Задание 16 · Неравенство

16.5. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Для репетитора: показать ответы

1. Логарифм и логарифмическая функция

Логарифм: $\log_a b=c\iff a^c=b$, где $a>0$, $a\ne1$, $b>0$. Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b}=b$.

Свойства функции $y=\log_a x$

Область определения $x>0$, область значений — все действительные числа.
При $a>1$ функция строго возрастает; при \(0убывает.
$\log_a1=0$, $\log_aa=1$.
При $a>1$: $\log_ax<0$ на $(0;1)$, $\log_ax>0$ на $(1;+\infty)$. При \(0

2. Свойства логарифмов

Свойство	Условие
$\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac$	$b>0,\ c>0$
$\log_a\dfrac bc=\log_ab-\log_ac$	$b>0,\ c>0$
$\log_ab^k=k\log_ab$	$b>0$
$\log_ab^{2s}=2s\log_a\|b\|$	$b\ne0$
$\log_{a^c}b=\dfrac1c\log_ab$	$c\ne0$, $b>0$
$\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$	$c>0,\ c\ne1$
$\log_ab=\dfrac1{\log_ba}$	$a,b>0,\ a,b\ne1$

Важно: если знаки множителей заранее неизвестны, формулы произведения и частного записывают с модулями: $\log_a(bc)=\log_a|b|+\log_a|c|$ при $bc>0$. Без модуля можно потерять часть решений.

3. Простейшие логарифмические неравенства

Условие $f(x)>0$ и $g(x)>0$ (область определения) пишется всегда.

Основание	$\log_af(x)>\log_ag(x)$	$\log_af(x)<\log_ag(x)$
$a>1$	$f(x)>g(x)>0$	\(0
\(0	\(0	$f(x)>g(x)>0$

Сравнение с числом: число записывают как логарифм с тем же основанием, $c=\log_aa^c$. Например, $\log_af(x)>c$ при $a>1$ равносильно $f(x)>a^c$, а при \(0

Нестрогое неравенство $f\ge g$ можно решать как «$f=g$ или $f>g$» и объединять решения (при условии $f>0,\ g>0$).

4. Логарифмические неравенства «первой» и «второй» степени

В этом типе после перехода к аргументам логарифмов (потенцирования) получается линейное или квадратное неравенство относительно $x$. Для него применяют алгебраические способы: разложение на множители и метод интервалов. Дальше ответ пересекают с областью определения.

Если справа и слева логарифмы разных оснований или степеней, сначала приводят их к одному основанию формулами из таблицы выше: $\log_{a^c}b=\tfrac1c\log_ab$, формула перехода и т. п.
Если под логарифмом стоит чётная степень, например $\log_{0{,}25}(x-3)^4$, используют $\log_a b^{2s}=2s\log_a|b|$ либо сразу пишут условие $(x-3)^4>0$, то есть $x\ne3$.

5. Алгоритм решения

Запишите ОДЗ: аргументы всех логарифмов строго больше нуля, основания положительны и не равны 1, знаменатели не равны нулю.
Преобразуйте неравенство к виду $\log_a f\vee\log_a g$ (приведите к одному основанию, используйте свойства логарифмов).
Перейдите к аргументам: при $a>1$ знак сохраняется, при \(0
Решите получившееся линейное или квадратное неравенство (метод интервалов).
Пересеките с ОДЗ и запишите ответ.

Лайфхак 1. ОДЗ — отдельным блоком в начале. Выписывайте условия для каждого логарифма, включая неочевидные (например, для $\log_a(x-3)^4$ нужно $(x-3)^4>0$, то есть $x\ne3$).

Лайфхак 2. Основание меньше единицы ($\tfrac12$, $0{,}25$, $\tfrac13$) — знак меняется. Прежде чем потенцировать, посмотрите, больше основание единицы или меньше.

Лайфхак 3. Приводите к одному основанию. Например, $\log_{0{,}25}t=\tfrac12\log_{0{,}5}t$; так вы сводите разные основания к одному и избегаете ошибок со знаком.

Лайфхак 4. Число — это логарифм. Заменяйте число $c$ на $\log_aa^c$, чтобы сравнивать логарифмы напрямую.

Частые ошибки.

