Задание 16 · Неравенство

16.12. Логарифмы и иррациональности

Для репетитора: показать ответы

1. О каком типе идёт речь

В неравенстве вместе встречаются логарифмы и радикалы: логарифм стоит под корнем ($\sqrt{\log_a f(x)}$), корень стоит в аргументе или основании логарифма, либо корни и логарифмы входят в разные множители. Решение строится из трёх частей: аккуратное ОДЗ, переходы для иррациональных неравенств и правила для логарифмов (в том числе метод рационализации).

2. ОДЗ — главное в этом типе

Подкоренное выражение корня чётной степени $\ge0$. Если под корнем стоит логарифм, то нужно и условие на существование логарифма (аргумент $>0$, основание $>0$, $\ne1$), и условие $\log_af(x)\ge0$ — последнее сводится к простейшему логарифмическому неравенству.
Если корень стоит в аргументе логарифма, нужны и $\sqrt{\ldots}$ определён, и аргумент логарифма строго положителен.
Если корень стоит в основании, нужны $h>0$, $h\ne1$.

Запишите все условия в систему и решите её в самом начале: она часто сильно сужает область, а иногда оставляет всего несколько точек, которые можно проверить подстановкой.

3. Переходы для иррациональной части

Неравенство	Равносильная запись
$\sqrt A\le B$	система: $A\ge0,\ B\ge0,\ A\le B^2$
$\sqrt A\ge B$	совокупность: $\begin{cases}B\ge0\\A\ge B^2\end{cases}$ или $\begin{cases}B<0\\A\ge0\end{cases}$
$\sqrt A\le\sqrt B$	система: $A\ge0,\ A\le B$

Те же переходы работают и для строгих знаков. Здесь $A$ может быть логарифмом, а $B$ — выражением с переменной или другим логарифмом. Возводить в квадрат можно только неотрицательные части.

Если правая часть $B$ содержит переменную (например, $\sqrt{\log_4(\ldots)}>x$), неравенство разбивают на два случая по знаку $B$: при $B<0$ достаточно, чтобы выражение под корнем было определено ($\ge0$); при $B\ge0$ возводят в квадрат.

4. Логарифмическая часть

$\log_af>\log_ag\iff f>g>0$ при $a>1$; \(\ \iff0
Переменное основание: $\log_hf-\log_hg\sim(h-1)(f-g)$ на ОДЗ; $\ \log_hf\sim(h-1)(f-1)$; $\ \log_hf-1\sim(h-1)(f-h)$.
Для корней в рационализации: $\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}\sim y_1-y_2$; $\ \sqrt{y_1}-y_2\sim y_1-y_2^2$ при $y_2\ge0$.
Свойства: $\log_a\sqrt[n]{b}=\dfrac1n\log_ab$ (при $b>0$), $\ \log_ab^{2s}=2s\log_a|b|$, $\ \log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$.

5. Методы

Замена. Если выражение внутри радикала или логарифма повторяется, вводят $t=\sqrt{\ldots}$, $t\ge0$, либо $t=\log_ax$ (без ограничений на $t$, но с учётом ОДЗ); решают рациональное неравенство и возвращаются к $x$.
Метод рационализации. Если неравенство имеет вид «произведение (дробь) $\vee0$», заменяют разности логарифмов и разности корней знакотождественными множителями, затем решают методом интервалов и пересекают с ОДЗ.
Метод оценки (мажорант). Если левая часть не больше некоторого числа, а правая не меньше его, решение — только точка равенства.
Монотонность и сопряжённое выражение. Показательная, логарифмическая и корневая функции монотонны; разности корней иногда удобно умножать на сопряжённое.

6. Алгоритм решения

Выпишите ОДЗ целиком (аргументы $>0$, основания $>0$ и $\ne1$, подкоренные выражения $\ge0$, знаменатели $\ne0$) и упростите её.
Определите тип: корень от логарифма, логарифм от корня, произведение корней и логарифмов.
Для корня запишите равносильную систему или совокупность (по знаку правой части).
Для логарифма перейдите к аргументам с учётом основания (больше единицы или меньше) либо используйте рационализацию.
Решите получившиеся рациональные неравенства методом интервалов, объедините решения случаев.
Пересеките с ОДЗ и проверьте граничные точки.

Лайфхак 1. Начните с ОДЗ. В смешанных неравенствах ОДЗ часто оставляет очень немногое; иногда достаточно проверить пару точек.

Лайфхак 2. Правая часть с переменной — два случая. Для $\sqrt A>B$ и $\sqrt A\ge B$: либо $B<0$ (хватит $A\ge0$), либо $B\ge0$ и возводим в квадрат.

Лайфхак 3. Замена $t=\sqrt{\ldots}$ и $t=\log$. Следите за условиями: для корня $t\ge0$, для логарифма ограничений на $t$ нет, но ОДЗ по $x$ сохраняется.

Лайфхак 4. Рационализация разности корней и логарифмов. Заменяйте $\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}$ на $y_1-y_2$ и $\log_hf-\log_hg$ на $(h-1)(f-g)$: неравенство станет рациональным.

Частые ошибки.

Возведение в квадрат без проверки неотрицательности обеих частей — посторонние решения.
Пропущено условие неотрицательности подкоренного выражения или условие существования логарифма.
Неполная ОДЗ: не учтены все условия для логарифмов и корней одновременно.
Неверно изменён знак при переходе от логарифмов к аргументам при основании меньше единицы.

Разобранные примеры

Пример 1

Решите неравенство $(2x^2+9x+10)\left(\dfrac{1}{3}\log_{0{,}5}(x^2-5)+\log_8(\sqrt{5}-x)\right)\geq0$.

