Задание 18 · Планиметрическая задача (доказательство + вычисление)

18.10. Разные задачи о многоугольниках

Для репетитора: показать ответы

1. Параллелограмм и его частные случаи

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Частные случаи: прямоугольник, ромб, квадрат.

Противоположные стороны равны, противоположные углы равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам; эта точка — центр симметрии фигуры.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов двух соседних сторон: $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$.
Площадь: $S=a\cdot h_a$ и $S=ab\sin\alpha$, где $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

Признаки параллелограмма

противоположные стороны попарно равны;
две противоположные стороны равны и параллельны;
противоположные углы попарно равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Фигура	Диагонали	Площадь
Прямоугольник	равны, делятся пополам	$S=ab$
Ромб	перпендикулярны, делятся пополам	$S=\tfrac12 d_1d_2$
Квадрат	равны, перпендикулярны, делятся пополам	$S=a^2$

2. Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого одна пара сторон параллельна. Параллельные стороны $a$ и $b$ — основания, две другие — боковые стороны.

Средняя линия соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме: $m=\dfrac{a+b}{2}$.
Площадь: $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h=m\cdot h$.
Диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны с коэффициентом $k=\dfrac{a}{b}$, а их площади относятся как $k^2$. Два других, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.
Точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится ею пополам; его длина равна $\dfrac{2ab}{a+b}$.

Равнобедренная трапеция

Боковые стороны равны, углы при каждом основании равны, диагонали равны.
Прямая через середины оснований перпендикулярна им и является осью симметрии.
Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на отрезки $\dfrac{a+b}{2}$ и $\dfrac{a-b}{2}$.
Если диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований: $h=\dfrac{a+b}{2}$.

3. Вписанный четырёхугольник

Четырёхугольник вписан в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.

Признак: сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
Другой признак: две вершины видят отрезок, соединяющий две другие вершины, под одним и тем же углом (вершины лежат по одну сторону от этого отрезка).
Если диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$, то $EA\cdot EC=EB\cdot ED$.
Теорема Птолемея: произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
Формула Брахмагупты: $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, где $p$ — полупериметр.

Четырёхугольник	Когда вписан в окружность
Трапеция	только равнобедренная
Параллелограмм	только прямоугольник
Ромб	только квадрат
Прямоугольник, квадрат	всегда

4. Описанный четырёхугольник

Четырёхугольник описан около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Теорема Пито: выпуклый четырёхугольник описан тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: $AB+CD=BC+AD$.
Площадь: $S=pr$, где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности. Для описанного четырёхугольника $p=a+c=b+d$.
Отрезки касательных, проведённых из одной вершины к окружности, равны.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе каждого угла.

Четырёхугольник	Когда в него можно вписать окружность
Трапеция	только при $a+b=c+d$: сумма оснований равна сумме боковых сторон
Параллелограмм	только ромб
Прямоугольник	только квадрат
Ромб, квадрат	всегда

Трапеция с вписанной окружностью

Высота равна диаметру вписанной окружности: $h=2r$; средняя линия равна полусумме боковых сторон.
Боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом $90^\circ$.
Если точка касания делит боковую сторону на отрезки $p$ и $q$, то $r=\sqrt{pq}$.
Для равнобедренной трапеции с углом $\alpha$ при основании: $S=\dfrac{4r^2}{\sin\alpha}$.

Если четырёхугольник одновременно вписан и описан, его площадь равна $S=\sqrt{abcd}$.

5. Произвольный выпуклый четырёхугольник

Сумма углов равна $360^\circ$.
Площадь через диагонали: $S=\tfrac12 d_1d_2\sin\varphi$, где $\varphi$ — угол между диагоналями. Если диагонали перпендикулярны, $S=\tfrac12 d_1d_2$.
Теорема Вариньона: середины сторон любого выпуклого четырёхугольника — вершины параллелограмма; его площадь вдвое меньше площади исходного четырёхугольника, а периметр равен сумме диагоналей. Если диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны, получается прямоугольник.

