Задание 15 · Стереометрическая задача (доказательство + вычисление)

15.9. Угол между прямой и плоскостью

Для репетитора: показать ответы

1. Определение угла между прямой и плоскостью

Если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей, то углом между прямой и плоскостью называют угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.
Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен $90^\circ$; если параллельна плоскости или лежит в ней — $0^\circ$.
Проекция точки на плоскость — основание перпендикуляра из точки на плоскость (или сама точка, если она лежит в плоскости). Проекция прямой, не перпендикулярной плоскости, — прямая.

Пусть из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $AH$ и наклонная $AM$; $HM$ — проекция наклонной. Тогда угол $\varphi$ между прямой $AM$ и плоскостью — это $\angle AMH$ в прямоугольном треугольнике $AHM$:

$\sin\varphi=\dfrac{AH}{AM}$, $\cos\varphi=\dfrac{HM}{AM}$, $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{AH}{HM}$.

Перпендикуляр $AH$ короче любой наклонной: \(AH

2. Способ 1. Классический: наклонная — перпендикуляр — проекция

Найдите точку пересечения прямой с плоскостью (если прямая лежит вне фигуры, её продлевают).
Выберите на прямой удобную точку и опустите из неё перпендикуляр на плоскость. Обоснуйте перпендикулярность (признак перпендикулярности прямой и плоскости или теорема о трёх перпендикулярах).
Соедините основание перпендикуляра с точкой пересечения: это проекция прямой.
Из прямоугольного треугольника найдите искомый угол по $\sin$, $\cos$ или $\operatorname{tg}$.

Если плоскость — основание пирамиды или призмы, а прямая — боковое ребро или диагональ, то перпендикуляром служит высота многогранника, а проекцией — отрезок в основании (например, половина диагонали основания правильной четырёхугольной пирамиды).

Угол бокового ребра с основанием в правильной пирамиде: проекция ребра — радиус описанной около основания окружности $R$, а высота пирамиды $h$; $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac hR$, $\cos\varphi=\dfrac Rl$, где $l$ — длина бокового ребра. Если все боковые рёбра пирамиды равны, высота проходит через центр описанной около основания окружности.

3. Способ 2. Через расстояние от точки до плоскости

Если перпендикуляр построить трудно, достаточно знать расстояние $d$ от какой-либо точки прямой до плоскости и длину $l$ отрезка от этой точки до точки пересечения прямой с плоскостью. Тогда $\sin\varphi=\dfrac{d}{l}$. Расстояние $d$ находят методом объёмов ($d=\dfrac{3V}{S}$) или координатами. Метод объёмов позволяет находить угол между прямой и плоскостью без построения проекции.

4. Способ 3. Метод координат

Пусть $\vec a$ — направляющий вектор прямой, $\vec n$ — нормаль плоскости. Угол $\varphi$ между прямой и плоскостью дополняет до $90^\circ$ угол между $\vec a$ и $\vec n$: $\sin\varphi=\dfrac{|\vec a\cdot\vec n|}{|\vec a|\cdot|\vec n|}$.

Введите систему координат; запишите координаты точек.
Найдите $\vec a$: вектор $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1)$ для двух точек прямой.
Найдите уравнение плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ по трём её точкам; $\vec n=(A;B;C)$.
Подсчитайте синус; угол — $\arcsin$ полученного числа.

Скалярное произведение $\vec a\cdot\vec n=a_xA+a_yB+a_zC$; длина вектора $|\vec a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$. Модуль в числителе нужен, чтобы угол получился острым (или прямым).

5. Дополнительные факты

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна ей; две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.
Параллельные прямые образуют с плоскостью равные углы — можно заменить прямую более удобной параллельной ей.
Если одну из двух плоскостей заменить параллельной (или перенести прямую параллельно), угол не изменится.

6. Как действовать в задаче №15

Нарисуйте фигуру крупно и найдите в ней высоту (перпендикуляр к нужной плоскости).
Выразите нужные отрезки через данные; для сложных фигур используйте теорему Пифагора и подобие.
Если проекцию построить трудно, найдите расстояние от точки до плоскости и вычислите $\sin\varphi=\dfrac dl$.
Если фигура «прямоугольная», введите координаты.
Запишите ответ (через $\arcsin$, $\arccos$ или $\operatorname{arctg}$); эквивалентные записи допустимы.

