16.4. Неравенства рациональные относительно показательной функции

1. О каком типе идёт речь

Это неравенства, в которых показательное выражение (например, \(2^x\), \(3^{x^2}\), \(5^{\sqrt x}\)) входит только как «кирпичик» в рациональное выражение: его можно обозначить одной буквой и получить обычное рациональное неравенство (квадратное, дробное, высшей степени). Вся работа — аккуратная замена и возврат к \(x\).

2. Замена \(t=a^{f(x)}\)

Общая схема:

1. Выделите повторяющееся показательное выражение и приведите остальные степени к нему (используя свойства степеней, например, \(4^x=(2^x)^2\), \(2^{x+1}=2\cdot2^x\), \(2^{-x}=\dfrac1{2^x}\)).
2. Введите \(t=a^{f(x)}\) и запишите условие \(t>0\) (показательная функция всегда положительна).
3. Решите неравенство относительно \(t\) (обычно методом интервалов), оставьте только решения, удовлетворяющие \(t>0\).
4. Сделайте обратную замену: каждое неравенство \(t\vee c\) превращается в \(a^{f(x)}\vee c\) и решается по правилу монотонности (при \(a>1\) знак сохраняется, при \(0
5. Объедините или пересеките решения и проверьте ОДЗ.

Если после замены в знаменателе стоит выражение, обращающееся в нуль, не забудьте запретить это значение. Например, при замене \(t=2^{2-x^2}-1\) нужно потребовать \(t\ne0\).

3. Однородные неравенства

Если в неравенстве есть степени с разными основаниями вида \(a^{2x}\), \(a^xb^x\), \(b^{2x}\) (то есть однородный многочлен относительно \(a^x\) и \(b^x\)), делят обе части на положительную степень, например на \(b^{2x}\), и вводят \(y=\left(\dfrac ab\right)^x>0\).

После замены получается квадратное неравенство относительно \(y\) (например, \(6y^2+5y-6\le0\)); корни находят обычным способом, оставляют только \(y>0\) и возвращаются к \(x\) через простейшее показательное неравенство \(\left(\dfrac ab\right)^x\vee c\).

4. Вынесение общего множителя

Когда в сумме есть слагаемые вида \(a^x\), \(a^{x+1}\), \(a^{x-2}\), вынесите за скобки степень с наименьшим показателем: оставшаяся в скобках сумма — число. Например, \(2^{x+2}+2^x=2^x(4+1)=5\cdot2^x\). Затем сравните полученное выражение с числом или нулём.

5. Метод интервалов и знакотождественные множители

• Если после замены получилась дробь, переносят всё в одну часть и применяют метод интервалов; для строгого знака нули выкалывают, для нестрогого — нули числителя закрашивают.
• Для множителей вида \(a^f-1\) или \(a^f-a^g\) знак совпадает со знаком \((a-1)f\) и \((a-1)(f-g)\) соответственно (метод рационализации). Это позволяет вообще не вводить замену, если показательные выражения встречаются только в виде разностей.

6. Алгоритм

1. Запишите ОДЗ.
2. Приведите все показательные выражения к одному основанию и степени, введите \(t\), \(t>0\).
3. Решите рациональное неравенство по \(t\) методом интервалов.
4. Вернитесь к \(x\), решите простейшие показательные неравенства, учитывая основание больше или меньше 1.
5. Пересечьте с ОДЗ, запишите ответ.

Разобранные примеры