6. Окружность: что пригодится в задачах

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается; вписанные углы на одну дугу равны.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую стягивает хорда.
Теорема синусов: $2R=\dfrac{a}{\sin\alpha}$; теорема косинусов: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$.

Лайфхак 1. Проверьте условия вписанности и описанности. Для вписанного четырёхугольника ищите равные вписанные углы и сумму противоположных углов $180^\circ$; для описанного — равенство сумм противоположных сторон и равные отрезки касательных.

Лайфхак 2. Трапеция с вписанной окружностью. Сразу записывайте $h=2r$, $a+b=c+d$ и угол $90^\circ$ при виде боковой стороны из центра; произведение отрезков касания боковой стороны даёт $r^2$.

Лайфхак 3. Хорда, равная радиусу. Вписанный угол, опирающийся на такую хорду, равен $30^\circ$ или $150^\circ$ (в зависимости от того, с какой дуги он виден).

Лайфхак 4. Середины сторон. Если в задаче даны середины сторон четырёхугольника, вспомните параллелограмм Вариньона: его площадь равна половине площади исходного четырёхугольника.

Разобранные примеры

Пример 1

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $BCDM$ — параллелограмм.
а) Докажите, что $BC=DE$.
б) Найдите длину стороны $AB$, если известно, что $DE=4$, $AD=7$, $BE=8$ и $AB>BC$.

Решение

Ответ: $6$

Пример 2

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3$, $BC = DE = 4$.
a) Докажите, что $AC = CE$.
б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD = 6$.

Решение

Ответ:$\dfrac{17}{3}$.

Источники

«Трапеция», Википедия (ru.wikipedia.org)
«Параллелограмм», Википедия (ru.wikipedia.org)
«Четырёхугольник», Википедия (ru.wikipedia.org)
«Вписанный четырёхугольник», Википедия (ru.wikipedia.org)
«Окружность», методические материалы к ЕГЭ, nitforyou.com, 2026
«Шпаргалка по геометрии 8 класс: кратко, наглядно, понятно», kedu.ru

У1
Точки E и K  — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точке O.
а)  Докажите, что вокруг четырёхугольника ABOK можно описать окружность.
б)  Найдите AO, если сторона квадрата равна 1.
У2
Внутри окружности с центром О построен правильный шестиугольник KOFPDL так, что его вершина D лежит на окружности. Из точки В, диаметрально противоположной точке D, проведены две хорды AB и ВС, проходящие через вершины К и F шестиугольника соответственно.
а)  Докажите, что $AK: KB =3: 7.$
б)  Найдите площадь треугольника АВС, если радиус окружности равен 14.
У3
Пятиугольник ABCDE  — вписанный, точка M  — пересечение диагоналей BE и AD. Известно, что BCDM  — параллелограмм.
а)  Докажите, что две стороны пятиугольника равны.
б)  Найдите AB, если известно, что $B E = 12,$ $B C = 5,$ $A D = 9.$
У4
Точка O  — центр правильного шестиугольника ABCDEF. Через точку B и середину отрезка OD проведена прямая, пересекающая сторону ED в точке T.
а)  Докажите, что прямая BT делит площадь шестиугольника в отношении 5 : 13.
б)  Найдите расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники BET и BCT с прямой BT, если сторона шестиугольника ABCDEF равна $корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1.$
У5
В треугольнике АВС известно, что АВ  =  АС  =  15, ВС  =  18. На стороне АВ отметили точки М₁ и М₂ так, что AM₁ < AM₂. Через точки М₁ и М₂ провели прямые, перпендикулярные стороне АВ и отсекающие от треугольника АВС пятиугольник, в который можно вписать окружность.
а)  Докажите, что AM₁ : BM₂  =  1 : 3.
б)  Найдите площадь данного пятиугольника.
У6
Xopды $AD,$ $BE$ и $CF$ окружности делят друг друга на три равные части.
a) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника $ABCDEF,$ если точки $A, B,C,D,E$ последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен $2√21.$
У7
$ABCDE$ – выпуклый пятиугольник, про который известно, что $∠A ≥ 120∘$ , $∠B ≤ 70∘$ , $∠C ≥ 130∘$ .
а) Докажите, что около хотя бы одного из четырёхугольников $ABCD$ и $ACDE$ нельзя описать окружность.
б) Найдите $AE$ , если в $ABCDE$ вписана окружность, касающаяся стороны $AE$ в её середине, $PABCDE = 10$ , $AB + CD + AE = 6, 5$ .
У8
Диагональ $AC$ делит выпуклый пятиугольник $ABCDE$ на равносторонний треугольник $ABC$ и ромб $ACDE.$
а) Докажите, что угол $DBE$ равен $30∘.$
б) Отрезки $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O.$ Найдите площадь треугольника $BOD,$ если $BD = 6.$