Лайфхак 1. Синус через расстояние. Угол между прямой и плоскостью проще всего найти как $\sin\varphi=\dfrac{d}{l}$: расстояние от точки прямой до плоскости делим на длину отрезка от этой точки до плоскости вдоль прямой.

Лайфхак 2. Метод объёмов — без проекции. Если проекцию строить долго, найдите расстояние до плоскости методом объёмов, а потом разделите на длину наклонной.

Лайфхак 3. Проверка синуса. В координатном методе значение $\sin\varphi$ должно лежать в $[0;1]$; если получилось больше, ошибка в нормали или в координатах.

Лайфхак 4. Замените прямую параллельной. Угол с плоскостью одинаков у всех параллельных прямых — берите ту, для которой проекция строится проще.

Типичные ошибки. Неверное применение признаков перпендикулярности прямой и плоскости; неочевидные утверждения без обоснования (в том числе что отрезок — перпендикуляр или проекция); ошибки в чертеже.

Разобранные примеры

Пример 1

а)  Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что все грани тетраэдра ACB₁D₁  — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).

б)  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AA₁  =  4, A₁D₁  =  6, C₁D₁  =  6, найдите тангенс угла между плоскостью ADD₁ и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и B₁C₁.

Решение

а)  Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда  — равные прямоугольники, поэтому их диагонали равны. Таким образом, $AC=B_1D_1,$ $CB_1=AD_1,$ $AB_1=CD_1.$ Значит, все грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

б)  Найдем угол между прямой EF и плоскостью BB₁C₁C. Точка B  — проекция точки E на эту плоскость. Искомый угол есть $\angle EFB.$ $EB= дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 конец дроби =3.$ $FB= корень из: начало аргумента: 4 в квадрате плюс 3 в квадрате конец аргумента =5.$ $тангенс \angle EFB= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Пример 2

В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка K  — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC  =  1 : 3.

а)  Докажите, что KM перпендикулярно AC.

б)  Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABC, если AB  =  12, AC  =  16 и AA₁  =  6.

Решение

а)  Пусть L  — середина ребра AB, E  — середина ребра AС. Треугольник ABC равнобедренный, поэтому отрезок BE перпендикулярен отрезку AС. Поскольку AM : MC  =  1 : 3, имеем AM  =  ME. Значит, треугольник AML подобен треугольнику AEB. Следовательно, отрезок LM перпендикулярен отрезку AС. Поскольку отрезок KL перпендикулярен плоскости ABC, получаем, что отрезок AC перпендикулярен плоскости KLM, а значит, KM перпендикулярно AC.

б)  Отрезок KL перпендикулярен плоскости ABC и отрезок KM перпендикулярен отрезку AC, поэтому искомый угол равен углу LMK. Имеем KL  =  AA₁  =  6, $ML= корень из: начало аргумента: AL в квадрате минус AM в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 6 в квадрате минус 4 в квадрате конец аргумента =2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Следовательно,

$тангенс \angle LMK= дробь: числитель: LK, знаменатель: LM конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: б) $арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби .$

Источники

«Стереометрия: параллельность, перпендикулярность, углы, расстояния», конспект, физический факультет МГУ (am.phys.msu.ru)
«Метод объёмов в стереометрии», урок.1сентября.ру (urok.1sept.ru)
«Публикация из опыта работы» (метод объёмов на элективе), Институт повышения квалификации, г. Киров, 2025
«Координатный метод для углов и расстояний в стереометрии», научная статья, Тюменский государственный университет (elib.utmn.ru), 2022
«Координатно-векторный метод для стереометрии», методический материал, iro23.ru
«Задание 14. Стереометрическая задача», методические материалы к ЕГЭ профильного уровня, abiturient.ru, 2017

