Задание 18 · Планиметрическая задача (доказательство + вычисление)

18.5. Описанные окружности и треугольники

Для репетитора: показать ответы

1. Описанная окружность треугольника

Описанная окружность есть у любого треугольника, и она единственна.
Её центр $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка, и наоборот.
У прямоугольного треугольника центр совпадает с серединой гипотенузы, $R=\dfrac c2$ (и $R$ равен медиане к гипотенузе).

2. Формулы с радиусом $R$

Формула	Пояснение
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$	теорема синусов: коэффициент пропорциональности — диаметр описанной окружности
$R=\dfrac{a}{2\sin A}$	радиус по стороне и противолежащему углу
$R=\dfrac{abc}{4S}$, $S=\dfrac{abc}{4R}$	связь с площадью
$R=\dfrac{a}{\sqrt3}$	равносторонний треугольник со стороной $a$

3. Вписанные углы

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, и половине центрального угла на ту же дугу.
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.

4. Ортоцентр и описанная окружность

Пусть $H$ — ортоцентр, $O$ — центр описанной окружности, $M$ — середина стороны $AC$, $AA_1,BB_1,CC_1$ — высоты.

Точка, симметричная $H$ относительно стороны, лежит на описанной окружности.
Точка $H_B$, симметричная $H$ относительно середины $M$ стороны $AC$, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине $B$, то есть $BH_B$ — диаметр. Отсюда $BH=2\cdot OM$.
$\angle ABH=\angle CBO$: прямые $BO$ и $BH$ изогональны.
$AH^2+BC^2=4R^2$.
$OB\perp A_1C_1$: радиус, проведённый в вершину, перпендикулярен стороне ортотреугольника.
$\triangle BA_1C_1\sim\triangle BAC$ с коэффициентом $\cos\beta$, где $\beta=\angle ABC$.

5. Лемма о трезубце и прямая Симсона

Лемма о трезубце. Биссектриса угла $B$ пересекает описанную окружность в точке $P$; тогда $PA=PC=PI=PI_B$ ($I$ — центр вписанной окружности, $I_B$ — центр вневписанной, касающейся $AC$).
Прямая Симсона. Основания перпендикуляров из точки $P$ на стороны треугольника лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда $P$ лежит на описанной окружности.

6. Вид треугольника

Пусть $c$ — наибольшая сторона: если $c^2a^2+b^2$ — тупоугольный.

7. Касательная и хорда

Угол между хордой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на отсечённую дугу. Касательная $OK$ и секущая $OAB$ из одной точки связаны равенством $OK^2=OA\cdot OB$.

Лайфхак 1. Радиус из теоремы синусов. Если известны сторона и противолежащий угол, сразу пишите $R=\dfrac{a}{2\sin A}$; если известны три стороны и площадь, берите $R=\dfrac{abc}{4S}$.

Лайфхак 2. Ищите вписанные четырёхугольники. В задачах с высотами ищите вписанные четырёхугольники: два прямых угла опираются на одну сторону, которая является диаметром.

Лайфхак 3. Отражение ортоцентра. Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон и их середин, лежат на описанной окружности — это даёт равные дуги и диаметры.

Лайфхак 4. Если данных мало — координаты или векторы. При недостатке данных для классических теорем перейдите к координатам и векторам.

Разобранные примеры

Пример 1

Точка O  — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, а BH  — высота этого треугольника.

а)  Докажите, что углы ABH и CBO равны.

б)  Найдите BH, если $AB = 8, BC=9, BH=BO.$

Решение

а)  Обозначим угол BAC через $альфа .$ Тогда $\angle BOC=2 альфа ,$ поскольку является центральным углом, опирающимся на ту же дугу окружности, что и угол  BAC. В равнобедренном треугольнике BOC получаем $\angle CBO=90 градусов минус альфа ,$ а в прямоугольном треугольнике BAH получаем $\angle ABH=90 градусов минус альфа .$ Таким образом, $\angle CBO=\angle ABH.$

б)  Пусть M  — середина отрезка BC. Прямоугольные треугольники BAH и BOM подобны, поскольку $\angle ABH=\angle OBM.$ Значит,

$дробь: числитель: BH, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: BM, знаменатель: BO конец дроби равносильно BH в квадрате = дробь: числитель: AB умножить на BC, знаменатель: 2 конец дроби равносильно BH= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: AB умножить на BC, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента =6.$

Ответ: б) 6.

