16.11. Логарифмы и показательные выражения

1. О каком типе идёт речь

В неравенстве одновременно присутствуют логарифмы и показательные выражения — чаще всего в виде дроби или произведения, сравниваемых с нулём. Типичная картина: в числителе разность степеней или степень минус число, в знаменателе — логарифмы (с постоянным или переменным основанием), плюс модули и многочлены. Основной инструмент — метод рационализации: каждый «сложный» множитель заменяют простым рациональным множителем того же знака, затем применяют метод интервалов.

2. Что нужно знать

Показательные выражения

• \(a^x>0\); при \(a>1\) функция возрастает, при \(0
• \(a^f>a^g\iff f>g\) (\(a>1\)), \(\ f0\) при \(h>0\).

Логарифмы

• ОДЗ: аргументы \(>0\), основание \(>0\) и \(\ne1\).
• \(\log_ab=c\iff a^c=b\); \(a^{\log_ab}=b\); \(a^{\log_cb}=b^{\log_ca}\).
• \(\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\), \(\ \log_ab=\dfrac1{\log_ba}\), \(\ \log_ab^k=k\log_a|b|\) для чётного \(k\).

3. Таблица замен для множителей

На ОДЗ (\(f>0,\ g>0,\ h>0\), основание логарифма \(\ne1\)) знак каждого выражения слева совпадает со знаком выражения справа:

Например, разность степеней с основанием 4: \(4^x-64=4^x-4^3\) заменяется на \((4-1)(x-3)=3(x-3)\); разность логарифмов \(\log_{x-1}x-\log_{x-1}3\) на ОДЗ — на \((x-1-1)(x-3)=(x-2)(x-3)\).

4. Как решать дробь «показательное × логарифмическое»

1. Запишите ОДЗ для всех логарифмов (в том числе переменных оснований) и степеней, а также условие «знаменатель не равен нулю». Для основания — \(>0\) и \(\ne1\); для аргументов — \(>0\).
2. Перенесите всё в одну часть, чтобы справа остался нуль. Если слева и справа разные логарифмы, приведите их к одному основанию.
3. Заменяйте каждый сложный множитель (в числителе и в знаменателе) по таблице; множители, которые на ОДЗ имеют известный знак, сократите или отбросьте (при отрицательном — смените знак неравенства).
4. Упростите рациональное выражение: многочлены разложите на множители, обратите внимание на множители вида \((x-a)^2\), которые знак не меняют.
5. Решите методом интервалов: нули знаменателя всегда выколоты, нули числителя при нестрогом неравенстве закрашены. Следите за изолированными точками.
6. Пересеките результат с ОДЗ.

5. Другие приёмы

• Замена. Если показательное выражение зависит от \(x^2\), логарифма или другого повторяющегося выражения, вводят \(t=a^{f(x)}\), \(t>0\), и решают получившееся (чаще всего квадратное) неравенство по \(t\).
• Совмещение: показательное выражение под логарифмом (и наоборот) упрощают по тождеству \(a^{\log_ab}=b\) и свойству \(a^{\log_cb}=b^{\log_ca}\), а также переходом к одному основанию.
• Метод оценки (мажорант): если логарифм ограничен сверху, а показательное или квадратное выражение снизу, ответ ищут в точке, где обе оценки достигаются.

Разобранные примеры