У1
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AA₁  =  5, AB  =  12, BC  =  12.
а)  Докажите, что плоскости $DA_1B$ и $AA_1C$ перпендикулярны.
б)  Найдите угол между плоскостью AA₁C и прямой A₁B.
У2
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  4 и BC  =  3. Длины боковых рёбер пирамиды $SA= корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента ,SB=3 корень из 3 ,SD=2 корень из 5 .$
а)  Докажите, что SA  — высота пирамиды.
б)  Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
У3
Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, AB  =  AC  =  5, BC  =  8. Высота призмы равна 3. Точка M  — середина ребра B₁C₁.
а)  Докажите, что плоскость BA₁M перпендикулярна плоскости BCC₁.
б)  Найдите угол между прямой A₁B и плоскостью BCC₁.
У4
а)  Докажите, что в правильной треугольной пирамиде SABC, где S  — вершина пирамиды, прямая SC перпендикулярна прямой  AB.
б)  Пусть высота SO составляет $дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби$ от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.
У5
В правильном тетраэдре ABCD М  — середина ребра AD.
а)  Докажите, что проекция точки M на плоскость BCD делит высоту DN треугольника BCD в отношении 1 : 2, считая от вершины D.
б)  Найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD.
У6
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ известны рёбра: AB $=4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ AA₁  =  4. Точка M  — середина ребра BC.
а)  Докажите, что прямые B₁C и C₁M перпендикулярны.
б)  Найдите угол между прямой C₁M и плоскостью грани ABB₁A₁.
У7
Дана пирамида SABC, в которой $SC=SB= корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента ,$ $AB=AC= корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента ,$ $SA=BC=2 корень из 5 .$
а)  Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.
б)  Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC.
У8
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания $AB=6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ На ребре  BC отмечена точка  M так, что BC : MC  =  3 : 1, а на ребре  AC отмечена точка  N так, что AN : NC  =  2 : 1. Точка  K  — середина ребра  AB, точка  О  — центр вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁.
а)  Докажите, что прямая OK параллельна плоскости MNC₁.
б)  Найти угол между прямой OK и плоскостью основания, если площадь треугольника MNC₁ равна $6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
У9
Основание ABCD призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$   — трапеция с основаниями AB  =  2CD.
а)  Докажите, что плоскость $BA_1D_1$ проходит через середину бокового ребра $CC_1.$
б)  Найдите угол между боковым ребром $AA_1$ и этой плоскостью, если призма прямая, трапеция ABCD прямоугольная с прямым углом при вершине B, а BC  =  CD и $AA_1= корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента CD.$
У10
В основании пирамиды SABCD лежит ромб АВСD, сторона которого равна 8, а угол при вершине A равен 60°. Известно, что SA  =  15, $SC= корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента$ и, кроме того, SB  =  SD.
а)  Докажите, что SC  — высота пирамиды.
б)  Найдите угол между плоскостью ASC и ребром SB.
У11
Точка O  — точка пересечения диагоналей грани CDD₁C₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Плоскость  DA₁C₁ пересекает диагональ  BD₁ в точке  F.
а)  Докажите, что $BF:FD_1=A_1F:FO.$
б)  Точки M и N  — середины ребер AB и AA₁, соответственно. Найдите угол между прямой  MN и плоскостью  DA₁C₁.
У12
Точка O  — центр грани A₁B₁C₁D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Сечения параллелепипеда плоскостями AOB и BOC являются прямоугольниками, стороны AB и BC этих сечений в 3 раза меньше соответственных больших сторон сечений.