Неполная ОДЗ: записано условие только для одного логарифма (например, только для корня), а условие $(x-3)^4>0$ пропущено — по критериям проверки это приводит к потере балла.
Чётная степень под логарифмом «выброшена» без модуля: в логарифме нужно писать $|x-3|$, даже если потом всё восстановится.
Неверное изменение знака при потенцировании с основанием меньше единицы.
Не пересекли ответ с ОДЗ.

Разобранные примеры

Пример 1

Решите неравенство $1 плюс логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 16 минус x в квадрате правая круглая скобка .$

Решение

Решим неравенство:

$1 плюс логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 16 минус x в квадрате правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 24 минус 6x правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 16 минус x в квадрате правая круглая скобка равносильно$

$равносильно система выражений 24 минус 6x больше 0,16 минус x в квадрате больше или равно 24 минус 6x конец системы . равносильно система выражений x меньше 4,x в квадрате минус 6x плюс 8 меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений x меньше 4,2 меньше или равно x меньше или равно 4 конец системы . равносильно 2 меньше или равно x меньше 4.$

Ответ: $левая квадратная скобка 2;4 правая круглая скобка .$

Пример 2

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате x плюс 6 больше или равно 5 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x.$

Решение

Решим неравенство как квадратное относительно $\log _2x$ :

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате x минус 5\log _2x плюс 6 больше или равно 0.$

Получаем: $\log _2x меньше или равно 2$ или $\log _2x больше или равно 3.$ Следовательно, $0 меньше x меньше или равно 4$ или $x больше или равно 8.$

Ответ: $левая круглая скобка 0;4 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 8; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источники

Пособие по показательным и логарифмическим уравнениям и неравенствам, МФТИ (idproctor.mipt.ru)
«Теория и методы решения показательных и логарифмических неравенств ЕГЭ», Красноярский государственный педагогический университет (elib.kspu.ru)
«Решение заданий ЕГЭ по логарифмическим неравенствам (2023)», А. А. Власова, методические материалы, iro23.ru
«Урок № 27. Метод интервалов», математика 11 класс (профильный уровень), olympmo.ru
«ЕГЭ, задание 15», У. В. Татчин, Сургутская wiki-энциклопедия образования (surwiki.admsurgut.ru)

У1
Решите неравенство:
$логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 9 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 10 правая круглая скобка .$
У2
Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 2 в квадрате x меньше или равно 3.$
У3
Решите неравенство $логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 25 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 25 минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 2\geqslant0.$
У4
Решите неравенство $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 больше или равно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 4 правая круглая скобка .$
У5
Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате минус 17x плюс 35 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$
У6
Решите неравенство $логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 12 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 12 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка .$
У7
Решите неравенство $логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 49x в квадрате минус 25 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 x меньше или равно логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 50x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби минус 10 правая круглая скобка .$
У8
Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 27x минус 1 правая круглая скобка .$
У9
Решите неравенство: $логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 7 дробь: числитель: 6 плюс x, знаменатель: x в квадрате конец дроби .$
У10
Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x плюс 2 больше 3 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x.$
У11
Решите неравенство: $2 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в квадрате плюс 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 5x плюс 2 правая круглая скобка .$
У12
Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате умножить на левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 48 конец дроби больше логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в квадрате дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: 3 конец дроби .$
У13
Решите неравенство: $9 логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка \leqslant10 плюс логарифм по основанию 7 дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 9 , знаменатель: x плюс 2 конец дроби .$
У14
Решите неравенство: $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 32x в квадрате конец дроби плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 16x конец дроби плюс 1 правая круглая скобка .$
У15
Решите неравенство: $2 логарифм по основанию 7 дробь: числитель: x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби минус логарифм по основанию 7 дробь: числитель: x, знаменатель: 3 минус x конец дроби меньше или равно логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 7x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби минус 2,5 правая круглая скобка .$
У16
Решите неравенство $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби правая круглая скобка .$
У17
Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 2 в квадрате x меньше или равно 5.$
У18
Решите неравенство $\lg в квадрате дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби меньше \lg в квадрате дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: 27 конец дроби .$
У19
Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 2.$
У20
Решите неравенство $2 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x, знаменатель: 1 минус x конец дроби меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 4 правая круглая скобка .$
У21
Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 27 минус 9x правая круглая скобка меньше логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 5x плюс 6 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка .$
У22
Решите неравенство $логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 10 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 24 больше 0.$
У23
Решите неравенство: $2 логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 3,7 конец дроби плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3,7 правая круглая скобка в квадрате \geqslant2.$
У24
Решите неравенство $\log _3 в квадрате левая круглая скобка 25 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 3\log _3 левая круглая скобка 25 минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 2 больше или равно 0.$
У25
Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 17x в квадрате плюс 16 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: x плюс 10 конец дроби плюс 16 правая круглая скобка .$

