Задание 17 · Прикладная задача: модель и её исследование (НОВОЕ в 2027)

17.1. Задачи на оптимальный выбор / наибольшее-наименьшее значение через производную (по демоверсии: мощность на нагрузке, амплитуда колебаний)

Для репетитора: показать ответы

1. О чём это задание

Задание №17 проверяет умение перевести реальную ситуацию на язык математики, построить и исследовать модель и истолковать результат. Задачи могут быть связаны с другими предметными областями, в том числе с физикой. В демонстрационном варианте это, например, задачи про тепловую мощность генератора (используются закон Ома и закон Джоуля — Ленца) и про амплитуду вынужденных колебаний корабля на волне — нужно найти такое значение параметра, при котором амплитуда наибольшая.

Законы и формулы приводятся в условии, но нужно понимать их смысл, чтобы выбрать нужные величины, выразить искомую переменную и составить функцию. Затем эту функцию исследуют — чаще всего с помощью производной ищут наибольшее или наименьшее значение.

2. Этапы работы с моделью

Перевод: по условию выберите переменную и запишите величину, которую нужно сделать наибольшей или наименьшей, как функцию этой переменной.
Работа с формулами: преобразуйте выражения, выразите нужные величины друг через друга.
Исследование функции: найдите область определения, производную, критические точки, наибольшее или наименьшее значение.
Истолкование: верните результат в условие — ответ должен иметь смысл для исходной ситуации.

3. Производная и экстремумы: что нужно помнить

Критические точки

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Точки, где $f'(x_0)=0$, называют стационарными.

Необходимое условие экстремума: если в точке $x_0$ есть экстремум и производная в ней существует, то $f'(x_0)=0$. Обратное неверно: нулевая производная не гарантирует экстремума. Критические точки — лишь кандидаты.
Достаточное условие (по смене знака $f'$): если при переходе через $c$ производная меняет знак с «+» на «−», то $c$ — точка максимума; с «−» на «+» — точка минимума; если знак не меняется, экстремума нет.

Монотонность

Пусть $f$ непрерывна на промежутке. Если $f'\ge0$ внутри промежутка и равна нулю лишь в конечном числе точек, то $f$ возрастает; если $f'\le0$ с тем же условием, то убывает.

Теорема Вейерштрасса

Непрерывная на отрезке функция принимает на нём наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее значение может достигаться на одном из концов, на обоих концах или во внутренней точке отрезка.

4. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке $[a;b]$

Найдите область определения функции и проверьте, что отрезок в неё входит.
Найдите производную $f'(x)$.
Найдите критические точки: решите $f'(x)=0$ и отдельно отметьте точки, где производная не существует.
Отберите критические точки, которые лежат внутри отрезка, и вычислите в них значения функции.
Вычислите значения функции на концах отрезка.
Из всех найденных значений выберите наибольшее и наименьшее.

Альтернативный путь — исследование знаков производной: определите знаки $f'(x)$ методом интервалов, сделайте эскиз (где функция возрастает, где убывает) и выберите по эскизу нужную точку или значение.

5. Приёмы работы с производной

Множитель вида $e^{g(x)}$ всегда положителен, поэтому при анализе знака производной его можно не учитывать.
Если критическая точка входит в чётное число множителей (как $(x-a)^2$), знак производной при переходе через неё не меняется; нечётная кратность означает смену знака и экстремум.
Если на отрезке производная знакопостоянна, функция монотонна, и наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах.
Экстремумы вне заданного отрезка не интересуют.
Точка, в которой функция не определена, не может быть ответом, даже если «выглядит» как экстремум.

Лайфхак 1. Выпишите кандидатов. На отрезке ответ всегда ищется среди двух групп точек: внутренних критических точек и концов отрезка. Подставьте их в функцию и сравните значения.

Лайфхак 2. Подставляйте в функцию, а не в производную. Финальную проверку делайте по исходной функции: значения производной в критических точках ответ не дают.

Лайфхак 3. Отбросьте положительные множители. Экспонента и квадраты в произведении не влияют на знак (квадрат — лишь на кратность корня), так что знак производной определяют остальные множители.

Лайфхак 4. Разберитесь с физикой в условии. Формулы и законы заданы в тексте; ваша задача — понять, какие величины в них связаны, и записать искомую величину как функцию одной переменной.

Разобранные примеры

Пример 1

На заводе имеется генератор с ЭДС $\varepsilon=60$ В и внутренним сопротивлением $r=2$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I=\dfrac{\varepsilon}{r+R}.$ Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: $P=I^2R.$
Какова максимальная тепловая мощность $P$, которая может быть выделена нагрузкой?

Решение

Мощность, выделяемая в нагрузке:
$P=I^2R.$
По закону Ома:
$I=\dfrac{\varepsilon}{r+R}.$
Тогда:
$P=\left(\dfrac{\varepsilon}{r+R}\right)^2R.$
Получаем функцию:
$P(R)=\dfrac{\varepsilon^2R}{(r+R)^2}.$
Максимальная мощность передаётся в нагрузку при условии:
$R=r.$
Следовательно:
$P_{\max}=\dfrac{\varepsilon^2}{4r}.$
Подставим значения:
$P_{\max}=\dfrac{60^2}{4\cdot2}.$
$P_{\max}=\dfrac{3600}{8}=450.$
Ответ: $450\text{ Вт}.$

Пример 2

Высота тела над землёй через $t$ секунд после броска описывается формулой $h(t)=15+20t-5t^2$, где $h$ измеряется в метрах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело.