Задание 15 · Стереометрическая задача (доказательство + вычисление)

15.8. Угол между плоскостями граней многогранника

Для репетитора: показать ответы

1. О чём задача

Здесь нужно найти угол между плоскостями двух граней многогранника — как правило, соседних граней, то есть двугранный угол при ребре, — или между гранью и основанием. Это частный случай угла между плоскостями, поэтому работают все те же определения и способы; особенность в том, что общее ребро уже есть на чертеже.

2. Определения

Двугранный угол образован двумя полуплоскостями (гранями) с общей границей — ребром.
Линейный угол двугранного угла получается, если пересечь его плоскостью, перпендикулярной ребру; его мера — мера двугранного угла. Чтобы построить его в многограннике, из одной точки ребра проводят в обеих гранях лучи, перпендикулярные ребру.
Угол между пересекающимися плоскостями — наименьший из четырёх образуемых двугранных углов; он не превосходит $90^\circ$. Поэтому двугранный угол многогранника при ребре может быть тупым, а угол между плоскостями его граней — это $180^\circ$ минус такой угол.
Если у призмы провести перпендикулярное сечение (плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам), то его углы — линейные углы двугранных углов при боковых рёбрах. У прямой призмы боковые грани перпендикулярны основаниям, и угол между боковой гранью и основанием равен $90^\circ$.

3. Алгоритм построения линейного угла в многограннике

Определите общее ребро граней (если плоскости пересекаются не по ребру, постройте прямую их пересечения).
Выберите точку на ребре и проведите в каждой грани перпендикуляр к ребру. Типичные кандидаты: высота грани (треугольника, параллелограмма), апофема правильной пирамиды, перпендикуляр из вершины к стороне основания.
Докажите, что построенный угол — линейный. Часто для этого используют теорему о трёх перпендикулярах: если $PH$ — перпендикуляр к плоскости основания, а $HK$ перпендикулярна ребру, то и наклонная $PK$ перпендикулярна ребру.
Найдите угол из треугольника: если одна из сторон — высота многогранника, треугольник прямоугольный: $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{PH}{HK}$, $\sin\varphi=\dfrac{PH}{PK}$; иначе — теорема косинусов.

4. Типовые ситуации

Боковая грань и основание пирамиды

Опустите высоту пирамиды $PH$ на основание, проведите $HK\perp$ ребру основания. Угол $PKH$ — угол между боковой гранью и основанием. В правильной пирамиде $H$ — центр основания, $PK$ — апофема, $HK$ — апофема основания (радиус вписанной окружности основания $r$), и $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{h}{r}$. Если у пирамиды все двугранные углы при основании равны, её высота проходит через центр вписанной окружности основания.

Две боковые грани пирамиды

Общее ребро — боковое ребро. Из вершины основания (или из середины ребра) опускают перпендикуляры к этому ребру в каждой грани; линейным углом будет угол между ними. Это часто высоты равных боковых треугольников, а угол находят по теореме косинусов в треугольнике, третья сторона которого — отрезок основания.

Куб и прямоугольный параллелепипед

Соседние грани перпендикулярны. Для «косых» плоскостей, например $AB_1C$ и $BC_1D$ в кубе, пользуйтесь координатами: оси вдоль рёбер, нормали к плоскостям — по трём точкам. Для плоскостей $AD_1C_1$ и $A_1D_1C$ нормали $(0;1;-1)$ и $(1;0;-1)$ дают $\cos\varphi=\dfrac12$, то есть $60^\circ$.

Призма

Угол между боковой гранью и основанием в наклонной призме — линейный угол, построенный из точки основания; угол между двумя боковыми гранями измеряют углом перпендикулярного сечения.

5. Другие способы

Площадь проекции: $\cos\varphi=\dfrac{S_{\text{пр}}}{S}$, где $S$ — площадь грани (многоугольника), $S_{\text{пр}}$ — площадь её проекции на другую грань или основание.
Метод координат: $\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}$, нормали — из уравнений плоскостей $Ax+By+Cz+D=0$ ($\vec n=(A;B;C)$).
Перпендикуляры к плоскостям: угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к ним; длины перпендикуляров можно искать методом объёмов.
Параллельные плоскости: искомый угол не изменится, если заменить плоскость параллельной ей, — это иногда упрощает построение.

