Задание 18 · Планиметрическая задача (доказательство + вычисление)

18.1. Треугольники и их свойства

Для репетитора: показать ответы

1. Углы, признаки равенства и подобия

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним: $\angle BCD=\angle A+\angle B$.
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. Сумма двух сторон больше третьей.
Признаки равенства: по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим углам; по трём сторонам.
Признаки подобия: по двум углам; по двум пропорциональным сторонам и углу между ними; по трём пропорциональным сторонам.
У подобных фигур с коэффициентом $k$ периметры относятся как $k$, площади — как $k^2$.
Обобщённая теорема Фалеса: параллельные секущие отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

2. Равнобедренный треугольник

Углы при основании равны; если два угла равны, треугольник равнобедренный.
Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают.
Если у треугольника совпадают медиана и биссектриса (или высота и биссектриса, или медиана и высота), проведённые из одной вершины, то он равнобедренный.

3. Замечательные линии и точки

Линия	Свойства
Медианы	пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины; медиана делит треугольник на два равновеликих; три медианы делят его на шесть равновеликих частей
Биссектрисы	пересекаются в центре вписанной окружности; биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам: $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AL}{LC}$
Высоты	(их прямые) пересекаются в одной точке — ортоцентре
Серединные перпендикуляры	пересекаются в центре описанной окружности
Средняя линия	параллельна третьей стороне и равна её половине; отсекает подобный треугольник с коэффициентом $\tfrac12$; три средние линии делят треугольник на четыре равных треугольника площади $\tfrac S4$

Длина медианы к стороне $b$: $m_b=\tfrac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}$.

Точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон, и наоборот. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

4. Вид треугольника по сторонам

Пусть $c$ — наибольшая сторона. Если $c^2a^2+b^2$, тупоугольный.

5. Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора: $a^2+b^2=c^2$; верна и обратная.
Медиана к гипотенузе равна её половине; центр описанной окружности — середина гипотенузы.
Высота $h$ к гипотенузе делит треугольник на два подобных ему: $h^2=c_a\cdot c_b$, $a^2=c\cdot c_a$, $h=\dfrac{ab}{c}$.
Катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы (верно и обратное).
$r=\dfrac{a+b-c}{2}$: вершина прямого угла, точки касания вписанной окружности с катетами и её центр образуют квадрат.

6. Теоремы синусов и косинусов

Косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
Синусов: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$.

7. Площадь треугольника

Формула	Когда удобна
$S=\tfrac12ah_a$	известна сторона и высота
$S=\tfrac12ab\sin C$	известны две стороны и угол между ними
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$	известны три стороны ($p$ — полупериметр)
$S=pr$	известен радиус вписанной окружности
$S=\dfrac{abc}{4R}$	известен радиус описанной окружности

Для равностороннего треугольника со стороной $a$: $h=\dfrac{a\sqrt3}{2}$, $S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

8. Отношения площадей

С общей стороной: отношение площадей равно отношению высот к ней.
С общей высотой: отношение площадей равно отношению оснований.
С общим углом: отношение площадей равно отношению произведений сторон, образующих угол.
Если вершины двух треугольников с общим основанием лежат на прямой, параллельной основанию, площади равны.

9. Теоремы для задач на отношения отрезков

Менелай (для секущей): $\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1$.
Чева: то же соотношение выполняется для трёх чевиан, пересекающихся в одной точке.
Если $A_1,B_1,C_1$ — точки касания вписанной окружности, то $AB_1=AC_1=p-a$, где $p$ — полупериметр.

10. Ортоцентр $H$

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ — высоты.

Четырёхугольники $AC_1HB_1$, $BA_1HC_1$, $CB_1HA_1$ вписанные (противолежащие углы по $90^\circ$); вписанными являются также $ABA_1B_1$, $BCB_1C_1$, $CAC_1A_1$.
Точка $H$ — центр вписанной окружности ортотреугольника $A_1B_1C_1$: высоты — его биссектрисы.
Точка, симметричная $H$ относительно стороны, лежит на описанной окружности; точка, симметричная $H$ относительно середины стороны, тоже лежит на ней и диаметрально противоположна противолежащей вершине.
$BH=2\cdot OM$, где $O$ — центр описанной окружности, $M$ — середина $AC$.
$AH^2+BC^2=4R^2$.
$\triangle BA_1C_1\sim\triangle BAC$ с коэффициентом $\cos\beta$, где $\beta=\angle ABC$.

