Задание 18 · Планиметрическая задача (доказательство + вычисление)

18.2. Четырехугольники и их свойства

Для репетитора: показать ответы

1. Общие факты

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$; сумма углов выпуклого $n$-угольника — $180^\circ(n-2)$. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника (по одному при каждой вершине) равна $360^\circ$.
Площадь любого четырёхугольника: $S=\tfrac12d_1d_2\sin\varphi$, где $d_1,d_2$ — диагонали, $\varphi$ — угол между ними.
Параллелограмм Вариньона: середины сторон любого выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

2. Параллелограмм

Противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны.
Диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$.
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Признаки параллелограмма (для выпуклого четырёхугольника)

противоположные стороны попарно равны;
две стороны равны и параллельны;
противоположные углы попарно равны;
диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Площадь: $S=a\cdot h=ab\sin\alpha=\tfrac12d_1d_2\sin\varphi$.

3. Ромб, прямоугольник, квадрат

Фигура	Свойства и признаки	Площадь
Ромб	параллелограмм с равными сторонами; диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам. Признак: параллелограмм с перпендикулярными диагоналями (или с диагоналями-биссектрисами) — ромб	$\tfrac12d_1d_2$
Прямоугольник	параллелограмм с прямым углом; диагонали равны. Признак: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник	$ab$
Квадрат	прямоугольник с равными сторонами, он же ромб с прямым углом; диагонали равны и перпендикулярны, $d=a\sqrt2$	$a^2=\tfrac12d^2$

Середины сторон прямоугольника — вершины ромба, а середины сторон ромба — вершины прямоугольника.

4. Трапеция

Сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$.
Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме: $MN=\tfrac12(AD+BC)$.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований: $\tfrac12|AD-BC|$.
Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Прямая через точку пересечения диагоналей, параллельная основаниям, делится этой точкой пополам.
Площадь: $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$.

Равнобокая трапеция

Углы при основании равны, диагонали равны.
Если диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны, её площадь равна квадрату высоты: $S=h^2$.

5. Правильные многоугольники

Фигура (сторона $a$)	$R$	$r$	$S$
Равносторонний треугольник	$\dfrac{a}{\sqrt3}$	$\dfrac{a\sqrt3}{6}$	$\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$
Квадрат	$\dfrac{a\sqrt2}{2}$	$\dfrac a2$	$a^2$
Правильный шестиугольник	$a$	$\dfrac{a\sqrt3}{2}$	$\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}$

Большие диагонали правильного шестиугольника делят его на 6 равносторонних треугольников; большая диагональ вдвое больше стороны. Угол правильного $n$-угольника равен $\dfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.

6. Метод координат

Расстояние между точками: $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.
Середина отрезка: $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
Скалярное произведение: $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\varphi=x_1x_2+y_1y_2$.

Лайфхак 1. Биссектриса в параллелограмме. Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник — сразу получаете равные отрезки.

Лайфхак 2. Диагонали подсказывают вид. Равные диагонали параллелограмма означают, что он прямоугольник, перпендикулярные — что он ромб; равные и перпендикулярные — квадрат.

Лайфхак 3. Площадь через диагонали. В любом четырёхугольнике $S=\tfrac12d_1d_2\sin\varphi$. Для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями площадь равна квадрату высоты.

Лайфхак 4. Середины сторон. Если в задаче даны середины сторон четырёхугольника, вспомните параллелограмм Вариньона, а для прямоугольника и ромба — взаимный переход ромб ↔ прямоугольник.

Разобранные примеры

Пример 1

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O, BC и AD  — основания трапеции.

а)  Докажите, что $дробь: числитель: S_\Delta ABO, знаменатель: S_\Delta AOD конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: AD конец дроби .$

б)  Найдите площадь трапеции, если AD  =  4BC, $S_\Delta AOB=2.$

Решение

а)  Заметим, что у треугольников AOB и AOD общая высота, проведенная из вершины A. Значит, их площади относятся так же, как основания:

$S_AOB:S_AOD=BO:OD=BC:AD.$

Последнее равенство следует из подобия треугольников BOC и DOA.

