16.8. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

1. Идея метода рационализации (замены множителя)

Метод применим к неравенствам вида \(F(x)\vee0\), где справа стоит нуль, а \(F\) — произведение или частное «сложных» множителей (логарифмов, степеней, корней, модулей). Для таких неравенств важен только знак каждого множителя, поэтому сложный множитель заменяют на более простой рациональный с тем же знаком на ОДЗ. Заменяют именно множитель, а не слагаемое. После замены получается рациональное неравенство, которое решают методом интервалов.

Почему замена верна

Возьмём \(\log_hf-\log_hg\). Если \(h>1\), логарифм возрастает: знак разности совпадает со знаком \(f-g\), и множитель \(h-1>0\) знак не меняет. Если \(0Значения выражений при этом не равны — одинаковы только знаки.

2. Таблица замен

Все выражения рассматриваются на ОДЗ: \(f>0,\ g>0,\ h>0\) и \(h\ne1\), когда \(h\) — основание логарифма.

Пояснения к строкам: \(\log_hf-1=\log_hf-\log_hh\), \(\log_hf=\log_hf-\log_h1\). Для логарифма с постоянным основанием \(a\) множитель \((a-1)\) опускать нельзя — он даёт знак (при \(a>1\) он положителен, при \(0

3. Как приводить к нужному виду

• Перенесите всё в одну часть так, чтобы справа был нуль; разложите на множители.
• Приведите логарифмы к одному основанию, если оно разное: \(\log_{a^c}b=\tfrac1c\log_ab\), \(\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\), \(\log_5(x+2)=\log_{25}(x+2)^2\) (на ОДЗ).
• Если справа и слева стоят не нули, а числа или выражения, превратите их в логарифмы (например, \(1=\log_hh\)) или в степени с тем же основанием.
• Если логарифм стоит в знаменателе дроби \(\dfrac{\log_hf}{\log_hg}\), заменяйте и числитель, и знаменатель отдельно, но не забывайте про ОДЗ и про то, что знаменатель не равен нулю.
• Если множитель сохраняет знак на ОДЗ (например, заведомо положительный), его можно просто отбросить; если заведомо отрицательный — отбросить, перевернув знак неравенства.

4. Алгоритм решения

1. Запишите ОДЗ отдельно: аргументы логарифмов больше нуля, основания больше нуля и не равны 1, знаменатели не равны нулю, подкоренные выражения неотрицательны.
2. Приведите неравенство к виду «произведение (или дробь) \(\vee0\)».
3. Замените каждый сложный множитель по таблице.
4. Решите полученное рациональное неравенство методом интервалов (при необходимости разложите на множители).
5. Пересеките результат с ОДЗ.

На экзамене сделайте пометку, что применяется метод рационализации (замены множителей). Расстановка знаков по методу интервалов специального обоснования не требует.

Разобранные примеры