Задание 16 · Неравенство

16.13. Неравенства с тригонометрией

Для репетитора: показать ответы

1. Что нужно знать до начала

Тригонометрическое неравенство — условное: его нужно решить, то есть найти все значения неизвестного, при которых оно выполняется. Решения почти всегда записываются сериями с параметром $k\in\mathbb Z$, потому что функции периодичны.

У $\sin x$ и $\cos x$ наименьший положительный период $2\pi$; у $\operatorname{tg}x$ и $\operatorname{ctg}x$ — $\pi$.
Поэтому для $\sin$ и $\cos$ неравенство достаточно решить на одном промежутке длиной $2\pi$, а затем прибавить $2\pi k$ к каждому концу; для $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$ — на промежутке длиной $\pi$ и прибавить $\pi k$.
Область определения: $\operatorname{tg}x$ не определён там, где $\cos x=0$; $\operatorname{ctg}x$ — где $\sin x=0$. Эти точки нельзя включать в ответ.

2. Обратные тригонометрические функции

Все формулы решения простейших неравенств строятся на арк-функциях.

Функция	Определение	Когда существует
$\arcsin a$	такое число $t\in\left[-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right]$, что $\sin t=a$	$\|a\|\le1$
$\arccos a$	такое число $t\in[0;\pi]$, что $\cos t=a$	$\|a\|\le1$
$\operatorname{arctg}a$	такое число $t\in\left(-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right)$, что $\operatorname{tg}t=a$	любое $a$
$\operatorname{arcctg}a$	такое число $t\in(0;\pi)$, что $\operatorname{ctg}t=a$	любое $a$

Полезные свойства:

$\arcsin(-a)=-\arcsin a$
$\arccos(-a)=\pi-\arccos a$
$\operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg}a$
$\operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\operatorname{arcctg}a$

Например, чтобы выражение $\arcsin(2x+1)$ имело смысл, нужно $-1\le 2x+1\le1$, то есть $x\in[-1;0]$.

3. Простейшие неравенства

Везде $k\in\mathbb Z$. Приведём образцы формул для четырёх функций.

Неравенство	Решение
$\cos t>a$	$t\in(-\arccos a+2\pi k;\ \arccos a+2\pi k)$
\(\sin t	$t\in(-\pi-\arcsin a+2\pi k;\ \arcsin a+2\pi k)$
$\operatorname{tg}t>-a$	$t\in(-\operatorname{arctg}a+\pi k;\ \tfrac\pi2+\pi k)$
$\operatorname{ctg}t>a$	$t\in(\pi k;\ \operatorname{arcctg}a+\pi k)$

Обратите внимание: для $\cos t>a$ получается интервал вокруг нуля, а для \(\sin t

4. Как решать по единичной окружности

Точки единичной окружности, у которых $\sin x=a$, симметричны относительно оси $y$; у которых $\cos x=a$ — относительно оси $x$; у которых $\operatorname{tg}x=a$ или $\operatorname{ctg}x=a$ — относительно начала координат (они записываются как $\alpha+\pi n$).

Решите соответствующее уравнение и найдите граничные точки с помощью арк-функции. Для $\sin t=a$ это $\arcsin a$ и $\pi-\arcsin a$.
Отметьте граничные точки на единичной окружности (или на графике функции).
Определите, на какой дуге (или на каком промежутке графика) условие выполняется: график выше прямой $y=a$ или ниже неё.
Добавьте период: $2\pi k$ для $\sin$, $\cos$; $\pi k$ для $\operatorname{tg}$, $\operatorname{ctg}$.

5. Методы для неравенств посложнее

Графический метод: строим графики левой и правой частей и смотрим, где один график лежит выше другого.
Замена переменной: если неравенство квадратное относительно $\sin x$ (или $\cos x$, $\operatorname{tg}x$), вводим $t=\sin x$, решаем обычное неравенство и возвращаемся к простейшим.
Метод подстановки и вспомогательный угол — приёмы, которые используют, когда неравенство не сводится к простейшему сразу; встречаются и однородные неравенства.
Метод интервалов: если неравенство приведено к виду «произведение или дробь сравнивается с нулём», найдите нули каждого множителя и знаки на промежутках. В его основе — теорема о сохранении знака: непрерывная функция, нигде не обращающаяся в ноль на промежутке, сохраняет на нём один знак.
Если в неравенстве есть дробь, корень чётной степени или логарифм, обязательно учитывайте ОДЗ.

Лайфхак 1. Один период — и хватит. Для синуса и косинуса сначала найдите решение на промежутке длиной $2\pi$, а затем добавьте $2\pi k$ к обоим концам. Не пытайтесь сразу «видеть» бесконечную серию.

Лайфхак 2. Рисуйте окружность. Алгоритм требует отметить граничные точки на единичной окружности (или на графике) и выбрать нужную дугу — не пропускайте этот шаг.