б)  Из пункта а) следует, что $S_AOD=4S_AOB=8.$ Аналогично $S_COD:S_AOD=BC:AD,$ поэтому $S_COD=S_AOB=2.$ Далее,

$S_BOC:S_COD=BO:OD=BC:AD,$

отсюда $S_BOC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Окончательно получаем, что $S_ABCD=8 плюс 2 плюс 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =12,5.$

Ответ: 12,5.

Пример 2

Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.

а)  Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б)  Найдите площадь трапеции.

Решение

а)  Проведем через точку C прямую параллельную $BD.$ На пересечении этой прямой и прямой AD отметим точку $C_1,$ $BCC_1D$   — параллелограмм.

В треугольнике ACC₁: $AC=15,$ $CC_1=BD=8,$ $AC_1=AD плюс DC_1=17.$

Заметим, что $AC в квадрате плюс CC_1 в квадрате =AC_1 в квадрате ,$ поскольку $289 = 225 плюс 64,$ тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник  ACC₁ прямоугольный, угол  ACC₁ прямой. Тогда угол COD прямой, что и требовалось доказать.

б)   $S_ABCD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AC умножить на BD = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 8 умножить на 15 = 60.$

Ответ: б) 60.

Источники

«Секретный файл по планиметрии», Школково (shkolkovo.online)
Справочник по планиметрии, Лицей при ТПУ, Томск, 2003
«Планиметрия. Теория», методические материалы, surwiki.admsurgut.ru

У1
Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём $\angle BEC=120 градусов.$
а)  Докажите, что $\angle CBE = \angle COE.$
б)  Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 20 и CE  =  12.
У2
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD.
а)  Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б)  Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если $LM=3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $KM = 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $\angle KML=60 градусов.$
У3
Точка M  — середина стороны AD параллелограмма ABCD. Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезок BM на три равные части.
а)  Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.
б)  Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и BC, если площадь параллелограмма ABCD равна 40.
У4
Прямая, проходящая через вершину В прямоугольника ABCD, перпендикулярна диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D.
а)  Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла.
б)  Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой СМ, если $BC=6 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$
У5
Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C  — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.
а)  Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD, пересекаются на стороне AD.
б)  Пусть N  — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM : MC  =  3 : 4, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 24.
У6
Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.
а)  Доказать, что прямые BH и ED параллельны.
б)  Найти отношение BH к ED, если $\angle BCD = 135 градусов.$
У7
Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а)  Докажите, что ∠ABM  =  ∠DBC  =  30°.
б)  Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC  =  9.
У8
Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC  — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые.
а)  Доказать, что MA  =  MD.
б)  Расстояние от M до AD равно BC, а угол АDC равен 55°. Найдите угол BAD.
У9
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС, причем $AD = 2BC,$ и точка M внутри трапеции, такая, что $\angle ABM=\angle DCM=90 градусов.$
а)  Докажите, что АM  =  DM.
б)  Найдите угол BAD, если угол CDA равен 50°, а высота, проведённая из точки M к АD, равна BC.
У10
Точка Е  — середина стороны BС квадрата АВСD. Серединные перпендикуляры к отрезкам АЕ и ЕС пересекаются в точке O.
а)  Докажите, что $\angleAOE = 90 градусов.$
б)  Найдите BO : OD.
У11
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О. Радиус АО перпендикулярен радиусу ОВ, а радиус ОС перпендикулярен радиусу OD.
а)  Докажите, что ВС || AD.
б)  Найдите площадь треугольника АОВ, если длина перпендикуляра, опущенного из точки С на AD, равна 9, а длина отрезка ВС в два раза меньше длины отрезка AD.