6. Советы по оформлению

Сначала сделайте выносной чертёж треугольника, содержащего линейный угол, и подпишите на нём длины.
Явно докажите перпендикулярность к ребру: «по теореме о трёх перпендикулярах…».
Ответ можно записать через $\arcsin$, $\arccos$ или $\operatorname{arctg}$; эквивалентные записи допустимы.

Лайфхак 1. Ищите готовую высоту. Если грань — равнобедренный треугольник, перпендикуляр к основанию-ребру — это его высота (и медиана); не стройте лишнего.

Лайфхак 2. Высота многогранника даёт прямоугольный треугольник. Угол между гранью и основанием почти всегда лежит в треугольнике с высотой многогранника, проекцией и апофемой.

Лайфхак 3. Грань и её проекция. Если площадь грани и площадь её проекции на основание считаются без труда, угол находится из $\cos\varphi=\dfrac{S_{\text{пр}}}{S}$.

Лайфхак 4. Угол между плоскостями не бывает больше прямого. Если в расчёте получили тупой угол, возьмите смежный.

Типичные ошибки. Неверное применение признаков перпендикулярности; неочевидные утверждения без обоснования (например, что построенный угол линейный); ошибки в чертеже.

Разобранные примеры

Пример 1

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=6$, $AB=4$.

Решение

Ответ: $\operatorname{arctg}\dfrac{5}{3}$

Пример 2

Решение

Ответ: $\operatorname{arctg}\dfrac{13}{5}$

Источники

«Стереометрия: параллельность, перпендикулярность, углы, расстояния», конспект, физический факультет МГУ (am.phys.msu.ru)
«Угол между плоскостями», лекция А. А. Прокофьева к заданию 14 ЕГЭ, материалы школы № 1298 (sch1298sz.mskobr.ru)
«Призма (геометрия)», Википедия
«Пирамида (геометрия)», znanierussia.ru; «Пирамида», Большая российская энциклопедия (bigenc.ru)
«Координатный метод для углов и расстояний в стереометрии», научная статья, Тюменский государственный университет (elib.utmn.ru), 2022
«Задание 14. Стереометрическая задача», методические материалы к ЕГЭ профильного уровня, abiturient.ru, 2017

У1
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁
а)  Докажите, что плоскости $AB_1D_1$ и $A_1BC$ перпендикулярны.
б)  Найдите угол между плоскостями AB₁D₁ и ACD₁.
У2
Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби .$
а)  Докажите, что высота пирамиды, проведенная к боковой грани, больше чем высота пирамиды, проведенная к основанию.
б)  Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.
У3
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны рёбра AB  =  35, AD  =  12, CC₁  =  21.
а)  Докажите, что высоты треугольников ABD и A₁BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б)  Найдите угол между плоскостями ABC и A₁DB.
У4
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.
а)  Докажите, что плоскости AA₁D₁ и DB₁F₁ перпендикулярны.
б)  Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB₁F₁.
У5
Дана прямая призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Основание призмы  — ромб с острым углом $A=60 градусов.$
а)   Докажите, что $AD_1=DB_1.$
б)  Найдите угол между плоскостью AC₁B и плоскостью ABD, если высота призмы равна 5, а ребро основания равно 4.
У6
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания $AB=7 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а боковое ребро AA₁  =  8.
а)  Докажите, что плоскость BCA₁ перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро AA₁ и середину ребра B₁C₁.
б)  Найдите тангенс угла между плоскостями BCA₁ и BB₁C₁.
У7
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка D  — середина ребра CC₁.
а)  Докажите, что плоскость $ADB_1$ делит объем призмы пополам.
б)  Найдите угол между плоскостями ABC и ADB₁.
У8
Дана правильная треугольная пирамида.
а)  Докажите, что её противоположные ребра перпендикулярны.
б)  Пусть известно, что косинус угла между боковой гранью и основанием равен $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$ Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.
У9
Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, в котором ВС  =  2АВ. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.
а)  Докажите, что BP : PQ = 1 : 3.
б)  Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB  =  BC.
У10
В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой ребра AB.
а)  Докажите, что SA  =  SC.
б)  Найдите угол между плоскостями SAC и ABC, если AB  =  30, SC  =  17, СB  =  24.
У11
Дана четырехугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании, AB  =  2, $BC=2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Высота пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания. Из вершин A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а)  Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б)  Найдите угол между гранями SBA и SBC, если ребро SD  =  4.
У12
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
а)  Докажите, что плоскость $B_1CD_1$ перпендикулярна прямой $AC_1.$
б)  Найдите косинус угла между плоскостями AB₁D₁ и ACD₁.
У13
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
а)  Докажите, что прямая B₁D перпендикулярна плоскости A₁BC₁.
б)  Найдите угол между плоскостями AB₁C₁ и A₁B₁C.
У14
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания $AB=7 корень из 3 ,$ а боковое ребро AA₁  =  8.
а)  Докажите, что плоскость BCA₁ перпендикулярна плоскости проходящей через ребро AA₁ и середину ребра B₁C₁.
б)  Найдите тангенс угла между плоскостями BCA₁ и BB₁C₁.
У15
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ стороны основания равны 3, боковые ребра равны 4, точка D  — середина ребра $CC_1.$
а)  Докажите, что плоскость $ADB_1$ делит объем призмы пополам.
б)  Найдите угол между плоскостями ABC и $ADB_1.$
У16
В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой ребра AB.
а)  Докажите, что SA  =  SC.
б)  Найдите угол между плоскостями SAC и ABC, если AC  =  16, AB  =  20, SA  =  26.
У17
Дана прямая призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Основание призмы  — ромб.
а)  Докажите, что прямая A₁C образует с прямыми AB и AD равные углы.
б)  Найдите угол между плоскостью AC₁B и плоскостью ABD, если известно, что сторона основания равна 8, острый угол основания равен 45°, а высота призмы равна 6.
У18
Дана правильная треугольная пирамида $DABC,$ высота $DO$ которой равна $h,$ а сторона основания $ABC$ равна $a.$ Найдите угол между основанием и боковой гранью пирамиды.
У19
Докажите теорему косинусов для трехгранного угла:
Косинус плоского угла $ϕ$ трехгранного угла равен произведению косинусов двух других плоских углов $α$ и $β$ трехгранного угла, сложенному с произведением синусов этих углов на косинус двугранного угла $ϕдв.$ при противолежащем ему ребре:

