16.10. Показательные выражения и иррациональности

1. О каком типе идёт речь

В таких неравенствах встречаются одновременно показательные выражения (\(a^{f(x)}\)) и радикалы (\(\sqrt{\ldots}\)): показательное выражение стоит под корнем, корень стоит в показателе, или они входят в разные множители дроби. Решение собирается из трёх блоков: ОДЗ для корней, правила монотонности показательной функции и переходы для иррациональных неравенств.

2. Что нужно помнить о показательных выражениях

• \(a^x>0\) при любом \(x\); функция возрастает при \(a>1\) и убывает при \(0
• \(a^{f}>a^{g}\iff f>g\) при \(a>1\), \(\ \iff f
• При переменном основании: \(h^f>h^g\iff(h-1)(f-g)>0\) при \(h>0\).
• Если после замены \(t=a^{f(x)}\), то \(t>0\) всегда.

3. Что нужно помнить о радикалах

• Подкоренное выражение корня чётной степени неотрицательно; значение корня всегда неотрицательно.
• Возведение в чётную степень равносильно только для неотрицательных частей; в нечётную — всегда.
• Основные переходы (чётная степень): \(\sqrt A
• \(\sqrt A>B\iff\) совокупность двух систем: \(\begin{cases}B\ge0\\A>B^2\end{cases}\) или \(\begin{cases}B<0\\A\ge0\end{cases}\)
• \(\sqrt A<\sqrt B\iff\begin{cases}A\ge0\\A

4. Как соединять показательные выражения и корни

• Замена. Если показательное выражение повторяется под корнем или рядом с ним, вводят \(t=a^{f(x)}\), \(t>0\) (либо \(t=\sqrt{\ldots}\), \(t\ge0\)) и решают рациональное неравенство относительно \(t\); затем возвращаются к \(x\), решая простейшие показательные или иррациональные неравенства.
• Приведение к одному основанию и показателю. Корень можно записать как степень: \(\sqrt[y]{a^x}=a^{x/y}\); так корни и показательные степени объединяются в одну форму.
• Метод рационализации. Разность показательных выражений и разность корней заменяют знакотождественными множителями: \(h^f-h^g\sim(h-1)(f-g)\), \(\ h^f-1\sim(h-1)f\), \(\ \sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}\sim y_1-y_2\), \(\ \sqrt{y_1}-y_2\sim y_1-y_2^2\) (при \(y_2\ge0\)).
• Оценка и монотонность. Показательная и корневая функции монотонны; если одна часть неравенства возрастает, а другая убывает, решение единственно и его можно подобрать.
• Умножение на сопряжённое: \((\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b\), полезно, если радикалы стоят в разности.

5. Алгоритм решения

1. Запишите ОДЗ: подкоренные выражения \(\ge0\), знаменатели \(\ne0\), основания степеней положительны.
2. Упростите: приведите степени к одному основанию, перепишите корни как степени, если это выгодно.
3. Если неравенство имеет вид «произведение (дробь) \(\vee0\)» — замените сложные множители по таблице рационализации; иначе введите замену \(t\) с условием \(t>0\) (или \(t\ge0\)).
4. Для иррациональной части запишите равносильную систему или совокупность (по знаку правой части).
5. Решите получившиеся рациональные неравенства методом интервалов, выполните обратную замену.
6. Объедините решения случаев, пересеките с ОДЗ, проверьте граничные точки.

Разобранные примеры