У12
Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а)  Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б)  Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB  =  21, BC  =  4, CD  =  20, AD  =  17.
У13
На боковой стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны.
а)  Докажите, что $S_ABM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_ABCD.$
б)  На стороне CD отмечена точка K, такая, что $S_BKC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_AKD,$ причем AD  =  2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 10. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.
У14
На стороне АВ выпуклого четырехугольника АВCD выбрана точка М так, что $\angleAMD=\angleADB$ и $\angleACM=\angleABC.$ Утроенный квадрат отношения расстояния от точки А до прямой CD к расстоянию от точки С до прямой AD равен 2, СD  =  20.
а)  Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
б)  Найдите длину радиуса вписанной в треугольник АСD окружности.
У15
В выпуклом четырехугольнике KLMN точки P и Q  — середины сторон NK и LM соответственно. Диагональ КМ делит точкой пересечения отрезок PQ пополам.
а)   Докажите, что площадь четырехугольника KLMN в 4 раза больше площади треугольника PMN.
б)   Найдите синус угла между диагоналями четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон четырехугольника KLMN, если площадь PMN равна $6 корень из 3 ,$ KM  =  12, NL  =  8.
У16
Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN  =  CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD  =  AM.
а)  Докажите, что BM  =  BN.
б)  Найдите MN, если AC  =  7, $синус \angle BAD= дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$
У17
В равнобедренной трапеции ABCD длины оснований AD и BC соответственно равны 4 и 3. Точки M и N лежат на диагонали BD, причем точка M расположена между точками B и N, а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали BD.
а)  Докажите, что BN : DM  =  3 : 4.
б)  Найдите длину отрезка CN, если известно, что BM : DN  =  2 : 3.
У18
На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а)  Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б)  Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 8, а один из его углов равен 45°.
У19
Точка M  — середина стороны AD параллелограмма ABCD . Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезок BM на три равные части.
а)  Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.
б)  Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и BC , если площадь параллелограмма ABCD равна 120.
У20
Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C  — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.
а)  Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD, пересекаются на стороне AD.
б)  Пусть N  — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM : MC  =  3 : 4, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 24.
У21
Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а)  Докажите, что лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части.
б)  Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = $6 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$
У22
Дана трапеция с диагоналями равными 6 и 8. Сумма оснований равна 10.
а)  Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б)  Найдите высоту трапеции.
У23
Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A  =  90°) и AK  =  3AN. Точка B лежит на стороне KN и KB : BN  =  2 : 1.
а)  Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN.
б)  Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM.
У24
Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N, такая, что CN  =  СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD  =  AM.
а)  Докажите, что BM  =  BN.
б)  Найдите MN, если AC  =  7, $синус \angle BAD = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$
У25
Дан четырёхугольник ABCD.
а)  Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б)  Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если $KL=6,KM = 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,\angle MKL=30 градусов.$

