Задание 18 · Планиметрическая задача (доказательство + вычисление)

18.4. Вписанные окружности и треугольники

Для репетитора: показать ответы

1. Вписанная окружность треугольника

Вписанная окружность есть у любого треугольника, и она единственна.
Её центр — точка пересечения биссектрис.
Точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон, поэтому расстояния от центра до всех сторон равны радиусу $r$.

2. Формулы с радиусом $r$

Формула	Пояснение
$S=p\cdot r$	$p$ — полупериметр
$r=\dfrac Sp$	следует из предыдущей
$r=\dfrac{a+b-c}{2}$	прямоугольный треугольник с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$
$r=\dfrac{a\sqrt3}{6}$	равносторонний треугольник со стороной $a$

В прямоугольном треугольнике вершина прямого угла, точки касания вписанной окружности с катетами и её центр образуют квадрат со стороной $r$ — отсюда формула $r=\dfrac{a+b-c}{2}$.

3. Отрезки касательных

Если $A_1,B_1,C_1$ — точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника, то отрезки касательных из одной вершины равны, и, например, $AB_1=AC_1=p-a$, где $a=BC$, $p$ — полупериметр. Аналогично $BA_1=BC_1=p-b$, $CA_1=CB_1=p-c$.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне. Центр окружности лежит на биссектрисе угла между двумя касательными из одной точки.

4. Биссектриса и вписанная окружность

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AL}{LC}$.
Вневписанная окружность: её центр лежит на пересечении внутренней биссектрисы одного угла и внешних биссектрис двух других.
Лемма о трезубце. Пусть биссектриса угла $B$ пересекает описанную окружность в точке $P$, $I$ — центр вписанной окружности, $I_B$ — центр вневписанной окружности, касающейся $AC$. Тогда $PA=PC=PI=PI_B$.

5. Площадь и подобие

Для площади выбирайте формулу по данным: $S=pr$ при известном радиусе вписанной окружности, $S=\tfrac12ab\sin\gamma$ при известных двух сторонах и угле, формула Герона при трёх сторонах.
Теоремы синусов и косинусов связывают радиус $R$, стороны и углы: $a=2R\sin A$, $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.

Лайфхак 1. Равные касательные. Для отрезков касательных от вершины до точек касания используйте выражения $p-a$, $p-b$, $p-c$ — они сразу приводят задачу к уравнениям относительно сторон.

Лайфхак 2. Площадь двумя способами. Если известен $r$, приравняйте $S=pr$ к другой формуле площади — получите нужное уравнение.

Лайфхак 3. Прямоугольный треугольник. Формула $r=\dfrac{a+b-c}{2}$ избавляет от лишних вычислений через площадь и периметр.

Лайфхак 4. Биссектриса и равнобедренные треугольники. Лемма о трезубце позволяет доказывать равенство расстояний через равнобедренные треугольники.

Разобранные примеры

Пример 1

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD  =  R.

а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б)  Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R  =  2 и CD  =  10.

Решение

а)  Пусть O  — центр вписанной окружности треугольника ABC.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, AO  — биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный, поэтому ∠OAD  =  45°. Следовательно, ∠BAC  =  90°.

б)  Обозначим BF  =  x. По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, AE  =  AD  =  2, CF  =  CD  =  10 и BE  =  BF  =  x. По теореме Пифагора BC²  =  AC² + AB², или (10 + x)²  =  12² + (2 + x)². Из этого уравнения находим, что x  =  3. Тогда

$BC=13, синус \angle ABC= дробь: числитель: AC, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 13 конец дроби .$

Следовательно,

$S_\Delta BEF= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BE умножить на BF умножить на синус \angle ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 умножить на 3 умножить на дробь: числитель: 12, знаменатель: 13 конец дроби = дробь: числитель: 54, знаменатель: 13 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 54, знаменатель: 13 конец дроби .$

Пример 2

Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Точки I и J  — центры окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD соответственно.

а)  Докажите, что прямые BI и DJ параллельны.

б)  Найдите IJ, если AC  =  16, $косинус \angleBDC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби .$

Решение

а)  Заметим, что по теореме синусов радиус окружности, описанной около треугольника ABD, равен

$дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 синус \angle BDA конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: 2 синус \angle BDC конец дроби ,$

следовательно, он равен радиусу окружности, описанной около треугольника BDC, а значит, BIDJ  — ромб, отсюда следует, что прямые BI и DJ параллельны, ч. т. д.