$cosϕ = cosα cosβ +sinαsinβcosϕдв.$
У20
Найдите двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды, если угол между ее боковыми ребрами равен $ϕ.$
У21
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой $h$ и двугранным углом $α$ при боковом ребре.
У22
Двугранный угол при ребре $AB$ тетраэдра $ABCD$ равен $π. 4$ Найдите $∠DAC$ , если $π ∠DAB = 2$ и $3π- ∠BAC = 4 .$
У23
Докажите, что если $S$ и $P$ — площади двух граней тетраэдра, $a$ — их общее ребро, а $α$ — двугранный угол между ними, то объем этого тетраэдра равен

$2SP sinα V = ---3a---.$
У24
Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со сторонами $a$ и $b.$ Две смежные боковые грани составляют с основанием острые углы, равные $α$ и $β$ соответственно. Найдите объем призмы, если боковое ребро равно $c.$
У25
Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13, 14 и 15. Все двугранные углы при сторонах основания равны $∘ 75 .$ Найдите высоту пирамиды.

Д1
Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$
а)  Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен $арккосинус дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$
б)  Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.
Д2
Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.
а)  Докажите, что плоскости $A_1BD$ и $B_1CD_1$ параллельны.
б)  Пусть дополнительно известно, что параллелепипед прямоугольный, кроме того AB  =  4, BC  =  6, CC₁  =  4. Найдите тангенс угла между плоскостями CDD₁ и BDA₁.
Д3
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 7, точка D  — середина ребра BB₁.
а)  Пусть прямые C₁D и BC пересекаются в точке E. Докажите, что угол EAC  — прямой.
б)  Найдите угол между плоскостями ABC и ADC₁.
Д4
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
а)  Докажите, что прямая BD₁ перпендикулярна плоскости ACB₁.
б)  Найдите угол между плоскостями AD₁C₁ и A₁D₁C.
Д5
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания $AB=8 корень из 3 ,$ а боковое ребро AA₁  =  5.
а)  Найдите длину отрезка A₁K, где K  — середина ребра BC.
б)  Найдите тангенс угла между плоскостями BCA₁ и BB₁C₁.
Д6
Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна $4 корень из 2 .$ Вершина пирамиды S проецируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а)  Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б)  Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.
Д7
Дана прямая призма АВСA₁B₁C₁.
а)  Докажите, что линия пересечения плоскостей АВС₁ и А₁В₁С параллельна основаниям призмы.
б)  Найдите угол между плоскостями АВС₁ и А₁В₁С, если известно, что АС  =  1, ВС  =  2, АВ  =   $корень из 5 ,$ СС₁  =  3.
Д8
Дана правильная треугольная пирамида.
а)  Докажите, что её противоположные ребра перпендикулярны.
б)  Пусть косинус угла между боковой гранью и основанием равен $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби .$ Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.
Д9
Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причем $AB=3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ BC  =  6. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB.
а)  Докажите, что P  — середина BQ.
б)  Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если SD  =  9.
Д10
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ cо стороной основания $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и боковым ребром 1.
а)  Докажите, что плоскости ACA₁ и B₁CE₁ перпендикулярны.
б)  Найдите угол между плоскостями B₁CE₁ и ABC.
Д11
