16.15. Другие неравенства смешанного типа

1. Что считается неравенством смешанного типа

В таких неравенствах в одной записи встречаются дроби, логарифмы, показательные выражения, корни и модули. Общая идея: упростить неравенство любым доступным способом, затем свести его к виду «выражение сравнивается с нулём» и решить методом интервалов, не забыв про ОДЗ.

2. Что можно делать с неравенством

• Умножать обе части на число или выражение, не равное нулю (знак меняется только при умножении на отрицательное).
• Возводить обе части в квадрат, только если обе неотрицательны.
• «Отбрасывать» одинаковые основания в показательных и логарифмических неравенствах. Если основание больше 1, знак сохраняется; если основание от 0 до 1, знак меняется на противоположный.
• Применять метод рационализации (замены множителя).
• Делать замену переменной.

3. ОДЗ

ОДЗ обязательна, если есть дроби, корни чётной степени и логарифмы:

• знаменатель не равен нулю;
• выражение под корнем чётной степени неотрицательно;
• у \(\log_h f\): \(f>0\), \(h>0\), \(h\ne1\).

Итоговое решение пересекают с ОДЗ — иначе в ответе могут оказаться посторонние значения.

4. Метод интервалов

В основе — теорема о сохранении знака: если функция непрерывна на промежутке и нигде в нём не обращается в ноль, она сохраняет знак. Поэтому знак на промежутке можно определить по одной пробной точке.

1. Перенесите всё в одну часть так, чтобы справа был ноль.
2. Разложите на множители.
3. Отметьте нули числителя и знаменателя на числовой прямой и определите знаки на промежутках.
4. Учтите ОДЗ и выберите нужные промежутки.

Если корень входит в чётное число множителей (например, множитель \((x-a)^2\)), знак при переходе через него не меняется; нечётная кратность означает смену знака.

5. Метод рационализации (замены множителя)

Применяется к неравенствам вида \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\vee0\) (знак любой, справа ноль). Заменяется множитель, а не слагаемое: каждый «неудобный» множитель заменяется на рациональный множитель того же знака. Идея основана на монотонности: если функция возрастает, то знак разности значений совпадает со знаком разности аргументов, а если убывает — противоположен. На экзамене полезно пояснить, что применён именно этот метод.

Здесь \(f\), \(g\) — функции от \(x\), \(h\) — функция или число; \(h>0\), \(h\ne1\), \(f>0\), \(g>0\).

Для неравенства с логарифмом в знаменателе это значит: сначала найдите ОДЗ, затем замените множители с логарифмами рациональными, решите методом интервалов и пересеките результат с ОДЗ.

Таблицу не обязательно заучивать — её можно вывести из монотонности логарифма и показательной функции.

6. Метод замены знака для модулей

Выражение вида \(|f|-|g|\) можно заменить на знаково-эквивалентное \(f^2-g^2=(f-g)(f+g)\) и избавиться от модуля. После этого применяют метод интервалов, предварительно найдя ОДЗ.

7. Замена переменной и однородные неравенства

Если в неравенстве встречаются выражения вида \(a^{u}\) и \(b^{u}\) с одним показателем, его можно свести к однородному относительно двух величин \(t\) и \(z\). Тогда вводят \(y=\dfrac tz>0\) и решают получившееся квадратное неравенство относительно \(y\) методом интервалов, не забывая про условие \(y>0\). Далее возвращаются к \(x\) и снова проверяют ОДЗ. При возврате учитывайте монотонность: показательная функция с основанием меньше 1 убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

Если множитель положителен при всех допустимых значениях (например, \(y+\tfrac32\) при \(y>0\)), на него можно делить.

8. Свойства логарифмов, которые понадобятся

• \(\log_a1=0\), \(\log_aa=1\);
• логарифм степени и корня выражаются через показатель;
• логарифм произведения — сумма логарифмов, частного — разность;
• формула перехода к новому основанию;
• основное логарифмическое тождество.

Во всех этих формулах основание положительно и не равно единице, а аргументы положительны.

Разобранные примеры