б)  Пусть точка M  — середина AD, а точка N  — середина DC, значит, IM и AD, JN и DС соответственно перпендикулярны и $MN= дробь: числитель: AC, знаменатель: 2 конец дроби =8.$ Знаем, что отрезок IJ перпендикулярен отрезку BD (диагонали ромба), следовательно,

$\angle BDC=180 градусов минус \angle BDA=\angle JIM \Rightarrow MN=IJ умножить на синус \angle JIM=IJ умножить на синус \angle BDC \Rightarrow IJ= дробь: числитель: MN, знаменатель: синус \angle BDC конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 81 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8 умножить на 9, знаменатель: корень из: начало аргумента: 80 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из 5 конец дроби .$

Ответ: б) $дробь: числитель: 18 корень из 5 , знаменатель: 5 конец дроби .$

Источники

«Секретный файл по планиметрии», Школково (shkolkovo.online)
Справочник по планиметрии, Лицей при ТПУ, Томск, 2003
«Планиметрия. Теория», методические материалы, surwiki.admsurgut.ru

У1
Точка О  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.
а)  Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.
б)  Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 5 и 15 соответственно, а OK = 8.
У2
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём $AD= R.$
а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б)  Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и $F.$ Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что $R= 1$ и $CD =3.$
У3
Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Вписанная в него окружность с центром O касается боковой стороны BC в точке P и пересекает биссектрису угла B в точке Q.
а)  Докажите, что отрезки PQ и OC параллельны.
б)  Найдите площадь треугольника OBC, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  2m.
У4
В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а)  Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б)  Найдите $синус \angle BMC,$ если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
У5
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон BC, AB и AC в точках K, L и M соответственно. Прямая KM вторично пересекает в точке P окружность радиуса AM с центром A.
а)  Докажите, что прямая AP параллельна прямой BC.
б)  Пусть $\angleABC = 90 градусов,$ $AM = 3,$ $CM = 2,$ Q  — точка пересечения прямых KM и AB, а T  — такая точка на отрезке PQ, что $\angleOAT = 45 градусов.$ Найдите QT .
У6
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке K. К этой окружности проведена касательная, параллельная биссектрисе AP треугольника и пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно.
а)  Докажите, что угол MOC равен углу NOK.
б)  Найдите периметр треугольника ABC, если отношение площадей трапеции AMNP и треугольника ABC равно 2 : 7, MN  =  2, AM + PN  =  6.
У7
Вписанная в треугольник ABC окружность с центром O касается сторон AB и AC в точках M и N соответственно. Прямая BO пересекает окружность, описанную около треугольника CON вторично в точке P.
а)   Докажите, что точка P лежит на прямой MN.
б)  Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 24.
У8
В треугольник ABC вписана окружность радиуса 4, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM  =  8 и CM  =  12.
а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б)  Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
У9
Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон ВС, АВ и АС в точках K, L и М соответственно. Прямая КМ вторично пересекает в точке Р окружность радиуса АМ с центром А.
а)  Докажите, что прямая АР параллельна прямой ВС.
б)  Пусть $\angle ABC=90 градусов,$ AM  =  3, CM  =  2, Q  — точка пересечения прямых КМ и АВ, а Т  — такая точка на отрезке РQ, что $\angle OAT=45 градусов.$ Найдите QT.
У10
В треугольнике ABC AB  =  3, $\angleACB= арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$ Хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что $\angleABC=\angleCML,$ площадь четырёхугольника ABLM равна 2, LM  =  1.
а)  Докажите, что треугольник KNC равнобедренный.
б)  Найдите площадь треугольника KNC.
У11
Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит медиану BM на три равные части.
а)  Докажите, что BC : CA : AB  =  5 : 10 : 13.
б)  Найдите радиус вписанной окружности, если BM  =  12.