Дана четырехугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании, AB  =  6 и $BC=6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Высота пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания. Из вершин А и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а)  Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б)  Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD  =  12.
Д12
Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.
а)  Докажите, что плоскости $A_1BD$ и $B_1CD_1$ параллельны.
б)  Пусть известно еще, что параллелепипед прямоугольный, а кроме того AB  =  6, BC  =  6, CC₁  =  4. Найдите тангенс угла между плоскостями ACD₁ и A₁B₁C₁.
Д13
Дана прямая призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Основание призмы  — ромб со стороной 4 и острым углом 45°. Высота призмы равна 3.
а)  Докажите, что площадь боковой поверхности призмы составляет более двух третей площади полной поверхности призмы.
б)  Найдите угол между плоскостью AC₁B и плоскостью ABD.
Д14
Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна $3 корень из 2 ,$ а BC равна 6. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а)  Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б)  Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 9.
Д15
Дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Точка M  — середина $BC.$ Косинус угла между боковой гранью и основанием пирамиды равен $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$
а)  Докажите, что её противоположные ребра перпендикулярны.
б)  Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды, если SM  =  4.
Д16
Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.
а)  Докажите, что плоскости $A_1BD$ и $B_1CD_1$ параллельны.
б)  Пусть дополнительно известно, что параллелепипед прямоугольный, кроме того AB  =  6, BC  =  8, CC₁  =  16. Найдите угол между плоскостями ABC и A₁DB.
Д17
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D  — середина ребра CC₁.
а)  Докажите, что плоскость $AB_1D$ делит объем призмы пополам.
б)  Найдите угол между плоскостями ABC и ADB₁.
Д18
Основанием пирамиды $SABCD$ является равнобедренная трапеция $ABCD$ , в которой $AB = BC =a$ , $AD = 2a$ . Плоскости граней $SAB$ и $SCD$ перпендикулярны плоскости основания пирамиды. Найдите высоту пирамиды, если высота грани $SAD$ , проведенная из вершины $S$ , равна $2a$ .
Д19
Докажите теорему косинусов для двугранного угла:
Двугранный угол между плоскостями $α$ и $β$ , пересекающимися по прямой $l$ , равен $ϕ.$ $A ∈ α$ , $B ∈ β$ , $AA1 ⊥ l$ , $BB1 ⊥l$ . Тогда верно равенство

$AB2 = AA21+ BB21 − 2⋅AA1 ⋅BB1 cosϕ + A1B12$
Д20
Основанием пирамиды $SABC$ с высотой $SH$ служит прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$ , а двугранные углы при ребрах основания равны по $5 α = arcsin 13.$ Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если $AH = 1$ , $√- BH = 3 2.$
Д21
В правильной пирамиде $SABCD$ с вершиной $S$ боковое ребро равно $a$ , а двугранный угол при этом ребре равен $ϕ.$ Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки $B,D$ и середину $M$ ребра $SC.$
Д22
Двугранный угол при ребре $AC$ тетраэдра $ABCD$ равен $π-. 4$ Найдите $BD,$ если

$AB = 2, AD =√2, ∠BAC = π, ∠CAD = π. 6 2$
Д23
Докажите, что плоскость, делящая пополам двугранный угол при ребре тетраэдра, делит противоположное ребро на части, пропорциональные площадям граней, заключающих этот угол.
Д24
Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $∘ 45 .$ Найдите высоту пирамиды.
Д25
Основание пирамиды — равнобедренный прямоугольный треугольник. Каждый из двугранных углов при основании равен $β.$ Высота пирамиды равна $h$ . Найдите площадь основания.