16.14. Неравенства с модулем

1. Модуль: определение и смысл

Модуль числа \(a\) — это расстояние от начала отсчёта до точки \(a\) на координатной прямой. По определению:

\(|a|=a\), если \(a\ge0\); \(|a|=-a\), если \(a<0\). Ещё его можно определить как наибольшее из чисел \(a\) и \(-a\) или как \(\sqrt{a^2}\).

• \(|x|\) — расстояние от \(x\) до нуля, а \(|x-a|\) — расстояние от \(x\) до \(a\). Поэтому \(|x-7|=2\) означает «точка \(x\) удалена от 7 на 2».
• Модуль не бывает отрицательным; противоположные числа имеют равные модули: \(|-a|=|a|\).
• \(|a|\cdot|b|=|ab|\), \(\left|\dfrac ab\right|=\dfrac{|a|}{|b|}\).
• Неравенство треугольника: \(|a+b|\le|a|+|b|\); следствие: \(\big||a|-|b|\big|\le|a-b|\).
• Для любого \(x\): \(x^2=|x|^2\). Это позволяет считать \(|x|\) новой переменной.

2. Простейшие неравенства

3. Основные равносильные переходы

В последних двух строках возведение в квадрат законно, потому что обе части неотрицательны.

4. Раскрытие модуля по определению

Если модуль нельзя «снять» готовым переходом, раскрываем его по определению: \(|f|=f\) при \(f\ge0\) и \(|f|=-f\) при \(f<0\). Для каждого случая составляем систему, решаем её, затем объединяем ответы.

5. Метод интервалов с раскрытием модулей

Применяется, когда модулей два или больше. Он надёжный, но не универсальный: иногда приходится искать корни, которые школьнику трудно найти.

1. Найдите ОДЗ неравенства.
2. Найдите точки, в которых каждое подмодульное выражение равно нулю.
3. Этими точками разбейте ОДЗ на промежутки.
4. На каждом промежутке определите знак подмодульных выражений и раскройте модули.
5. Решите получившееся неравенство на этом промежутке.
6. Объедините решения по всем промежуткам.

6. Замена знака разности без раскрытия модуля

Иногда модуль вообще не раскрывают, а заменяют выражение на другое, имеющее тот же знак. Знак разности \(|f|-|g|\) совпадает со знаком разности квадратов \(f^2-g^2\) (так как \(|f|+|g|>0\), если \(f\) и \(g\) не равны нулю одновременно). Например, знак выражения \(x+10-|x|\) совпадает со знаком \((x+10)^2-x^2=20(x+5)\), и модуль исчезает. После такой замены неравенство решают обычным методом интервалов, предварительно найдя ОДЗ и проверив, какие точки в неё попадают.

7. Неравенство вида \(|f|\ge|g|\) с вложенным \(|x|\)

Если выражения содержат \(|x|\), то удобно использовать равенство \(x^2=|x|^2\) и работать с \(|x|\), как с новой переменной.

1. Возведите обе части в квадрат и перенесите всё в одну часть: \(f^2-g^2\ge0\).
2. Разложите на множители по формуле разности квадратов: \((f-g)(f+g)\ge0\).
3. Отбросьте множители, которые всегда положительны (например, \(|x|+3\)): знак неравенства от этого не меняется.
4. Решите методом интервалов по \(|x|\) или по \(x\). Множитель в чётной степени, например \((|x|-1)^2\), знака не меняет, но его нули дают точки, где неравенство может выполняться (если оно нестрогое).