а)  Докажите, что ABCD  — квадрат.
б)  Найдите угол между прямой A₁C и плоскостью BOC.
У13
В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точка K  — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC  =  1 : 3.
а)  Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC.
б)  Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB  =  9, AC  =  12 и AA₁  =  3.
У14
а)  Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Докажите, что все грани тетраэдра $ACB_1D_1$   — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).
б)  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостью AA₁C и прямой A₁B, если AA₁  =  3, AB  =  4, BC  =  4.
У15
а)  Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Докажите, что все грани тетраэдра $ACB_1D_1$   — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).
б)  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB  =  4, BC  =  6, CC₁  =  4, найдите тангенс угла между плоскостью ABC и прямой EF, проходящей через середины ребер AA₁ и С₁D₁.
У16
Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC,AB=AC=13,BC=24.$ Высота призмы равна 5.
а)  Докажите, что сечение призмы плоскостью, содержащей ребро $AA_1$ и перпендикулярной плоскости $BCC_1,$ является квадратом.
б)  Найдите угол между прямой $A_1B$ и плоскостью $BCC_1.$
У17
а)  Докажите, что в правильной треугольной пирамиде SABC, где S  — вершина пирамиды, $SC\perp AB.$
б)  Высота SO составляет $дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби$ от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.
У18
В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость $альфа ,$ параллельная ребру MD.
а)  Докажите, что плоскость $альфа$ параллельна ребру MC.
б)  Найдите угол между плоскостью $альфа$ и прямой BD.
У19
В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка K  — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM:MC  =  1:3.
а)  Докажите, что KM перпендикулярно AC.
б)  Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB  =  6, AC  =  8 и AA₁  =  3.
У20
В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точки K и M  — середины рёбер A₁B₁ и AC соответственно.
а)  Докажите, что KM  =  KB.
б)  Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB  =  8, AC  =  6 и AA₁  =  3.
У21
а)  Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Докажите, что все грани тетраэдра $ACB_1D_1$   — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).
б)  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AA₁ = 3, AD = 8, AB = 6, найдите угол между плоскостью ADD₁ и прямой EF, проходящей через середины рёбер AB и B₁C₁.
У22
Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC, с гипотенузой AB  =  5, и катетом $BC= корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$ Высота призмы равна $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
а)   $C_1H$ − высота треугольника $A_1B_1C_1.$ Докажите, что BH является проекцией прямой C₁B на плоскость ABB₁.
б)  Найдите угол между прямой C₁B и плоскостью ABB₁.
У23
В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точка K  — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC  =  1 : 3.
а)  Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC.
б)  Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB  =  6, AC  =  8 и AA₁  =  3.
У24
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: $AB=21 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ SC  =  29. M  — середина ребра $AS.$
а)  Докажите, что проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.
б)  Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и BC.
У25
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра $AB=8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , SC=10.$
а)  Докажите, что $AS\perp BC.$
б)  Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и $BC.$

