Задание 18 · Планиметрическая задача (доказательство + вычисление)

18.3. Окружности и системы окружностей

Для репетитора: показать ответы

1. Основные понятия

Хорда соединяет две точки окружности, диаметр — хорда, проходящая через центр. Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку. Центральный угол имеет вершину в центре, вписанный угол — на окружности (его стороны — хорды).

2. Углы и дуги

Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается. Вписанный угол равен половине дуги (половине центрального угла на ту же дугу).
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Угол между хордами (вершина внутри круга) равен полусумме дуг: $\alpha=\tfrac12(\smile AB+\smile CD)$.
Угол между секущими (вершина вне круга) равен полуразности дуг: $\alpha=\tfrac12(\smile AB-\smile CD)$.
Угол между хордой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на отсечённую дугу.
Равные хорды стягивают равные дуги, и наоборот. Две параллельные прямые высекают на окружности равнобокую трапецию.

3. Хорды, касательные, секущие

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Диаметр (радиус), перпендикулярный хорде, делит её пополам, и наоборот: диаметр, проходящий через середину хорды, ей перпендикулярен.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $MA=MB$; центр окружности лежит на биссектрисе угла $AMB$.

Ситуация	Соотношение
Две пересекающиеся хорды $AB$ и $CD$ с общей точкой $O$	$AO\cdot OB=CO\cdot OD$
Две секущие из точки $O$	$OA\cdot OB=OC\cdot OD$ (произведение секущей на её внешнюю часть постоянно)
Касательная $OK$ и секущая $OAB$	$OK^2=OA\cdot OB$

Эти соотношения следуют из подобия: касательная и секущая дают $\triangle OAK\sim\triangle OKB$, две секущие — $\triangle OAB\sim\triangle OA_1B_1$, пересекающиеся хорды — две пары подобных треугольников.

4. Длина окружности, дуги, площади

Длина окружности $l=2\pi r$; площадь круга $S=\pi R^2$.
Длина дуги $l=R\alpha$, площадь сектора $S=\tfrac12R^2\alpha$, где $\alpha$ — центральный угол в радианах; $1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$ рад.

5. Две касающиеся окружности

Пусть окружности с центрами $O$ и $P$ и радиусами $r$ и $R$ касаются внешним образом в точке $K$.

Линия центров $OP$ проходит через точку касания, и $OP=R+r$.
Длина общей внешней касательной $AB$ равна $2\sqrt{Rr}$. Вывод: проведите через центр меньшей окружности прямую, параллельную $AB$; получится прямоугольный треугольник с гипотенузой $R+r$ и катетом $R-r$, откуда второй катет $\sqrt{(R+r)^2-(R-r)^2}=2\sqrt{Rr}$.
Если $A$ и $B$ — точки касания общей внешней касательной, а $K$ — точка касания окружностей, то $\angle AKB=90^\circ$.
Общая внутренняя касательная в точке $K$ пересекает общую внешнюю в точке $M$; тогда $\triangle MO_1O_2$ прямоугольный и $MK=\sqrt{Rr}$.

Внутреннее касание

Если окружности касаются внутренним образом в точке $K$, а хорды $KA$ и $KB$ большей окружности пересекают меньшую в точках $P$ и $Q$, то $AB\parallel PQ$.

Ортогональные окружности

Пересекающиеся окружности называются ортогональными, если их касательные в точке пересечения взаимно перпендикулярны. Окружности радиусов $R$ и $r$ с расстоянием между центрами $d$ ортогональны тогда и только тогда, когда $d^2=R^2+r^2$. Тогда касательная к одной окружности в точке пересечения проходит через центр другой.

6. Как работать с окружностями в №18

Ищите равные хорды, равные дуги, равные вписанные углы на одну дугу.
Проводите радиусы в точки касания и в точки пересечения: получаются прямоугольные и равнобедренные треугольники.
Для отношений отрезков используйте подобные треугольники и произведения отрезков хорд и секущих.
Для касающихся окружностей проводите линию центров и общую касательную, строите прямоугольный треугольник из радиусов и расстояния между центрами.

