16.1. Неравенства, содержащие радикалы

1. Что такое иррациональное неравенство

Это неравенство, в котором неизвестная (или выражение с ней) стоит под знаком корня. Общий вид: \(f(x)\vee g(x)\), где \(\vee\) — один из знаков \(<,\ \le,\ >,\ \ge\). Решение всегда начинается с ОДЗ: подкоренные выражения корней чётной степени неотрицательны, знаменатели не равны нулю.

Корни чётной и нечётной степени

• Корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах не существует; значение такого корня всегда неотрицательно. \(\sqrt[2n]{x^{2n}}=|x|\) для любого \(x\).
• Корень нечётной степени определён для любых действительных чисел; \(\sqrt[2n+1]{a}=b\iff b^{2n+1}=a\).
• Свойства \(\sqrt{xy}=\sqrt x\cdot\sqrt y\) и \(\sqrt{\tfrac xy}=\tfrac{\sqrt x}{\sqrt y}\) верны при \(x\ge0,\ y\ge0\) (во втором случае \(y>0\)).

2. Когда можно возводить в степень

• Возведение обеих частей в нечётную степень всегда даёт равносильное неравенство.
• Возведение в чётную степень равносильно только если обе части неотрицательны.

Почему это важно: верное неравенство \(2<3\) после возведения в квадрат даёт \(4<9\), но неверное \(2<-3\) тоже даёт верное \(4<9\). Без проверки знаков появляются посторонние решения.

3. Три основных типа и равносильные переходы

Для корня чётной степени (квадратного) — главные переходы такие.

Для корня нечётной степени \(n\) проще: \(\sqrt[n]{A}B\iff A>B^n\) (то же для нестрогих знаков), \(\sqrt[n]{A}<\sqrt[n]{B}\iff A

Системы и совокупности читаются так: система — все условия выполняются одновременно (решения пересекаются); совокупность — достаточно выполнения одной из систем (решения объединяются).

4. Неравенства вида \(\sqrt{A}+\sqrt{B}\vee C\)

Сначала записывают ОДЗ: \(A\ge0,\ B\ge0\). Затем, чтобы возведение в квадрат было равносильным, нужно следить за знаком частей. Часто изолируют один из радикалов, возводят в квадрат и приходят к простейшему типу из таблицы выше.

5. Замена переменной

Если один и тот же корень повторяется, вводят \(t=\sqrt{\ldots}\) и обязательно запоминают условие \(t\ge0\). Неравенство превращается в рациональное (часто квадратное) относительно \(t\); решив его, возвращаются к \(x\), учитывая ограничения на \(t\). Для неравенства вида \(\sqrt{aX+b}\le cX+d\) помогает замена \(t=\sqrt{X}\), \(t\ge0\).

6. Другие приёмы

• Умножение на сопряжённое выражение: \((\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b\). Иногда это избавляет от громоздкого возведения в квадрат; сопряжённый множитель должен быть положительным на ОДЗ.
• Метод рационализации. На ОДЗ знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений: \(\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}\) имеет тот же знак, что \(y_1-y_2\) (при \(y_1\ge0,\ y_2\ge0\)). Знак \(\sqrt{y_1}-y_2\) совпадает со знаком \(y_1-y_2^2\) (при \(y_1\ge0,\ y_2\ge0\)). Также \(y_1^2-y_2^2=(y_1-y_2)(y_1+y_2)\).
• Монотонность и ограниченность: если одна часть неравенства ограничена сверху, а другая снизу, решение — только в точках, где оценки достигаются.
• Графики дают лишь приближённый ответ, поэтому результат нужно проверять.

7. Алгоритм решения

1. Запишите ОДЗ (подкоренные выражения \(\ge0\), знаменатели \(\ne0\); если есть логарифмы — их условия).
2. Определите тип неравенства (\(\sqrt AB\), \(\sqrt A\vee\sqrt B\)) и запишите равносильную систему или совокупность.
3. Если корень повторяется, введите замену \(t=\sqrt{\ldots}\), \(t\ge0\).
4. Решите получившиеся рациональные неравенства методом интервалов.
5. Объедините или пересеките решения по правилам совокупности и системы, проверьте с ОДЗ и запишите ответ.