Д1
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: $AB=21 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,SC=29.$ Точки M и N  — середины рёбер AS и BC соответственно.
а)  Докажите что отрезок MN делится пополам высотой пирамиды, проведенной из вершины S.
б)  Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN.
Д2
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра $AB=7 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ SC  =  25. M  — середина ребра SA.
а)  Докажите, что проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.
б)  Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN.
Д3
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны AB  =  2, AD  =  AA₁  =  1.
а)  Пусть B₁E  — высота треугольника BB₁C₁. Докажите, что AE  — проекция AB₁ на плоскость ABC₁.
б)  Найдите угол между прямой AB₁ и плоскостью ABC₁.
Д4
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1.
а)  Докажите, что AC' перпендикулярна прямой BE.
б)  Найдите угол между прямой AC' и плоскостью ACD'.
Д5
Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Точка M  — середина бокового ребра пирамиды AP.
а)  Докажите, что плоскость, проходящая через точки B и M и перпендикулярная плоскости BDP, делит высоту пирамиды пополам.
б)  Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP.
Д6
В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.
а)  Докажите, что плоскость α параллельна ребру MD.
б)  Найдите угол между плоскостью α и прямой AC.
Д7
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2. Точка M  — середина ребра A₁C₁, а точка O  — точка пересечения диагоналей боковой грани ABB₁A₁.
а)  Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, являющегося сечением призмы  ABCA₁B₁C₁ плоскостью AMB, лежит на отрезке OC₁.
б)  Найдите угол между прямой OC₁, и плоскостью AMB.
Д8
В правильном тетраэдре ABCD точка K  — центр грани ABD, точка M  — центр грани ACD.
а)  Докажите, что прямые BC и KM параллельны.
б)  Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABD.
Д9
Точка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.
а)  Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.
б)  Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.
Д10
На ребрах BS и CS правильной четырехугольной пирамиды SABCD cо стороной основания AD  =  10 и боковым ребром $SA=5 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента$ взяты точки K и M соответственно так, что $SK:BK=CM:SM=3:2.$
а)  Докажите, что прямые KM и SC взаимно перпендикулярны.
б)  Найдите угол между прямой KM и плоскостью основания пирамиды.
Д11
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, сторона основания которой равна 2, а боковое ребро равно 4. Через точку A проведена плоскость α, перпендикулярная прямой DC₁.
а)  Докажите, что плоскость α делит ребро DD₁ в отношении 1 : 3, считая от точки D.
б)  Найдите угол между прямой F₁D и плоскостью α.
Д12
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны углы: $\angle C_1AA_1 = альфа ,$ $\angle C_1AB = бета ,$ $\angle C_1AD = гамма .$
а)  Докажите, что $косинус в квадрате альфа плюс косинус в квадрате бета плюс косинус в квадрате гамма = 1.$
б)  Найдите угол между прямой AC₁ и плоскостью A₁B₁C₁, если β  =  60°, γ  =  45°.
Д13
В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 6. На рёбрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM  =  AK  =  4.
а)  Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 5 : 4.
б)  Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью CMK.
Д14
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  8 и BC  =  6. Длины боковых рёбер пирамиды $SA= корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента ,SB= корень из: начало аргумента: 85 конец аргумента ,SD= корень из: начало аргумента: 57 конец аргумента .$
а)  Докажите, что SA  — высота пирамиды.
б)  Найдите угол между прямыми SC и BD.
Д15
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: $AB=35 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,SC=37.$
а)  Докажите, что $AS\perp BC.$
б)  Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и $BC.$
Д16
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны AB  =  1, AD  =  AA₁  =  2.
а)  Пусть $B_1E$   — высота треугольника $BB_1C_1.$ Докажите, что AE  — проекция $AB_1$ на плоскость $ABC_1.$
б)  Найдите угол между прямой AB₁ и плоскостью ABC₁.
Д17
Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны 2.
а)  Докажите, что противоположные боковые ребра этой пирамиды взаимно перпендикулярны.
б)  Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M  — середина бокового ребра пирамиды AP.
Д18
В пирамиде SABC известны длины рёбер: $AB = AC = корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента ,$ $BC = SA = 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ $SB = SC = корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$
а)  Докажите, что прямая SA перпендикулярна прямой BC.
б)  Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC.
Д19
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, сторона основания которой равна 2, а боковое ребро равно 4. Через точку D проведена плоскость α, перпендикулярная прямой AF₁.
а)  Докажите, что плоскость α делит ребро AA₁ в отношении 1 : 3, считая от точки A.
б)  Найдите угол между прямой C₁A и плоскостью α.
Д20
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  5 и BC  =  ⁠12. Длины боковых рёбер пирамиды $SA = 2 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента ,$ SB  =  9, $SD = 10 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$
а)  Докажите, что SA  — высота пирамиды.
б)  Найдите угол между прямыми SC и BD.
Д21
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра $AB=20 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , SC=29.$
а)  Докажите, что $AS\perp BC.$
б)  Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и $BC.$
Д22
В правильной треугольной пирамиде SABC точка P  — делит сторону AB в отношении $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,$ считая от вершины A, точка K  — делит сторону BC в отношении $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,$ считая от вершины C. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость $\omega.$
а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $\omega$ является прямоугольником.
б)  Найдите расстояние от точки S до плоскости $\omega,$ если известно, что $SC=5,$ $AC=6.$
Д23
а)  Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Докажите, что все грани тетраэдра $ACB_1D_1$   — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).
б)  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, AB  =  10, BC  =  12, CC₁  =  6,5. Найдите угол между плоскостью ABC и прямой EF, проходящей через середины рёбер AA₁ и C₁D₁.
Д24
В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точка K  — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC  =  1 : 3.
а)  Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC.
б)  Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB  =  6, AC  =  8 и $AA_1 = корень из: начало аргумента: 31 конец аргумента .$
Д25
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра $AB=20 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , SC=29.$
а)  Докажите, что $AS\perp BC.$
б)  Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и $BC.$