У12
Окружность радиуса 1 вписана в треугольник ABC, в котором $косинус \angle ABC=0,8.$ Эта окружность касается средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AC.
а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б)  Найдите площадь треугольника ABC.
У13
В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу AB опущена высота CH. В треугольнике ACH проведена биссектриса CE угла ACH.
а)  Докажите, что треугольник BCE  — равнобедренный.
б)  Найдите EO, где O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, и известно, что AC  =  8, BC  =  6.
У14
Первая окружность проходит через вершины А и В треугольника ABC и пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Вторая окружность проходит через точки D и E и пересекает продолжения сторон BC и AC за вершину C в точках M и N соответственно.
а)  Докажите, что прямая MN параллельна прямой AB.
б)  Прямые MD и NE вторично пересекают первую окружность в точках X и Y соответственно. Найдите ее радиус, если $A X=X Y=2,$ a AB  =  4.
У15
Окружность с центром O вписана в треугольник ABC. Касательная к окружности пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно.
а)  Докажите, что сумма углов AOD и BOE равна 180°.
б)  Найдите DE, если AC  =  BC, радиус окружности равен 3, $тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle BAC правая круглая скобка = дробь: числитель: 5 корень из 3 , знаменатель: 11 конец дроби ,$ а разность углов AOD и BOE равна 60°.
У16
Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.
а)  Докажите, что $A C в квадрате = B C умножить на C K.$
б)  Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если $синус B = 0,6$ и сторона AC  =  24.
У17
В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а)  Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б)  Найдите $синус \angle BMC,$ если известно, что отрезок ВМ в 2,8 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
У18
Вписанная в треугольник ABC окружность ω₁ касается стороны BC в точке N так, что CN : NB  =  1 : 2. Окружность ω₂ касается стороны BC в точке M так, что BM : MC  =  1 : 2, а также касается продолжения стороны AC за точку C.
а)  Докажите, что прямая AB касается окружности ω₂.
б)  Найдите угол BAC, если BC ⊥ AC.
У19
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM  =  5R и CM  =  1,5R.
а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б)  Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R  =  4.
У20
Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Вписанная в него окружность с центром O касается боковой стороны BC в точке P и пересекает биссектрису угла B в точке Q.
а)  Докажите, что отрезки PQ и OC параллельны.
б)  Найдите площадь треугольника OBC, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  2.
У21
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O₁ и O₂ соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.
а)  Докажите, что прямые AO₁ и CO₂ перпендикулярны.
б)  Найдите площадь четырёхугольника MO₁NO₂, если AC = 12 и BC = 5.
У22
Угол MKN треугольника KMN равен $\varphi.$ Сторона MN является хордой окружности с центром O и радиусом R, проходящей через центр окружности, вписанной в треугольник MKN.
а)  Докажите, что около четырёхугольника KMON можно описать окружность.
б)  Известно, что в четырёхугольник KMON можно вписать окружность. Найдите радиус r этой окружности, если R = 12, $\varphi =120 градусов.$
У23
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AC в точках M и N соответственно, E и F  — середины сторон AB и AC соответственно. Прямые MN и EF пересекаются в точке D.
а)  Докажите, что треугольник DFN равнобедренный.
б)  Найдите площадь треугольника BED, если AB  =  28 и ∠ABC  =  60°.
У24
В треугольник ABC вписана окружность радиуса 2, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM  =  4 и CM  =  6.
а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б)  Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
У25
В треугольник ABC вписана окружность. Она касается стороны AB в точке P. Точка M  — середина AB.
а)  Докажите, что $MP = дробь: числитель: |AC минус BC|, знаменатель: 2 конец дроби .$
б)  Найдите углы треугольника ABC, если $CM = AM$ и $BC больше AC.$ Радиус окружности в 2 раза больше MP.