Лайфхак 1. Касательная — радиус под прямым углом. В любой задаче с касательной сразу проведите радиус в точку касания: получится прямой угол и прямоугольные треугольники.

Лайфхак 2. Касательные из одной точки равны. Это даёт равнобедренный треугольник и биссектрису, проходящую через центр.

Лайфхак 3. Общая внешняя касательная — $2\sqrt{Rr}$. Для двух окружностей, касающихся внешне, длина общей внешней касательной сразу равна $2\sqrt{Rr}$; не нужно каждый раз выводить.

Лайфхак 4. Подобие в окружностях. Касательная и секущая из одной точки, две секущие, две пересекающиеся хорды — всегда ищите пары подобных треугольников.

Разобранные примеры

Пример 1

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.

а)  Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.

б)  Известно, что $синус \angle AOC= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15, знаменатель: конец аргумента конец дроби 4.$ Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение $QK:KA.$

Решение

а)  Угол AQP опирается на диаметр AP большей окружности, поэтому он прямой. Угол AMO опирается на диаметр AO меньшей окружности, поэтому он прямой. Таким образом, прямые PQ и BC перпендикулярны прямой AQ, значит, они параллельны.

б)  Углы AOC и APQ равны, поскольку прямые PQ и BC параллельны. Диаметр BC большей окружности перпендикулярен хорде AQ. Значит, точка C  — середина дуги AQ. Следовательно, луч PC является биссектрисой угла APQ прямоугольного треугольника APQ, поэтому

$дробь: числитель: QK, знаменатель: KA конец дроби = дробь: числитель: QP, знаменатель: PA конец дроби = косинус \angle APQ= косинус \angle AOC= корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате \angle AOC конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: б) $1:4.$

Пример 2

На основании BC трапеции ABCD взята точка E, лежащая на одной окружности с точками A, C и D. Другая окружность, проходящая через точки A, B и C, касается прямой CD, AB  =  12, BE : EC  =  4 : 5.

а)  Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику ABE.

б)  Найдите BC.

Решение

а)  По свойству угла между касательной и хордой $\angle ACD=\angle ABC$ поэтому четырехугольник AECD  — вписанная трапеция, следовательно, углы ADC и EAD равны, также $\angle AEB=\angle EAD$ из параллельности. Таким образом, $\angle ABE=\angle ACD$ и $\angle AEB=\angle ADC,$ следовательно, треугольники ACD и ABE подобны по двум углам. Что требовалось доказать.

б)  Из подобия треугольников ABE и ACD (п. а) следует, что $\angle BAE=\angle CAD=\angle ECA,$ а значит, BA  — касательная к окружности AECD. Тогда

$BA в квадрате =BE умножить на BC \Rightarrow 36 x в квадрате =12 в квадрате \Rightarrow BE=8,$

откуда находим $BC=18.$

Ответ: б) 18.

Источники

«Секретный файл по планиметрии», Школково (shkolkovo.online)
Справочник по планиметрии, Лицей при ТПУ, Томск, 2003
«Планиметрия. Теория», методические материалы, surwiki.admsurgut.ru
Материалы о касающихся окружностях (внешнее касание, общая касательная), НИУ ВШЭ (math.hse.ru)
«Ортогональные окружности», А. Блинков, geometry.ru

