16.7. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

1. Что такое переменное основание

В неравенстве \(\log_{h(x)}f(x)\vee\log_{h(x)}g(x)\) основание \(h(x)\) само зависит от \(x\). Тогда монотонность логарифма заранее неизвестна: при \(h(x)>1\) логарифм возрастает, при \(0

2. ОДЗ

Для всех логарифмов в записи:

• основание: \(h(x)>0\) и \(h(x)\ne1\);
• аргументы: \(f(x)>0\), \(g(x)>0\);
• знаменатели (если есть) не равны нулю.

3. Стандартный способ: два случая

Неравенство \(\log_{h(x)}f(x)>\log_{h(x)}g(x)\) равносильно совокупности двух систем:

Решения двух систем объединяют (совокупность). Для знака \(<\) в системах переворачивают знаки между \(f\) и \(g\); для нестрогих знаков добавляют равенство в соответствующее неравенство между \(f\) и \(g\), условия на основание остаются строгими.

4. Сравнение логарифма с числом

Число записывают как логарифм с тем же основанием: \(1=\log_{h}h\), \(0=\log_h1\), \(c=\log_hh^c\).

• \(\log_{h(x)}f(x)>1\iff\) совокупность: \(\begin{cases}h>1\\f>h\end{cases}\) или \(\begin{cases}0
• \(\log_{h(x)}f(x)>0\iff\) совокупность: \(\begin{cases}h>1\\f>1\end{cases}\) или \(\begin{cases}0

5. Приёмы приведения к одному основанию

• Формула перехода: \(\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\), в частности \(\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\).
• Степень в основании: \(\log_{a^c}b=\dfrac1c\log_ab\); для чётной степени \(\log_{a^{2n}}b=\dfrac1{2n}\log_{|a|}b\).
• Степень в аргументе: \(\log_ab^{2s}=2s\log_a|b|\), поэтому при чётной степени пишите модуль.

6. Связь с рационализацией

На ОДЗ два случая объединяются в одно рациональное неравенство:

\(\log_{h}f-\log_{h}g\vee0\iff(h-1)(f-g)\vee0\), \(\ f>0,\ g>0,\ h>0,\ h\ne1\).

Ведь при \(h>1\) множитель \(h-1\) положителен, и знак между \(f\) и \(g\) сохраняется; при \(0

7. Алгоритм решения

1. Запишите ОДЗ: основания \(h>0\), \(h\ne1\), аргументы больше нуля, знаменатели не нуль.
2. Приведите логарифмы к одному основанию, если нужно; число запишите как логарифм с тем же основанием.
3. Перейдите к двум случаям по основанию (\(h>1\) и \(0
4. Решите получившиеся неравенства (методом интервалов), объедините решения случаев.
5. Пересеките с ОДЗ и запишите ответ.

Разобранные примеры