Решение

Ответ: $\left[-\sqrt{5}-1;-2{,}5\right]$.

Пример 2

Решите неравенство $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left(4^{x+1}-16^x\right)\ge -2$.

Решение

Ответ: $\left(-\infty;0\right]\cup\left[\log_4 3;1\right)$.

Источники

«Решение иррациональных неравенств», методическое пособие, портал образования Чувашской Республики (edu21.cap.ru)
Материалы по алгебре: свойства корней и равносильные переходы для уравнений и неравенств, НИУ ВШЭ (math.hse.ru)
Пособие по показательным и логарифмическим уравнениям и неравенствам, МФТИ (idproctor.mipt.ru)
«Задание 15: метод рационализации», А. Н. Копылова, 2022, Сургутская wiki-энциклопедия образования (surwiki.admsurgut.ru)
«Метод рационализации для показательных и логарифмических неравенств», статья, narodnoe.org

У1
Решите неравенство: $дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 1 минус 8 логарифм по основанию 2 в квадрате x конец аргумента , знаменатель: 2 логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше 1.$
У2
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 1 минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка конец аргумента меньше логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 5x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка .$
У3
Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка |x| правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 9 минус x в квадрате конец аргумента минус x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 1.$
У4
Решите неравенство: $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 7x конец аргумента плюс 5 правая круглая скобка больше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac15 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 7x конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: x плюс 3 конец аргумента плюс 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 1.$
У5
Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 4 x конец аргумента плюс 3 правая круглая скобка больше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2 дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 4 x конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: x плюс 1 конец аргумента плюс 1 конец дроби плюс 1.$
У6
Решите неравенство: $корень из: начало аргумента: 7 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 конец аргумента левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 9 правая круглая скобка больше или равно 4 минус логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка .$
У7
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 1 минус x в квадрате плюс 2x конец аргумента плюс x минус 2, знаменатель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 1,5 минус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 2 конец дроби меньше или равно 0.$
У8
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента умножить на логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 2 x минус 2 корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента плюс 6, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 5 логарифм по основанию 2 x плюс 4 конец дроби больше или равно 0.$
У9
Решите неравенство: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 8 плюс 2x минус x в квадрате конец аргумента минус x минус 2, знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка минус 1 конец дроби больше или равно 0.$
У10
Решите неравенство
$\log_{49}(x+4)+\log_{x^2+8x+16}\sqrt{7}\leq-\dfrac{3}{4}$.
У11
Решите неравенство $\log_{\frac{1}{2\sqrt{6}}}\left(5^{x+2}-25^x\right)\ge -2$.
У12
Решите неравенство
$2\log_7(x\sqrt{2})-\log_7\left(\dfrac{x}{1-x}\right)\le\log_7\left(8x^2+\dfrac{1}{x}-5\right)$.
У13
Решите неравенство

$log3√16x−12 4(log4x−8) x > 8 .$

Д1
Решите неравенство: $2 корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец аргумента меньше логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: x в квадрате конец аргумента минус 3.$
Д2
Решите неравенство $4 корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента \leqslant4 минус 12x.$
Д3
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 конец аргумента в квадрате x плюс 4 логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка меньше корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на левая круглая скобка 4 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 16 правая круглая скобка x в степени 4 правая круглая скобка .$
Д4
Решите неравенство: $корень из: начало аргумента: 2 минус логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента x правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше или равно 0.$
Д5
Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 x минус 5 корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 2 x конец аргумента плюс 6 больше или равно дробь: числитель: 31 минус 5 корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 2 x конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 2 x плюс 5 корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 2 x конец аргумента плюс 7 конец дроби .$
Д6
Решите неравенство: $логарифм по основанию x левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка минус 2 больше или равно корень из: начало аргумента: логарифм по основанию x в квадрате левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 5x минус 3 конец дроби конец аргумента .$
Д7
Решите неравенство: $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 6 плюс корень из x минус \left| корень из x минус 2| правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс логарифм по основанию 2 \left| корень из x минус \left| корень из x минус 2||.$
Д8
Решите неравенство: $дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 1 минус 4 логарифм по основанию 4 в квадрате x конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби меньше 2.$
Д9
Решите неравенство
$2\log_2\left({x}{\sqrt{5}}\right)-\log_2\left(\dfrac{x}{1-x}\right)\leq\log_2\left(5x^2+\dfrac{1}{x}-2\right)$.
Д10
Решите неравенство $\dfrac{x^2-\log_{\sqrt{3}}^2|x|}{x^2-9}\geq 1$.
Д11
Решите неравенство
$\log_{49}(x+4)+\log_{x^2+8x+16}\sqrt{7}\le-\dfrac{3}{4}$.
Д12
Решите неравенство
$2\log_3(x\sqrt{3})-\log_3\left(\dfrac{x}{1-x}\right)\le\log_3\left(9x^2+\dfrac{1}{x}-4\right)$.
Д13
Решите неравенство

$x4 − 16 log(3x+-15)−-log√-(x+-5) ≥ 0. 3 3$

Неравенство	Равносильная запись
\(\sqrt A\le B\)	система: \(A\ge0,\ B\ge0,\ A\le B^2\)
\(\sqrt A\ge B\)	совокупность: \(\begin{cases}B\ge0\\A\ge B^2\end{cases}\) или \(\begin{cases}B<0\\A\ge0\end{cases}\)
\(\sqrt A\le\sqrt B\)	система: \(A\ge0,\ A\le B\)