Д1
Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате x плюс 5 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 6 больше 0.$
Д2
Решите неравенство: $2 логарифм по основанию левая круглая скобка 9 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в квадрате плюс 4x плюс 1 правая круглая скобка .$
Д3
Решите неравенство $\lg в квадрате дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: 5 конец дроби меньше \lg в квадрате дробь: числитель: x плюс 5, знаменатель: 20 конец дроби .$
Д4
Решите неравенство $3 логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 8x минус 9 правая круглая скобка меньше или равно 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: x плюс 9 конец дроби .$
Д5
Решите неравенство: $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 72x в квадрате конец дроби плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 24x конец дроби плюс 1 правая круглая скобка .$
Д6
Решите неравенство $2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 2 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 { левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 6x минус 1 правая круглая скобка .$
Д7
Решите неравенство: $2 логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 1 минус x конец дроби правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 8x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 5 правая круглая скобка .$
Д8
Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 8x минус 1 правая круглая скобка .$
Д9
Решите неравенство $логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 18 минус 9x правая круглая скобка меньше логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка .$
Д10
Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка логарифм по основанию 3 в квадрате x меньше или равно 3.$
Д11
Решите неравенство $логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 7 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 10 больше 0.$
Д12
Решите неравенство $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 5x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 8 конец дроби плюс 1 больше или равно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 5 правая круглая скобка .$
Д13
Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате минус 13x плюс 20 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$
Д14
Решите неравенство $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x меньше или равно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5x плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби минус 11 правая круглая скобка .$
Д15
Решите неравенство $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 27x минус 1 правая круглая скобка .$
Д16
Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 25 минус 25 x правая круглая скобка меньше логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 x плюс 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка .$
Д17
Решите неравенство $левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4,2 правая круглая скобка плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4,2 правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка \geqslant0.$
Д18
Решите неравенство $11 десятичный логарифм левая круглая скобка x в квадрате плюс 11x плюс 30 правая круглая скобка меньше или равно 12 плюс десятичный логарифм дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 5 конец дроби .$
Д19
Решите неравенство $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 12 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка .$
Д20
Решите неравенство $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x в квадрате конец дроби правая круглая скобка .$
Д21
Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате x минус 6 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x минус 16 больше 0.$
Д22
Решите неравенство $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 7x плюс 10 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби дробь: числитель: x плюс 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 1 больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3x в квадрате плюс 16x плюс 20 правая круглая скобка .$
Д23
Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате плюс 7 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: x плюс 5 конец дроби плюс 7 правая круглая скобка .$
Д24
Решите неравенство: $\log_3 левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 плюс \log_3 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби .$
Д25
Решите неравенство: $2 логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x плюс 1,3 конец дроби плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1,3 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 2.$

Свойство	Условие
\(\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\)	\(b>0,\ c>0\)
\(\log_a\dfrac bc=\log_ab-\log_ac\)	\(b>0,\ c>0\)
\(\log_ab^k=k\log_ab\)	\(b>0\)
\(\log_ab^{2s}=2s\log_a\|b\|\)	\(b\ne0\)
\(\log_{a^c}b=\dfrac1c\log_ab\)	\(c\ne0\), \(b>0\)
\(\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\)	\(c>0,\ c\ne1\)
\(\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\)	\(a,b>0,\ a,b\ne1\)

Основание	\(\log_af(x)>\log_ag(x)\)	\(\log_af(x)<\log_ag(x)\)
\(a>1\)	\(f(x)>g(x)>0\)	\(0
\(0	\(0	\(f(x)>g(x)>0\)