У1
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а)  Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б)  Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.
У2
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а)  Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б)  Пусть L  — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC  =  16.
У3
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую  — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую  — в точке C.
а)  Докажите, что четырёхугольник ABCD   — параллелограмм.
б)  Найдите отношение CP : PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.
У4
Дана окружность с диаметром AB. Вторая окружность с центром в точке А пересекает первую окружность в точках С и D, а диаметр AB в точке E. На дуге СЕ, не содержащей точки D, взята точка M, отличная от точек С и E. Луч BM пересекает первую окружность в точке N, а вторую в точке M₁.
а)  Докажите, что точка N  — середина отрезка MM₁.
б)  Найдите длину отрезка MN, если известно, что CN  =  6, DN  =  13,5.
У5
К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B. Через точку C, лежащую на отрезке AB, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причём отрезки CA и CD касаются одной окружности, а отрезки CB и CE  — другой.
а)  Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей.
б)  Найдите DE, если радиусы окружностей равны 5, расстояние между их центрами равно 18, а AC  =  8.
У6
Две окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B, причём точки O₁ и O₂ лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружность в точках D и E соответственно.
а)  Докажите, что треугольники CBD и O₁AO₂ подобны.
б)  Найдите AD, если $\angle DAE=\angle BAC,$ радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и AB  =  3.
У7
Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей  — в точке  B, отличной от A. Прямая  AC вторично пересекает большую окружность в точке  D, прямая  BC вторично пересекает меньшую окружность в точке E.
а)  Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
б)  Пусть L  — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 2 и 5.
У8
Из вершины С прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CH.
а)  Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках AH и BH соответственно как на диаметрах равно $тангенс в степени 4 \angle ABC.$
б)  Пусть точка O₁  — центр окружности диаметра AH, вторично пересекающей отрезок AC в точке P, а точка O₂  — центр окружности с диаметром BH, вторично пересекающей отрезок BC в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника O₁PQO₂, если $AC=22, BC=18.$
У9
К окружности с диаметром AB  =  6 проведена касательная BC так, что $BC=3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Прямая AC вторично пересекает окружность в точке D. Точка E диаметрально противоположна точке D. Прямые ED и BC пересекаются в точке F.
а)  Докажите, что $BD в квадрате =CD умножить на BE.$
б)  Найдите площадь треугольника FBE.
У10
В полуокружности с диаметром MN расположены две окружности с центрами O₁ и O₂, касающиеся друг друга, полуокружности и прямой MN (при этом точки касания c полуокружностью  — это соответственно A и B).
а)  Докажите, что прямые O₁A, O₂B и MN пересекаются в одной точке.
б)  Радиусы окружностей равны 2 и 5. Найдите радиус полуокружности.
У11
Окружность ω₁ касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC треугольника ABC за точки A и C соответственно, M  — точка ее касания с прямой BC. Окружность ω₂ касается стороны AB и продолжений сторон AC и BC за точки A и B соответственно, N  — точка ее касания с прямой BC.
а)  Докажите, что СМ  =  BN.
б)   Найдите расстояние между центрами окружностей ω₁ и ω₂, если $AC= корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента ,$ $AB= корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента ,$ BC  =  5.
У12
В прямоугольнике ABCD, в котором $AD=3 плюс дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ a AB  =  6, расположены две окружности. Окружность с центром в точке K, радиус которой равен 2, касается сторон AB и АD. Окружность с центром в точке L, радиус которой равен 1, касается стороны CD и первой окружности.
а)  Докажите, что точки A, K и L лежат на одной прямой.
б)  Найдите площадь треугольника CLM, если M  — основание перпендикуляра, опущенного из вершины B на прямую, проходящую через точки K и L.
У13
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB  =  AE. Отрезок BE пересекает AC в точке M, а отрезок AD в точке N.
а)  Докажите, что точки C, D, M, N лежат на одной окружности.
б)  Точка O  — центр описанной вокруг треугольника CMD окружности. Найдите радиус этой окружности, если AO  =  12, AB  =  4.
У14
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку P проведена прямая, пересекающая вторично первую из окружностей в точке  A, а вторую  — в точке  B. Через точку Q также проведена прямая, пересекающая вторично первую окружность в точке C, а вторую  — в точке D.
а)  Докажите, что прямые AC и BD параллельны.
б)  Найдите наибольшее возможное значение суммы длин отрезков AB и CD, если расстояние между центрами данных окружностей равно 1.
У15
В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Длина радиуса первой окружности равна 1, а площадь круга, ограниченного четвертой окружностью, равна 64π.
а)  Докажите, что длины радиусов окружностей образуют геометрическую прогрессию.
б)  Найдите сумму длин второй и третьей окружностей.
У16
Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
а)  Докажите, что эти хорды равны.
б)  Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен $6 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$
У17
Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а)  Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б)  Найдите площадь треугольника DBC, если AK  =  3 и MK  =  14.
У18
Окружность с центром O вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центром O₁ также вписана в этот угол и проходит через точку O.
а)  Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
б)  Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен $2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$
У19
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая окружность проходит через через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.
а)  Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.
б)  Известно, что sin $\angle$ AOC = $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$ Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK:KA.
У20
Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бóльшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а)  Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б)  Найдите AC, если радиусы окружностей равны 3,5 и 12.
У21
Из вершины тупого угла C треугольника ABC проведена высота CH. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает стороны AC и BC в точках M и N соответственно, а прямая CH  — эту окружность в точке D.
а)  Докажите, что угол MDN равен сумме углов A и B треугольника ABC.
б)  Найдите отношение MN к AB, если известно, что $CM:MA=1:11$ и $CN:NB=3:1.$
У22
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а)  Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б)  Пусть L  — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите длину отрезка AL, если радиус большей окружности равен 34, а BC  =  32.
У23
Две окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B, причем точки O₁ и O₂ лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжение диаметра CA первой окружности и хорды CB этой же окружности пересекают вторую окружность в точках D и E соответственно.
а)  Докажите, что треугольники CBD и O₁AO₂ подобны.
б)  Найдите AD, если угол DAE равен углу BAC, а радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB = 3.
У24
Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бóльшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а)  Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б)  Найдите AC, если радиусы окружностей равны 2,5 и 6.
У25
Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а)  Докажите, что прямые AD и МC параллельны.
б)  Найдите площадь треугольника DBC, если AK  =  7 и MK  =  14.

