16.2. Рациональные неравенства

1. Какие неравенства называют рациональными

Рациональное неравенство состоит из многочленов и дробей с многочленами: линейные, квадратные, неравенства высших степеней и дробно-рациональные (с переменной в знаменателе). Универсальный инструмент для них — метод интервалов. К нему же в №16 сводятся логарифмические, показательные и другие неравенства после замены или рационализации.

2. Идея метода интервалов

Если функция непрерывна на промежутке и не обращается в нуль, то на этом промежутке она сохраняет постоянный знак. Поэтому неравенство записывают в виде «выражение \(\vee\) 0» (где \(\vee\) — один из знаков \(<,\ \le,\ >,\ \ge\)), раскладывают числитель и знаменатель на множители, отмечают нули на числовой оси и определяют знак на каждом получившемся промежутке.

3. Кратность нуля

Кратность нуля \(a\) — это показатель \(k\) множителя \((x-a)^k\).

• Нечётная кратность: при переходе через нуль знак выражения меняется.
• Чётная кратность: при переходе через нуль знак не меняется.

Поэтому знаки на соседних промежутках не всегда чередуются: нуль (или точку вне ОДЗ) нельзя автоматически считать точкой смены знака.

4. Алгоритм метода интервалов

1. Перенесите все слагаемые в одну часть, чтобы справа остался нуль; приведите к общему знаменателю и разложите числитель и знаменатель на множители.
2. Найдите область определения и нули числителя и знаменателя, определите их кратность.
3. Отметьте точки на числовой прямой: при строгом неравенстве все нули выкалываются; при нестрогом нули знаменателя выкалываются всегда, а нули числителя закрашиваются.
4. Определите знак выражения справа от самого правого нуля (подстановкой любого большего числа) и расставьте знаки справа налево: знак меняется при переходе через нуль нечётной кратности и сохраняется при чётной.
5. Выберите промежутки с нужным знаком. Не забудьте изолированные точки: например, нуль чётной кратности в числителе при нестрогом неравенстве \(\ge0\) или \(\le0\) входит в ответ, даже если соседние промежутки не подходят.

5. Линейные и квадратные неравенства

• Квадратное неравенство решают тем же методом: раскладывают квадратный трёхчлен на множители. Например, \(x^2-100>0\iff(x-10)(x+10)>0\), откуда \(x<-10\) или \(x>10\).
• Если обе части можно сократить, сначала переносите всё влево: \(x(3x-2)-x(x+1)>0\iff x(2x-3)>0\), ответ \(x<0\) или \(x>\tfrac32\).

6. Дробные неравенства и знаки произведений

• Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя, но знаменатель при этом не равен нулю.
• \(f\cdot g>0\) или \(\dfrac fg>0\) — это совокупность систем \(\begin{cases}f>0\\g>0\end{cases}\) и \(\begin{cases}f<0\\g<0\end{cases}\).
• \(f\cdot g<0\) или \(\dfrac fg<0\) — это совокупность систем \(\begin{cases}f>0\\g<0\end{cases}\) и \(\begin{cases}f<0\\g>0\end{cases}\).
• Нестрогое неравенство \(f\ge g\) можно решить как «\(f=g\) или \(f>g\)» и объединить ответы.

Разобранные примеры