Д1
В треугольнике АВС известно, что АВ  =  АС  =  10, ВС  =  12. На стороне АВ отметили точки М₁ и М₂ так, что AM₁ < AM₂. Через точки М₁ и М₂ провели прямые, перпендикулярные стороне АВ и отсекающие от треугольника АВС пятиугольник, в который можно вписать окружность.
а)  Докажите, что AM₁ : BM₂  =  1 : 3.
б)  Найдите площадь данного пятиугольника.
Д2
В прямоугольный треугольник ABC вписан квадрат KCMN так, что вершины K и M расположены на катетах AC и BC соответственно, a на гипотенузе AB  — вершина N. Вершины квадрата TPQR расположены на сторонах треугольника ABC, причём вершины P и Q находятся на катетах AC и BC соответственно, а вершины R и T  — на гипотенузе AB.
а)  Докажите, что точка C и центры квадратов KCMN и TPQR лежат на одной прямой.
6)  Найдите длину стороны квадрата TPQR, если AC  =  5 и BC  =  12.
Д3
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали AD и BE пересекаются в точке M. Известно, что BCDM  — параллелограмм.
а)  Докажите, что $BC = DE.$
б)  Найдите длину стороны AB, если известно, что $DE = 4,$ $AD = 7,$ $BE = 8$ и $AB больше BC.$
Д4
В правильном шестиугольнике ABCDEF через вершину A проведена прямая, которая пересекает отрезок CF в точке K и делит площадь шестиугольника ABCDEF в отношении 1 : 11.
а)  Докажите, что прямая AK делит диагональ FC в отношении 1 : 5.
б)  Прямая AK пересекает описанную около шестиугольника ABCDEF окружность в точке T. Найдите отношение, в котором прямая BT делит отрезок AC.
Д5
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3$, $BC = DE = 4$.
а) Докажите, что $AC = CE$.
б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD = 6$.
Д6
Медианы $AA1$ , $BB1$ и $CC1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$ . Точки $A2$ , $B2$ и $C2$ — середины отрезков $M A$ , $M B$ и $M C$ соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника $A B C A B C 1 2 1 2 1 2$ вдвое меньше площади треугольника $ABC$ .
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что $AB = 5$ , $BC = 8$ и $AC = 10$ .
(МИОО 2013)
Д7
$ABCDEF$ – выпуклый шестиугольник, про который известно, что $∠A > 120∘$ , $∠B ≤ 70∘$ , $∠C ≥ 130∘$ , $∠E ≥ 110 ∘$ .
а) Докажите, что около хотя бы одного из четырёхугольников $ABCD$ , $ACDE$ и $ACDF$ нельзя описать окружность.
б) Найдите периметр $ABCDEF$ , если $AB + CD + EF = 11$ и в $ABCDEF$ можно вписать окружность.

Фигура	Диагонали	Площадь
Прямоугольник	равны, делятся пополам	\(S=ab\)
Ромб	перпендикулярны, делятся пополам	\(S=\tfrac12 d_1d_2\)
Квадрат	равны, перпендикулярны, делятся пополам	\(S=a^2\)

Четырёхугольник	Когда в него можно вписать окружность
Трапеция	только при \(a+b=c+d\): сумма оснований равна сумме боковых сторон
Параллелограмм	только ромб
Прямоугольник	только квадрат
Ромб, квадрат	всегда