Д1
Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
а)  Докажите, что эти хорды равны.
б)  Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен $2 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента .$
Д2
Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром  AB в точке  K. Продолжение отрезка  MB пересекает окружность с диаметром  AB в точке  D.
а)  Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б)  Найдите площадь треугольника DBC, если AK  =  3 и MK  =  12.
Д3
На диаметре АВ окружности ω выбрана точка С. На отрезках АС и ВС как на диаметрах построены окружности ω₁ и ω₂ соответственно. Прямая  l пересекает окружность  ω в точках А и D, окружность  ω₁  — в точках А и Е, а окружность  ω₂  — в точках М и N.
а)  Докажите, что MD  =  NE.
б)  Найдите радиус круга, касающегося окружностей ω, ω₁ и ω₂, если известно, что АС  =  10, ВС  =  6.
Д4
Две окружности имеют общий центр О. На окружности большего радиуса выбрана точка F.
а)  Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки F до концов диаметра меньшей окружности не зависит ни от выбора точки F, ни от выбора диаметра.
б)  Известно, что радиусы окружностей равны 10 и 24. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются концы диаметра меньшей окружности и точка F, тангенс угла F этого треугольника равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$
Д5
Окружность с центром O вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центром O₁ также вписана в этот угол и проходит через точку O.
а)  Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
б)  Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
Д6
Две окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами 3 и 4 пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая MK, пересекающая обе окружности в точках M и K, причем точка A находится между ними.
а)  Докажите, что треугольники BMK и O₁AO₂ подобны.
б)  Найдите расстояние от точки B до прямой MK, если O₁O₂  =  5, MK  =  7.
Д7
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй   — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а)  Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если известно, что радиус первой окружности равен 4, а радиус второй окружности равен 1.
Д8
Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC c прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая  AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.
а)  Докажите, что AE параллельно BD.
б)  Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.
Д9
Две окружности пересекаются в точках А и K так, что их центры расположены по разные стороны от прямой, содержащей отрезок  АK. Точки В и С лежат на разных окружностях. Прямая, содержащая отрезок  АВ, касается одной окружности в точке  А. Прямая, содержащая отрезок АС, касается другой окружности также в точке А.
а)  Докажите, что углы AKC и AKB равны.
б)  Найдите площадь треугольника АВС, если BK  =  1, CK  =  4, а тангенс угла САВ равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента конец дроби .$
Д10
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр СС₁ перпендикулярен стороне AD и пересекает ее в точке K, а диаметр DD₁ перпендикулярен стороне АВ и пересекает ее в точке L.
а)  Пусть АА₁ тоже диаметр окружности. Докажите, что углы DLK и A₁D₁D равны.
б)  Найдите углы четырехугольника ABCD, если $\angle ADB = 3 \angle BDC.$
Д11
В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC. В треугольники ABD и ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K.
а)  Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.
б)  Найдите длину отрезка AK, если периметр треугольника ABC равен 30, а длина стороны BC равна 10.
Д12
Из вершины тупого угла C треугольника ABC проведена высота CH. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает стороны AC и BC в точках M и N соответственно, а прямая CH  — эту окружность в точке D.
а)  Докажите, что угол MDN равен сумме углов A и B треугольника ABC.
б)  Найдите отношение MN к AB, если известно, что $CM:MA=2:25$ и $CN:NB=2:1.$
Д13
Точки A₁, B₁, C₁  — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC.