Лайфхак 1. Выбирайте формулу площади по данным. Углы известны — берите $\tfrac12ab\sin C$; известен радиус вписанной — $S=pr$; известен радиус описанной — $S=\dfrac{abc}{4R}$.

Лайфхак 2. Средняя линия и подобие $\tfrac12$. Средняя линия и подобие с коэффициентом $\tfrac12$ часто упрощают построения и вычисления.

Лайфхак 3. Отношения отрезков — Менелай и Чева. Для отношений отрезков применяйте теоремы Менелая и Чевы, а при биссектрисах — свойство биссектрисы. Если данных мало, переходите к координатам или векторам.

Лайфхак 4. Высоты — ищите вписанные четырёхугольники. В задачах с высотами проверяйте вписанные четырёхугольники с ортоцентром и подобие с коэффициентом косинуса.

Лайфхак 5. Держите доказательство в голове. Часть фактов из справочников по планиметрии выделяют как такие, которые на ЕГЭ нужно уметь доказывать: опирайтесь на них, но знайте, как они доказываются.

Разобранные примеры

Пример 1

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M  — середина гипотенузы AB, H  — точка пересечения прямых CM и DK.

а)  Докажите, что CM $\bot$ DK.

б)  Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.

Решение

а)  Треугольник ABC прямоугольный, поэтому AK ⊥ DB. M  — середина AB, поэтому CM  — медиана прямоугольного треугольника, откуда CM  =  MB  =  AM. Тогда ∠MBC = ∠MCB = ∠DCH (поскольку ∠DCH и ∠MCB вертикальные).

AK ⊥ DB, DC  =  AC и KC  =  CB, поэтому треугольники DCK и ACB равны. Значит, ∠CDK = ∠CAB. ∠CDK = ∠CAB и ∠DCH = ∠CBA, поэтому треугольники DCH и ABC подобны по двум углам. Значит, DCH прямоугольный и CH ⊥ DK.

б)  По теореме Пифагора AB  =  338. Тогда MC  =  169. Имеем $DC в квадрате =DK умножить на DH,$ то есть DH  =  50, тогда HK  =  288. Значит, $CH= корень из: начало аргумента: 50 умножить на 288 конец аргумента =120.$ Тогда MH  =  120 + 169  =  289.

Ответ: 289.

Пример 2

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.

а)  Докажите, что прямые EH и AC параллельны.

б)  Найдите отношение EH и AC, если $\angle ABC=45 градусов.$

Решение

а)  AMKC  — вписанный четырехугольник, поскольку $\angle AMC=\angle AKC=90 градусов$   — все точки лежат на окружности с диаметром AC. Аналогично MKEH  — вписанный, причем в окружность с диаметром MK. Значит,

$\angle KEH=\angle KMH=\angle KMC=\angle KAC,$

откуда $EH\parallel AC.$

б)  Обозначим за O точку пересечения AK и MC. Тогда $\angle MOK=180 градусов минус \angle MBK=135 градусов,$ $\angle KOC=45 градусов.$ Поэтому KOC  — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его высота KH совпадает с его медианой, то есть H  — середина OC. Аналогично E  — середина OA, поэтому EH  — средняя линия треугольника AOC и $EH:AC=1:2.$

Ответ: $1:2.$

Примечание.

Еще несколько подходов к решению приведены в задаче 514449.

Источники

«Секретный файл по планиметрии», Школково (shkolkovo.online)
Справочник по планиметрии, Лицей при ТПУ, Томск, 2003
«Планиметрия. Теория», методические материалы, surwiki.admsurgut.ru

