16.9. Логарифмические неравенства, разные задачи

1. Общая стратегия для «разных» логарифмических неравенств

Если неравенство не относится к одному стандартному типу, действуют по плану: ОДЗ → преобразования → выбор метода → пересечение с ОДЗ. Среди методов для логарифмических неравенств в №16 чаще всего встречаются: потенцирование, замена переменной, метод рационализации и метод интервалов. Ниже — справочник того, что понадобится.

2. Определение, тождества, свойства

• \(\log_ab=c\iff a^c=b\) (\(a>0,\ a\ne1,\ b>0\)); \(a^{\log_ab}=b\); \(\log_aa=1\), \(\log_a1=0\).
• \(\log_a(N_1N_2)=\log_aN_1+\log_aN_2\), \(\log_a\dfrac{N_1}{N_2}=\log_aN_1-\log_aN_2\) для \(N_1,N_2>0\).
• Если \(N_1N_2>0\), но знаки неизвестны, пишут \(\log_a(N_1N_2)=\log_a|N_1|+\log_a|N_2|\), а для частного — с разностью модулей.
• \(\log_aN^k=k\log_aN\) при \(N>0\); для чётного показателя \(\log_aN^{2s}=2s\log_a|N|\) при \(N\ne0\).
• Переход к другому основанию: \(\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\); в частности \(\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\).
• \(\log_{a^c}b=\dfrac1c\log_ab\) (\(c\ne0\)); для \(c=2n\): \(\log_{a^{2n}}b=\dfrac1{2n}\log_{|a|}b\).
• \(a^{\log_cb}=b^{\log_ca}\).
• Логарифм от корня: \(\log_a\sqrt[n]{b}=\dfrac1n\log_ab\).

Если в учебниках модули в этих формулах опущены, на экзамене их всё равно нужно держать в голове: ОДЗ определяют до преобразований.

3. Знаки логарифмов

• При \(a>1\): \(\log_ax>0\) при \(x>1\) и \(\log_ax<0\) при \(0
• При \(00\) при \(01\).
• Знак логарифма \(\log_hf\) совпадает со знаком произведения \((h-1)(f-1)\) на ОДЗ — удобно для неравенств со многими множителями.

4. Основные методы

1. Потенцирование. Переход от \(\log_af\vee\log_ag\) к аргументам: при \(a>1\) знак сохраняется, при \(00\), \(g>0\).
2. Замена переменной. \(t=\log_ax\) для неравенств вида \(F(\log_ax)\vee0\), либо \(t=a^x\) для показательных частей.
3. Метод рационализации. Если неравенство представлено в виде произведения или дроби и справа нуль, заменяют логарифмические множители рациональными (см. таблицу замен). Особенно полезно при переменном основании.
4. Разложение на множители и метод интервалов. Опирается на постоянство знака непрерывной функции между нулями.
5. Метод оценки (мажорант). Одну часть оценивают сверху, другую снизу. Например, если \(\log_2(\ldots)\le4\) на ОДЗ, а \(x^2-2x+5\ge4\), то равенство возможно только в точке, где достигаются обе оценки; эту точку находят и проверяют.
6. Монотонность и подбор корня. Если одна функция возрастает, а другая убывает, пересечение графиков не более чем одно; корень (часто целый) угадывают и проверяют.
7. Функционально-графический метод: по графикам обеих частей выбирают промежутки.
8. Равносильная система с учётом ОДЗ и знаков.

5. Особенности, которые встречаются в задачах

• Чётная степень под логарифмом. Условие ОДЗ записывают для самого аргумента (например, \((x-3)^4>0\), то есть \(x\ne3\)). Чётную степень убирают с модулем: \(\log_{0{,}25}(x-3)^4=\log_{0{,}5}(x-3)^2\), а не просто «выбрасывают».
• Умножение на множитель известного знака. Если на ОДЗ множитель вроде \(\sin(\pi+x)\) заведомо отрицателен, то при умножении или делении на него знак неравенства меняется.
• Нестрогое неравенство: решают «равно или строго больше (меньше)» и объединяют ответы, либо используют метод интервалов с закрашенными нулями числителя.
• Логарифмы с разными основаниями (например, 2 и 3): определяют знак каждого логарифма по промежуткам и используют формулу перехода к общему основанию.

6. Общий алгоритм

1. Выпишите ОДЗ целиком: аргументы \(>0\), основания \(>0\) и \(\ne1\), знаменатели \(\ne0\), подкоренные выражения \(\ge0\).
2. Упростите: приведите к одному основанию, соберите логарифмы по свойствам, учитывая модули.
3. Выберите метод (потенцирование, замена, рационализация, метод интервалов, оценка).
4. Решите рациональное или простейшее неравенство.
5. Пересеките с ОДЗ, проверьте граничные точки и запишите ответ.

Разобранные примеры