16.3. Показательные неравенства

1. Показательная функция и простейшие неравенства

Показательное неравенство — неравенство, в котором переменная стоит в показателе степени. Выражение \(a^{x}\) имеет смысл при \(a>0\), \(a\ne1\), и принимает только положительные значения.

• При \(a>1\) функция \(a^x\) возрастает: большему показателю соответствует большее значение.
• При \(0убывает: большему показателю соответствует меньшее значение.

• Если \(b\le0\), то неравенство \(a^{f(x)}>b\) верно при всех \(x\) из области определения, а неравенство \(a^{f(x)}
• Если \(a=1\), неравенство превращается в числовое: оно верно либо при всех \(x\), либо ни при каких.

2. Свойства степеней, которые нужны

• \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}\), \(\ a^x:a^y=a^{x-y}\), \(\ (a^x)^y=a^{xy}\)
• \((ab)^x=a^xb^x\), \(\ \left(\dfrac ab\right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}\), \(\ a^{-x}=\dfrac1{a^x}\)
• \(a^0=1\), \(\ 1^x=1\), \(\ \sqrt[y]{a^x}=a^{x/y}\)

3. Основные методы решения

1. Приведение к одному основанию. Обе части записывают как степени с одинаковым основанием и переходят к показателям по правилу из таблицы. Например, \((0{,}5)^{7-3x}<4\) записывают как \((0{,}5)^{7-3x}<(0{,}5)^{-2}\); основание меньше 1, знак меняется: \(7-3x>-2\), откуда \(x<3\).
2. Вынесение общего множителя. Выносят за скобки степень с наименьшим показателем, затем сравнивают получившееся выражение с нулём или числом.
3. Замена переменной. Вводят \(t=a^x\) с обязательным условием \(t>0\), решают неравенство относительно \(t\) и возвращаются к \(x\). Например, \(9^x+27<12\cdot3^x\) после замены \(t=3^x\) превращается в \(t^2-12t+27<0\), откуда \(3
4. Однородные неравенства. Делят обе части на одну из степеней (например, на \(5^{2x}\) или на \(10^x\)) — делить можно, так как степень положительна, — вводят \(t=\left(\tfrac25\right)^x\) и решают квадратное неравенство относительно \(t\).
5. Разные основания. Если нельзя привести к одному основанию, логарифмируют обе части. При основании логарифма больше 1 знак сохраняется, при основании меньше 1 — меняется.
6. Функционально-графический метод: строят графики обеих частей и выбирают промежутки, где один график выше другого.

4. Показательное неравенство с переменной в основании

Если основание — выражение с переменной \(h(x)\), то оно должно быть положительным и (по правилам ОДЗ) не равным 1. Переход к показателям равносилен такой записи:

\(h(x)^{f(x)}>h(x)^{g(x)}\iff (h(x)-1)\bigl(f(x)-g(x)\bigr)>0\), \(\ h(x)>0\).

Идея: при \(h>1\) множитель \(h-1\) положителен и знак сохраняется, при \(0

5. Системы и совокупности

• Система неравенств — все они должны выполняться одновременно: решение — пересечение.
• Совокупность — достаточно выполнения хотя бы одного: решение — объединение.

6. Алгоритм решения показательного неравенства

1. Найдите ОДЗ (знаменатели, основания переменной, корни).
2. Приведите степени к одному основанию либо вынесите общий множитель / сделайте замену \(t=a^x\), \(t>0\).
3. Перейдите к показателям, обязательно проверив, больше основание единицы или меньше.
4. Решите получившееся рациональное неравенство (метод интервалов) и сделайте обратную замену.
5. Проверьте ответ по ОДЗ.

Разобранные примеры