Пример 2

а)  Докажите, что углы ABH и CBO равны.

б)  Найдите BH, если $AB = 16, BC=18, BH=BO.$

Решение

а)  Обозначим угол BAC через $альфа .$ Тогда $\angle BOC=2 альфа ,$ поскольку является центральным углом, опирающимся на ту же дугу окружности, что и угол  BAC. В равнобедренном треугольнике  BOC получаем $\angle CBO=90 градусов минус альфа ,$ а в прямоугольном треугольнике BAH получаем $\angle ABH=90 градусов минус альфа .$ Таким образом, $\angle CBO=\angle ABH.$

Ответ: б) 12.

Источники

«Секретный файл по планиметрии», Школково (shkolkovo.online)
Справочник по планиметрии, Лицей при ТПУ, Томск, 2003
«Планиметрия. Теория», методические материалы, surwiki.admsurgut.ru

У1
В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.
а)  Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что $KN=8 корень из 2$ и $\angle KMN = 45 градусов.$
У2
Около равнобедренного треугольника ABC с основанием BC описана окружность. Через точку C провели прямую, параллельную стороне AB. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке K.
а)  Докажите, что треугольник BCK  — равнобедренный.
б)  Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если $косинус \angle BAC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$
У3
В треугольнике ABC биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O, величина угла AOC составляет 120°.
а)  Докажите, что около четырехугольника BDOE можно описать окружность.
б)  Найдите площадь треугольника ABC, если $BC=4,$ а $\angle BED=75 градусов.$
У4
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O  — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а)  Докажите, что AH  =  AO.
б)  Найдите площадь треугольника AHO, если $BC = корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ,$ $\angle ABC=45 градусов.$
У5
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписан в окружность. Биссектриса угла A пересекает описанную окружность в точке A₁, биссектриса угла  B пересекает описанную окружность в точке B₁, биссектриса угла  C пересекает описанную окружность в точке C₁.
a) Докажите, что угол A₁BB₁  =  45°.
б)  Известно, что $AB=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $\angle A=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Найдите B₁C₁.
У6
В остроугольном треугольнике ABC высоты BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H.
а)  Докажите, что $\angle BAH=\angle BB_1C_1.$
б)  Найдите расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC до стороны BC, если B₁C₁  =  12 и $\angle BAC=60 градусов.$
У7
На окружности с центром O и диаметром MN, равным 34, взята точка K на расстоянии 15 от этого диаметра. Хорда KE пересекает радиус OM в точке F под углом, равным $арккосинус дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$
а)  Докажите, что KF : FE  =  125 : 29.
б)  Найдите площадь треугольника KEN.
У8
В треугольнике KLM биссектрисы внешних углов при вершинах K и M пересекаются в точке N. Через точки K, N и M проведена окружность с центром в точке O.
а)  Докажите, что точки K, L, M и O лежат на одной окружности.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KLM, если площадь треугольника KMO равна $27 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а угол KLM равен 120°.
У9
В треугольнике ABC угол C  — тупой, угол B равен 45° и AH  — высота. Прямая AH пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке D.
а)  Докажите, что дуги BC и DA равны.
б)  Найдите BC, если AC  =  8 и площадь треугольника BDH равна 9.
У10
В треугольнике ABC продолжения высоты CC₁ и биссектрисы BB₁ пересекают описанную окружность в точках N и М соответственно, $\angle A B C=40 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle A C B=85 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$
а)  Докажите, что ВM   =   CN.
б)  Прямые BC и MN пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника BDN, если его высота ВН равна 6.
У11
Остроугольный треугольник АВС вписан в окружность ω. Точки O₁ и O₂  — центры вневписанных окружностей ω₁ и ω₂, касающихся отрезков АВ и АС соответственно. Точка М  — середина большей дуги ВС окружности ω.
а)  Докажите, что точка М лежит на прямой O₁O₂.
б)  На биссектрисе угла ВАС выбрана точка К такая, что $A K в квадрате = A O_1 умножить на A O_2.$ Найдите радиус описанной окружности треугольника ВКС, если сумма радиусов окружностей ω₁ и ω₂ равна $5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и $\angle B A C = 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$
