16.6. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

1. О каком типе идёт речь

Это неравенства, в которых логарифм \(\log_a x\) (или \(\log_a f(x)\)) входит как «кирпичик» в рациональное выражение: его можно обозначить одной буквой и получить квадратное, дробно-рациональное или другое рациональное неравенство. Если \(F\) — рациональная функция, то неравенство имеет вид \(F(\log_ax)\vee0\).

2. Замена \(t=\log_a x\)

Если неравенство имеет вид \(F(\log_ax)>0\), вводят \(t=\log_ax\) и решают рациональное неравенство \(F(t)>0\). В отличие от показательного случая, на \(t\) нет ограничений: логарифм принимает любые значения. Ограничения идут только от ОДЗ исходного неравенства (\(x>0\), основание и т. п.).

3. Подготовка: приведите логарифмы к одному виду

• Приведите все логарифмы к одному основанию: \(\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\), \(\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\), \(\log_{a^c}b=\dfrac1c\log_ab\).
• Приведите аргументы к одной степени: \(\log_ab^k=k\log_ab\) при \(b>0\), \(\log_ab^{2s}=2s\log_a|b|\), \(\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\) (для положительных \(b,c\)).
• Логарифм произведения или частного разложите в сумму или разность логарифмов (с учётом знаков множителей): тогда все слагаемые выражаются через один и тот же логарифм, например \(\log_2x\).
• Для степени с логарифмом в показателе полезно: \(a^{\log_cb}=b^{\log_ca}\) и \(a^{\log_ab}=b\).

4. Обратная замена

После решения неравенства относительно \(t\) получают простейшие логарифмические неравенства вида \(\log_ax\vee c\) и решают их через монотонность:

• при \(a>1\): \(\log_ax>c\iff x>a^c\), \(\ \log_ax
• при \(00\) сохраняется.

Если в решении относительно \(t\) несколько промежутков, для каждого записывают соответствующее двойное неравенство или систему и объединяют решения.

5. Учёт ОДЗ и граничных точек

• В ОДЗ входят условия для аргументов и оснований всех логарифмов в исходной записи, даже если они «исчезли» после упрощений.
• Нули знаменателя после замены (например, \(t=5\) или \(t=-5\)) остаются выколотыми; нули числителя при нестрогом знаке закрашиваются. Нуль чётной кратности в числителе при нестрогом неравенстве даёт отдельную точку ответа.
• Если после замены получилась дробь, её решают методом интервалов относительно \(t\); затем каждому промежутку (и каждой изолированной точке) по \(t\) отвечает свой промежуток (или значение) \(x\).

6. Алгоритм решения

1. Запишите ОДЗ.
2. Приведите все логарифмы к одному основанию и аргументу вида \(x\) или \(f(x)\).
3. Введите \(t=\log_a x\) (или \(t=\log_a f(x)\)).
4. Решите рациональное неравенство по \(t\) методом интервалов.
5. Для каждого промежутка по \(t\) решите простейшее логарифмическое неравенство, учитывая, больше основание единицы или меньше.
6. Объедините решения и пересеките с ОДЗ.

Разобранные примеры