а)  Докажите, что окружности, описанные около треугольников A₁CB₁, A₁BC₁, и B₁AC₁, пересекаются в одной точке.
б)  Известно, что АВ  =  AC  =  13 и BC  =  10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого  — центры окружностей, описанных около треугольников A₁CB₁, A₁BC₁, и В₁AC₁.
Д14
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а)  Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б)  Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.
Д15
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а)  Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б)  Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
Д16
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а)  Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б)  Пусть L  — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC  =  12.
Д17
Дана окружность с диаметром AB. Вторая окружность с центром в точке A пересекает первую окружность в точках C и D и диаметр в точке E. На дуге CE, не содержащей точки D, взята точка M, отличная от точек C и E. Луч BM пересекает первую окружность в точке N, а вторую пересекает вторично в точке K.
а)  Докажите, что MN  =  NK.
б)  Найдите MN, если известно, что CN  =  2, ND  =  3.
Д18
Две окружности с центром O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B, причём точки O₁ и O₂ лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжение диаметра CA первой окружности и хорды CB этой же окружности пересекает вторую окружность в точках D и E соответственно.
а)  Докажите, что треугольники CBD и O₁AO₂ подобны.
б)  Найти AD, если $\angle DAE=\angle BAC,$ радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB  =  2.
Д19
Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей  — в точке B, отличной от A. Прямая AC вторично пересекает большую окружность в точке D, прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке E.
а)  Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
б)  Пусть L  — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 1 и 3.
Д20
К окружности с диаметром AB  =  10 проведена касательная BC так что $BC=5.$ Прямая AC вторично пересекает окружность в точке D. Точка E диаметрально противоположна точке D. Прямые ED и BC пересекаются в точке F.
а)  Докажите, что $BD в квадрате =CD умножить на BE.$
б)  Найдите площадь треугольника FBE.
Д21
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а)  Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б)  Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 3 и 2.
Д22
Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а)  Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б)  Найдите площадь треугольника DBC, если AK  =  4 и MK  =  12.
Д23
Две окружности касаются внешним образом в точке С. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей  — в точке B, отличной от A. Прямая AС вторично пересекает бóльшую окружность в точке D, прямая BС вторично пересекает меньшую окружность в точке E.
а)  Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
б)  Пусть L  — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 2 и 3.
Д24
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведена высота CH. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает стороны AC и BC в точках M и N соответственно, CD  — диаметр этой окружности.
а)  Докажите, что $\angle MDN = \angle CAB плюс \angle ABC.$
б)  Найдите длину отрезка MN, если $AB = 16 корень из 2 ,$ CM : MA  =  5 : 19 и CN : NB  =  5 : 7.
Д25
Две окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B, причем точки O₁ и O₂ лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжение диаметра CA первой окружности и хорды CB этой же окружности пересекают вторую окружность в точках D и E соответственно.
а)  Докажите, что треугольники CBD и O₁AO₂ подобны.
б)  Найдите AD, если угол DAE равен углу BAC, а радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB = 2.

Ситуация	Соотношение
Две пересекающиеся хорды \(AB\) и \(CD\) с общей точкой \(O\)	\(AO\cdot OB=CO\cdot OD\)
Две секущие из точки \(O\)	\(OA\cdot OB=OC\cdot OD\) (произведение секущей на её внешнюю часть постоянно)
Касательная \(OK\) и секущая \(OAB\)	\(OK^2=OA\cdot OB\)