Д1
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM  =  2R и CM  =  3R.
а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б)  Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R  =  2.
Д2
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.
а)  Докажите, что треугольник ABC  ― равнобедренный.
б)  Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  2a.
Д3
Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML  — в точке A. Вторая окружность с центром O₁ касается основания ML и продолжений боковых сторон.
а)  Докажите, что треугольник OLO₁ прямоугольный.
б)  Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK  =  16.
Д4
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла C. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O₁ и O₂ соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.
а)  Докажите, что прямые AO₁ и CO₂ перпендикулярны.
б)  Найдите площадь четырёхугольника MO₁NO₂, если AC  =  20 и BC  =  15.
Д5
Угол BAC треугольника ABC равен $альфа .$ Сторона BC является хордой такой окружности с центром O и радиусом R, которая проходит через центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
а)  Докажите, что около четырёхугольника ABOC можно описать окружность.
б)  Известно, что в четырёхугольник ABOC можно вписать окружность. Найдите радиус r этой окружности, если R  =  6, $альфа =60 градусов.$
Д6
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AC в точках M и N соответственно, E и F  — середины сторон AB и AC соответственно. Прямые MN и EF пересекаются в точке D.
а)  Докажите, что треугольник DFN равнобедренный.
б)  Найдите площадь треугольника BED, если AB  =  20 и ∠ABC  =  60°.
Д7
В треугольнике ABC проведена биссектриса BK.
а)  Докажите, что $дробь: числитель: AK, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: CK, знаменатель: BC конец дроби .$
б)  Найдите площадь треугольника ABC, если AB  =  13, BC  =  7 и $BK= дробь: числитель: 7 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$
Д8
В прямоугольный треугольник АВС с катетами АС  =  4, ВС  =  3 вписана окружность с центром О, касающаяся сторон ВС, АС и АВ треугольника в точках R, Q, P соответственно.
а)  Докажите, что AO · BO · CO  =  10.
б)  Найдите площадь треугольника PQR.
Д9
Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.
а)  Докажите, что прямые MN и ВО параллельны.
б)  Найдите площадь четырехугольника BOMN, если CN  =  8, AM : MC  =  1 : 3.
Д10
В каждый угол равнобедренного треугольника ABC, в котором AB  =  10, AC  =  BC  =  13, вписана окружность единичного радиуса, точки О₁, О₂ и О₃ центры этих окружностей. Найдите:
а)  радиус окружности, вписанной в треугольник ABC;
б)  площадь треугольника О₁, О₂, О₃.
Д11
На стороне KM остроугольного треугольника PKM (PK ≠ PM) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту PS в точке T, PS  =  8, TS  =  6, H  — точка пересечения высот треугольника PKM.
а)  Найдите PH.
б)   Полуокружность пересекает стороны PK и PM в точках L и N соответственно. Найдите коэффициент подобия треугольников PKM и PNL, если радиус полуокружности равен 20.
Д12
Окружность вписана в треугольник ABC, P  — точка касания окружности со стороной AB, точка M  — середина AB.
а)  Докажите, что $MP= дробь: числитель: |AC минус CB|, знаменатель: 2 конец дроби .$
б)  Найдите углы треугольника, если MC  =  MA, AC > BC, $MP= дробь: числитель: r, знаменатель: 2 конец дроби .$
Д13
Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Точки I и J  — центры окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD соответственно.
а)  Докажите, что прямые BI и DJ параллельны.
б)  Найдите IJ, если AC  =  12, $косинус \angleBDC = дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби .$
Д14
Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а)  Докажите, что $\angle B B_1 C_1=\angle B A H.$
б)  Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если $B_1 C_1=9$ и $\angle B A C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$
Д15
Биссектриса AD большего угла треугольника ABC со сторонами 24, 40 и 56 делит его на два треугольника, в каждый из них вписана окружность.
а)  Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как 9 : 10.
б)  Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с биссектрисой AD.
Д16
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно так, что $B D плюс C E=B C,$ точка I  — центр вписанной окружности треугольника АВС.
а)  Докажите, что точки A, E, I и D лежат на одной окружности.
б)  Точка $D в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ симметрична точке D относительно прямой AI. Найдите радиус описанной окружности треугольника $E D D в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ если $D в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка E=2,$ а радиус вписанной окружности треугольника АВС равен $дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби .$
Д17
Периметр треугольника ABC равен 24. Точки E и F  — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а)  Докажите, что $AC = 6.$
б)  Найдите площадь треугольника ABC, если $\angle A C B = 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$
Д18
Точка О  — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что $\angle BAC плюс \angle AKC={90 градусов.$
а)  Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника АBC равен 8, а $косинус \angle BAC=0,8.$
Д19
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.
а)  Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник.
б)  Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  4.
Д20
Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML  — в точке A. Вторая окружность с центром O₁ касается основания ML и продолжений боковых сторон.
а)  Докажите, что треугольник OLO₁ прямоугольный.
б)  Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 15 и AK  =  32.
Д21
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон BC, AB и AC в точках K, L и M соответственно. Прямая KM вторично пересекает в точке P окружность радиуса AM с центром A.
а)  Докажите, что прямая AP параллельна прямой BC.
б)  Пусть $\angleABC = 90 градусов,$ $AM = 6,$ $CM = 4,$ Q  — точка пересечения прямых KM и AB, а T  — такая точка на отрезке PQ, что $\angleOAT = 45 градусов.$ Найдите QT .
Д22
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке K. К этой окружности проведена касательная, параллельная биссектрисе AP треугольника и пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно.
а)  Докажите, что угол MOC равен углу NOK.
б)  Найдите периметр треугольника ABC, если отношение площадей трапеции AMNP и треугольника ABC равно 2:7, MN  =  1, AM + PN  =  3 .
Д23
В треугольнике ABC проведена биссектриса BK.
а)  Докажите, что $дробь: числитель: AK, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: CK, знаменатель: BC конец дроби .$
б)  Найдите площадь треугольника ABC, если AB  =  15, BC  =  13 и $BK= дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$
Д24
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а)  Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б)  Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN  =  9 и $A M: M C=1: 8.$
Д25
Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а)  Докажите, что $\angle B B_1 C_1=\angle B A H.$
б)  Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если $B_1 C_1=21$ и $\angle B A C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$