У1
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M  — середина стороны AB.
а)  Докажите, что $CM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DK.$
б)  Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC  =  10, BC  =  32 и ∠ACB  =  30°.
У2
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E  —  на отрезке AB.
а)  Докажите, что FH  =  2DH.
б)  Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB  =  4.
У3
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а)  Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б)  Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH  =  2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.
У4
Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂  — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а)  Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.
б)  Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB  =  4, BC  =  7 и AC  =  8.
У5
Прямая, параллельная гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет  АС в точке  D, катет  BC  — в точке E, причем DE  =  2 и BE  =  1. На гипотенузе взята точка F так, что BF  =  1, величина угла FCB равна 30°.
а)  Докажите, что треугольник BFE равносторонний.
б)  Найдите площадь треугольника ABC.
У6
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N  — середины катетов АС и ВС соответственно, СН  — высота.
а)  Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.
б)  Пусть Р  — точка пересечения прямых АС и NH, а Q  — точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН  =  4 и ВН  =  2.
У7
На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а)  Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б)  Известно, что $косинус \angle ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$ В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
У8
Точки B₁ и C₁ лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причём AB₁ : B₁C  =  AC₁ : C₁B. Прямые BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O.
а)  Докажите, что прямая AO делит пополам сторону BC.
б)  Найдите отношение площади четырёхугольника AB₁OC₁ к площади треугольника ABC, если известно, что AB₁ : B₁C  =  AC₁ : C₁B  =  1 : 4.
У9
В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B₁ симметрична точке B относительно CO.
а)  Докажите, что A, B, O и B₁ лежат на одной окружности.
б)  Найдите площадь четырёхугольника AOBB₁, если AB  =  10, AC  =  6 и BC  =  8.
У10
Из вершин А и В тупоугольного треугольника АВС проведены высоты BQ и AH. Известно, что угол В  — тупой, BC : CH  =  4 : 5, BH  =  BQ.
А)  Докажите, что диаметр описанной вокруг треугольника ABQ окружности в $дробь: числитель: 2 корень из 6 , знаменатель: 3 конец дроби$ раз больше BQ.
Б)  Найдите площадь четырехугольника AHBQ, если площадь треугольника HQC равна 25.
У11
В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета  BC за точку C, причём $CM=BC$ и $CN=AC.$ Отрезки CP и CQ  — биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.
а)  Докажите, что CP и СQ перпендикулярны.
б)  Найдите PQ, если $BC=3,$ а $AC=5.$
У12
Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AC отмечена точка M, а на продолжении катета BC за точку C  — точка  N так, что CM  =  CB и CA  =  CN.
а)  Пусть CH и CF  — высоты треугольников ABC и NMC соответственно. Докажите, что CF и CH перпендикулярны.
б)  Пусть L  — это точка пересечения BM и AN, BC  =  2, AC  =  5. Найдите ML.
У13
В равнобедренном треугольнике ABC с углом $120 градусов$ при вершине A проведена биссектриса $BD.$ В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E  —  на отрезке $AB.$
а)  Докажите, что $FH=2DH.$
б)  Найдите площадь прямоугольника DEFH, если $AB=2.$
У14
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а)  Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б)  Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH  =  2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 9.
У15
Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂  — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а)  Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.
б)  Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.
У16
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N  — середины катетов АС и ВС соответственно, СН  — высота.
а)  Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.
б)  Пусть Р  — точка пересечения прямых АС и NH, а Q  — точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН  =  12 и ВН  =  3.
У17
На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а)  Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б)  Известно, что $косинус \angle ABC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$ В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
У18
На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M  — середина гипотенузы AB, H  — точка пересечения прямых CM и DK.
а)  Докажите, что CM $\bot$ DK.
б)  Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 30 и 40.
У19
В треугольник ABC, в котором длина стороны AC больше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B₁ симметрична точке B относительно прямой CO.
а)  Докажите, что A, B, O и B₁ лежат на одной окружности.
б)  Найдите площадь четырёхугольника ABOB₁, если AB  =  10, AC  =  8 и BC  =  6.
У20
На гипотенузе AB и на катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки M, N и K соответственно, причем прямая KN параллельна прямой AB и BM  =  BN  =   $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KN.$ Точка P  — середина отрезка KN.
а)  Докажите, что четырехугольник BCPM  — равнобедренная трапеция.
б)  Найдите площадь треугольника ABC, если $BM=2$ и $\angle BCM=30 градусов.$
У21
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на стороне BC, а вершина E  —  на стороне AB.
а)  Докажите, что FH = 2DH.
б)  Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 2.
У22
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Из точки H на стороны AB и BC отпустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а)  Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б)  Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH  =  3, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 2.
У23
Медианы АА₁ и ВВ₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки А₂, В₂ и С₂  — середины отрезков MA, MB и МС соответственно.
а)  Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.
б)  Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 6, ВС = 11 и АС = 12.
У24
Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а)  Докажите, что ∠AHB₁ = ∠ACB.
б)  Найдите BC, если AH  =  21 и ∠BAC  =  30°.
У25
Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б)  Найдите сумму квадратов медиан AA₁ и CC₁, если известно, что AC = 8.

