношении $A_1O:OC=3:5.$
б)  Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ― куб.
Д15
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 6, а сторона основания равна 4. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B  — точка Q, причём AP  =  BQ  =  SA.
а)  Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.
б)  Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.
Д16
В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 6. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE : EA₁  =  2 : 1.
а)  Докажите, что точки A и C₁ равноудалены от плоскости BED₁.
б)  Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.
Д17
В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M сторона основания AB равна 6. На ребре AB отмечена точка K, так что AK : KB  =  5 : 1.
а)  Докажите, что объем пирамиды делится плоскостью MKC в отношении 5 : 1.
б)  Сечение MKC является равнобедренным треугольником с основанием MC. Найдите угол между плоскостями MLC и MBC, где L  — середина AB.
Д18
Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 3. На ребре BB₁ отмечена точка K так, что $KB=2,5.$ Через точки K и C₁ проведена плоскость $альфа ,$ параллельная прямой BD₁.
а)  Докажите, что $A_1 P: P B_1=4: 1,$ где P  — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.
б)  Найдите угол между плоскостями α и BB₁C₁.
Д19
На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA  =  2 : 3, на ребре BB₁  — точка F так, что B₁F : FB  =  1 : 4, а точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB  =  3, AD  =  4, AA₁  =  10.
а)  Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б)  Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.
Д20
Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁  — прямоугольник ABCD, в котором AB  =  5, $AD= корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента .$
а)  Докажите, что расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно расстоянию между прямыми BD и $A_1D_1.$
б)  Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD₁, если расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно  $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
Д21
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 3. На ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB  =  2. Через точки K и С₁ проведена плоскость $альфа ,$ параллельная прямой BD₁.
а)  Докажите, что плоскость $альфа$ проходит через середину ребра A₁B₁.
б)  Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁С.
Д22
На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 4 : 3. Точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB = 5, AD = 8, AA₁ = 14.
а)  В каком отношении плоскость ETD₁ делит ребро BB₁?
б)  Найдите угол между плоскостью ETD₁ и плоскостью AA₁B₁.
Д23
В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE : EA₁  =  2 : 1.
а)  Докажите, что точки A и C₁ равноудалены от плоскости BED₁.
б)  Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.
Д24
На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA  =  2 : 3, на ребре BB₁  — точка F так, что B₁F : FB  =  1 : 4, а точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB  =  3, AD  =  2, AA₁  =  5.
а)  Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б)  Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.
Д25
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка M   — середина ребра SA, точка K   — середина ребра SC.
а)  Докажите, что прямые SB и MK перпендикулярны.
б)  Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 10, SC = 9.