Д1
На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а)  Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б)  Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.
Д2
На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N , причём M  — середина AD, а BN : NC  =  1 : 3.
а)  Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.
б)  Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC , если площадь параллелограмма ABCD равна 27.
Д3
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать окружность. Из точек В и С опущены перпендикуляры на прямую AD. Они пересекают прямые АС и BD соответственно в точках E и F.
а)  Докажите, что BCFE  — ромб.
б)  Найдите отношение площади четырехугольника BCFE к площади вписанного в него круга, если BF : CE  =  3 : 4.
Д4
Диагональ AC разбивает трапецию ABCD с основаниями AD и BC, из которых AD большее, на два подобных треугольника.
а)  Докажите, что ∠ABC = ∠ACD.
б)  Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что BC  =  18, AD  =  50 и $косинус \angle CAD= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$
Д5
В трапеции ABCD точка E  — середина основания AD, точка M  — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.
а)  Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.
б)  Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC  =  3, AD  =  4.
Д6
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а)  Докажите, что луч AC  — биссектриса угла BAD.
б)  Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC  =  15 и BD  =  8,5.
Д7
Точка E  — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K, так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.
а)  Докажите, что CO  =  KO.
б)  Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет $дробь: числитель: 9, знаменатель: 100 конец дроби$ площади трапеции  ABCD.
Д8
Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AD  =  3BC, CM  — высота трапеции.
а)  Доказать, что M делит AD в отношении 2 : 1.
б)  Найдите расстояние от точки C до середины BD, если AD  =  18, AC  =   $4 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$
Д9
В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые.
а)  Докажите, что АВ  =  CD.
б)  Найдите AD, если AB  =  2, BC  =  7.
Д10
Дан квадрат ABCD. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Р и К соответственно, причем ВР : АР  =  1 : 3, ВК : СК  =  3 : 13.
а)  Докажите, что углы РDK и РСК равны.
б)  Пусть М  — точка пересечения CP и DK. Найдите отношение длин отрезков СM и PM.
Д11
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О, а прямые АВ и CD  — в точке К. Прямая КО пересекает стороны ВС и AD в точках М и N соответственно, и угол BAD равен 30°. Известно, что в трапеции ABMN и NMCD можно вписать окружность.
а)  Докажите, что треугольник AKD тупоугольный.
б)  Найти отношение площадей треугольника ВКС и трапеции ABCD.
Д12
Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а)  Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MPQ, если прямая DP перпендикулярна прямой PC, AB  =  25, BC  =  3, CD  =  28, AD  =  20.
Д13
Точка Е  — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне АВ взяли точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки ВЕ и СК пересекаются в точке L.
а)  Докажите, что EL  — медиана треугольника КСЕ.
б)  Найдите отношение площади треугольника ВLC к площади четырехугольника AKCD, если площадь трапеции  ABCD равна 100, а ВС : AD  =  2 : 3.
Д14
Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A  =  90°) и AK  =  2AN. Точка B  — середина стороны KN.
а)  Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN.
б)  Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM.
Д15
Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырехугольника ABCD, AB  =  BM, MC  =  CD. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AD.
а)  Докажите, что четырехугольник ABCD  — параллелограмм или трапеция.
б)  Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что BM : CM  =  1 : 3 и площадь четырехугольника, ограниченного прямыми AM, DM, BP и CP, равна 18.
Д16
Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка M, такая, что CM  =  СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка N, что AD  =  AN.
а)  Докажите, что BM  =  BN.
б)  Найдите MN, если AC  =  4, $синус \angle BAD = дробь: числитель: 8, знаменатель: 17 конец дроби .$
Д17
На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а)  Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б)  Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.
Д18
Дан четырёхугольник $ABCD.$
а)  Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б)  Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если $LM= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $KM = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $\angle KML=60 градусов.$
Д19
Прямая, проходящая через вершину В, прямоугольника ABCD, перпендикулярная диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D.
а)  Докажите, что $\angle ABM = \angle DBC = \angle MBD.$
б)  Найдите расстояние от точки О, точки пересечения диагоналей, до отрезка СМ, если BC  =  42.
Д20
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и $BC.$ Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и $CD.$
а)  Докажите, что луч AC  — биссектриса угла BAD .
б)  Найдите CD, если известны диагонали трапеции: $AC=12$ и $BD=6,5.$
Д21
Точка E  — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезок CK и BE пересекаются в точке O.
а)  Доказать, что CO = KO.
б)  Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет $дробь: числитель: 4, знаменатель: 121 конец дроби$ площади трапеции ABCD.
Д22
На боковой стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны.
а)  Докажите, что $S_ABM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_ABCD.$
б)  На стороне CD отмечена точка K, такая, что $S_BKC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_AKD,$ причем AD  =  2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 15. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.
Д23
Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN  =  CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD  =  AM.
а)  Докажите, что BM  =  BN.
б)  Найдите MN, если AC  =  4, $синус \angle BAD = дробь: числитель: 8, знаменатель: 17 конец дроби .$
Д24
На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а)  Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б)  Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 24, а один из его углов равен 45°.
Д25
Точка E  — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезок CK и BE пересекаются в точке O.
а)  Доказать, что CO = KO.
б)  Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет $дробь: числитель: 9, знаменатель: 64 конец дроби$ площади трапеции ABCD.

Фигура (сторона \(a\))	\(R\)	\(r\)	\(S\)
Равносторонний треугольник	\(\dfrac{a}{\sqrt3}\)	\(\dfrac{a\sqrt3}{6}\)	\(\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\)
Квадрат	\(\dfrac{a\sqrt2}{2}\)	\(\dfrac a2\)	\(a^2\)
Правильный шестиугольник	\(a\)	\(\dfrac{a\sqrt3}{2}\)	\(\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}\)

Фигура	Свойства и признаки	Площадь
Ромб	параллелограмм с равными сторонами; диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам. Признак: параллелограмм с перпендикулярными диагоналями (или с диагоналями-биссектрисами) — ромб	\(\tfrac12d_1d_2\)
Прямоугольник	параллелограмм с прямым углом; диагонали равны. Признак: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник	\(ab\)
Квадрат	прямоугольник с равными сторонами, он же ромб с прямым углом; диагонали равны и перпендикулярны, \(d=a\sqrt2\)	\(a^2=\tfrac12d^2\)