Д1
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.
а)  Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б)  Найдите радиус этой окружности, если AB = 24, CH = 7.
Д2
Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а)  Докажите, что ∠AHB₁ = ∠ACB.
б)  Найдите BC, если AH  =  4 и ∠BAC  =  60°.
Д3
Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC  =  3MB.
а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б)  Найдите сумму квадратов медиан AA₁ и CC₁, если известно, что AC  =  10.
Д4
Все четыре треугольника, заштрихованные на рисунке, равновелики.
а)  Докажите, что все три четырехугольника, не заштрихованные на нем, тоже равновелики.
б)  Найдите площадь одного четырехугольника, если площадь одного заштрихованного треугольника равна 1.
Д5
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
а)  Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны.
б)  Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.
Д6
На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отмечена точка D так, что AD  =  AB. Прямая, проходящая через точку А, параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке M.
а)  Докажите, что AM  — биссектриса треугольника АВС.
б)  Найти S_AMBD, если AC  =  30, BC  =  18 и AB  =  24.
Д7
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N  — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а)  Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б)  Найдите отношение площадей этих треугольников, если $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$
Д8
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC  =  1 : 2.
а)  Докажите, что $\angle BAC=30 градусов.$
б)  Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK  — в точке Q. Найдите KQ, если BC  =   $корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$
Д9
В треугольнике ABC угол ABC тупой, H  — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.
а)  Докажите, что угол ABC равен 120°.
б)  Найдите BH, если $AB = 7$ и $BC=8.$
Д10
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFG. Точка M  — середина стороны AB.
а)  Докажите, что точка M равноудалена от центров квадратов.
б)  Найдите площадь треугольника DMG, если $AC = 6,BC = 8,AB =10.$
Д11
На гипотенузе AB и на катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки M, N и K соответственно, причем прямая KN параллельна прямой AB и BM  =  BN  =   $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KN.$ Точка P  — середина отрезка KN.
а)  Докажите, что четырехугольник BCPM  — равнобедренная трапеция.
б)  Найдите площадь треугольника ABC, если $BM=1$ и $\angle BCM=15 градусов.$
Д12
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M  — середина стороны AB.
а)  Докажите, что $CM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DK.$
б)  Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC  =  6, BC  =  10 и ∠ACB  =  30°.
Д13
Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке $H.$
а)  Докажите, что $\angle AHB_1=\angle ACB.$
б)  Найдите BC, если $AH=6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и $\angle BAC=60 градусов.$
Д14
Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC  =  3MB.
а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б)  Найдите сумму квадратов медиан AA₁ и CC₁, если известно, что AC = 12.
Д15
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а)  Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б)  Найдите отношение EH и AC, если $\angle ABC=60 градусов.$
Д16
На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отмечена точка D так, что AD  =  AB. Прямая, проходящая через точку А параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке M.
а)  Докажите, что AM  — биссектриса треугольника АВС.
б)  Найти S_AMBD, если AC  =  10, BC  =  8 и AB  =  6.
Д17
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N  — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а)  Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б)  Найдите отношение площадей этих треугольников, если $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби .$
Д18
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
а)  Докажите, что $\angle BAC=30 градусов.$
б)  Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK  — в точке Q. Найдите KQ, если BC  =   $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
Д19
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFG. Точка M  — середина стороны AB.
а)  Докажите, что точка M равноудалена от центров квадратов.
б)  Найдите площадь треугольника DMG, если $AC = 30,BC = 40,AB =50.$
Д20
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M  — середина стороны AB.
а)  Докажите, что $CM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DK.$
б)  Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если $AC=14,BC=16$ и $\angle ACB=150 градусов.$
Д21
Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а)  Докажите, что ∠AHB₁ = ∠ACB.
б)  Найдите BC, если $AH=8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и ∠BAC  =  60°.
Д22
Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC  =  3MB.
а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б)  Найдите сумму квадратов медиан AA₁ и CC₁, если известно, что AC = 10.
Д23
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M  — середина стороны AB.
а)  Докажите, что $CM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DK.$
б)  Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если $AC=6,BC=10$ и $\angle ACB=30 градусов.$
Д24
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а)  Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б)  Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH  =  1, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 4.
Д25
Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂  — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а)  Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.
б)  Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 2, BC = 5 и AC = 6.

Формула	Когда удобна
\(S=\tfrac12ah_a\)	известна сторона и высота
\(S=\tfrac12ab\sin C\)	известны две стороны и угол между ними
\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)	известны три стороны (\(p\) — полупериметр)
\(S=pr\)	известен радиус вписанной окружности
\(S=\dfrac{abc}{4R}\)	известен радиус описанной окружности