Лайфхак 3. Нули множителей по очереди. Перенесите всё в одну часть, чтобы справа был ноль, разложите на множители, найдите нули и определите знаки на промежутках.

Лайфхак 4. Не забывайте про ОДЗ. При наличии дробей, корней чётной степени, логарифмов (а также $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$) область допустимых значений обязательна: итоговый ответ пересекайте с ней.

Разобранные примеры

Пример 1

Решите неравенство

$sinx > 0$

Решение

Отметим на тригонометрической окружности точки, в которых $sinx = 0.$ Для этого на вертикальной оси отметим точку 0 и проведем через нее перпендикуляр к оси синусов — горизонтальную ось. Он пересечет тригонометрическую окружность в точках 0 и $π.$

$π00$

По условию нам нужно найти такие значения $x,$ при которых $sinx$ больше 0. Отметим на оси синусов эти значения, они будут лежать выше 0.

Любому значению синуса, лежащему на отмеченном промежутке, соответствуют углы с дуги $(0;π).$

Нельзя забывать, что синус — функция с периодом $2π,$ поэтому при $k ∈ℤ$ получаем

$x∈ (2πk;π+ 2πk)$

Пример 2

Решите неравенство

$1 sinx > 2$

Решение

Отметим на тригонометрической окружности точки, в которых $sinx = 12.$ Для этого на вертикальной оси отметим точку $12$ и проведем через нее перпендикуляр к оси синусов. Он пересечет тригонометрическую окружность в точках $π6$ и $5π6 .$

$5π1π 626$

По условию нам нужно найти такие значения $x,$ при которых $sinx$ больше $1 2.$ Отметим на оси синусов эти значения, они будут лежать выше $1 2.$

Любому значению синуса, лежащему на отмеченном промежутке, соответствуют углы с дуги $(π; 5π). 6 6$

Нельзя забывать, что синус — функция с периодом $2π,$ поэтому при $k ∈ℤ$ получаем

$( π 5π ) x∈ 6 + 2πk;6-+ 2πk$

Источники

Презентация по решению простейших тригонометрических неравенств, urok.1sept.ru (Издательский дом «Первое сентября»)
Выпускная квалификационная работа по тригонометрическим неравенствам, НИУ «БелГУ», 2018
«ЕГЭ. Задание 15», Татчин У. В., методические материалы, surwiki.admsurgut.ru
Материалы по подготовке к ЕГЭ (математика, 11 класс, профильный уровень), olympmo.ru

У1
Решите неравенство $4 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка синус в кубе x правая круглая скобка плюс 8 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x правая круглая скобка больше или равно 1.$
У2
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 9 плюс 2x минус x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 0.$
У3
Решите неравенство $20 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка меньше или равно 1.$
У4
Решите неравенство

$tgx ≥1$
У5
Решите неравенство $√- sinx≥ − -2. 2$
У6
Решите неравенство $√ - ctgx ≤ 3.$
У7
Решите неравенство $√- − 1≤ sinx ≤ -3-. 2 2$

Д1
Решите неравенство $20\log в квадрате _4 косинус x плюс 4 логарифм по основанию 2 косинус x меньше или равно 1.$
Д2
Решите неравенство:
$левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс косинус Пи x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка в квадрате минус логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x в степени 7 правая круглая скобка плюс 12 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 60 правая круглая скобка левая круглая скобка 260 минус x правая круглая скобка конец аргумента меньше или равно 0.$
Д3
Решите неравенство

$1 cosx > 2$
Д4
Решите неравенство

$2x-+π- tg 3 ≤ −1$
Д5
Решите неравенство $√ - cosx <− --3. 2$
Д6
Решите неравенство $cos4x≤ 1. 2$

Функция	Определение	Когда существует
\(\arcsin a\)	такое число \(t\in\left[-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right]\), что \(\sin t=a\)	\(\|a\|\le1\)
\(\arccos a\)	такое число \(t\in[0;\pi]\), что \(\cos t=a\)	\(\|a\|\le1\)
\(\operatorname{arctg}a\)	такое число \(t\in\left(-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right)\), что \(\operatorname{tg}t=a\)	любое \(a\)
\(\operatorname{arcctg}a\)	такое число \(t\in(0;\pi)\), что \(\operatorname{ctg}t=a\)	любое \(a\)

Неравенство	Решение
\(\cos t>a\)	\(t\in(-\arccos a+2\pi k;\ \arccos a+2\pi k)\)
\(\sin t	\(t\in(-\pi-\arcsin a+2\pi k;\ \arcsin a+2\pi k)\)
\(\operatorname{tg}t>-a\)	\(t\in(-\operatorname{arctg}a+\pi k;\ \tfrac\pi2+\pi k)\)
\(\operatorname{ctg}t>a\)	\(t\in(\pi k;\ \operatorname{arcctg}a+\pi k)\)