У12
В остроугольном треугольнике АВС отмечены: H  — точка пересечения высот, О  — центр описанной окружности, A₁  — середина BC. Луч A₁H пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D, причем $D H = 2 A_1 H.$
а)  Докажите, что OH перпендикулярна DA₁.
б)  Пусть дополнительно известно, что описанная окружность около треугольника ОНА₁ касается АН. Найдите угол между прямыми AA₁ и BC.
У13
Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. Касательная к окружности в точке С пересекает биссектрису угла АВС в точке K, причем $\angle BKC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 3\angle BAC минус \angle ACB правая круглая скобка .$
а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б)  Известно, что $AC плюс AB = 4,$ а сумма расстояний от центра окружности O до сторон AC и BC равна $дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби .$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
У14
Сторона AC треугольника ABC в два раза больше стороны AB. Продолжение биссектрисы AL пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке P. Известно, что BC  =  6, LP  =  2.
а)  Докажите, что прямые AC и BP параллельны.
б)  Найдите площадь треугольника ABC.
У15
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN  — диаметр этой окружности.
а)  Докажите, что прямые AC и KN параллельны.
б)  Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $10 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ,$ $\angle BAC = 30 градусов,$ $\angle ABC = 105 градусов.$
У16
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.
а)  Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ=10 и $\angle ABC=60 градусов .$
У17
Около равнобедренного треугольника ABC с основанием BC описана окружность. Через точку C провели прямую, параллельную стороне AB. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке K.
а)  Докажите, что треугольник BCK  — равнобедренный.
б)  Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если $косинус \angle BAC= дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби .$
У18
Дан остроугольный треугольник ABC. Его высоты BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H.
а)  Докажите, что $\angle B A H = \angle B B_1 C_1.$
б)  Найдите расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC до стороны BC, если $C_1 B_1 = 18,$ а $\angle B A C = 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$
У19
На окружности с центром O и диаметром MN, равным 26, взята точка K на расстоянии 12 от этого диаметра. Хорда KE пересекает радиус OM в точке F под углом, равным $арккосинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$
а)  Докажите, что KF : FE  =  25 : 17.
б)  Найдите площадь треугольника KEN.
У20
Сторона AB треугольника ABC в два раза больше стороны BC. Продолжение биссектрисы BL пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке Q. Известно, что AC  =  6, LQ  =  2.
а)  Докажите, что прямые AB и CQ параллельны.
б)  Найдите площадь треугольника ABC.
У21
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN  — диаметр этой окружности.
а)  Докажите, что прямые AC и KN параллельны.
б)  Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $20 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ,$ $\angle BAC = 30 градусов,$ $\angle ABC = 105 градусов.$
У22
Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а)  Докажите, что $\angle B B_1 C_1 = \angle B A H.$
б)  Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если $B_1 C_1 = 10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и $\angle B A C = 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Д1
Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что $\angle$ BAC + $\angle$ AKC  =  90°.
а)  Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC, если $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,$ а $BC=48.$
Д2
Точка M  — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.
а)  Докажите, что ∠CAN = ∠CMN.
б)  Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если $тангенс \angle BAC = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$
Д3
В остроугольном треугольнике ABC $\angle A=60 градусов.$ Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка  O  — центр окружности, описанной около $\Delta ABC.$
а)  Докажите, что $AH=AO.$
б)  Найдите площадь $\Delta AHO,$ если $BC=6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $\angle ABC = 45 градусов.$
Д4
В треугольнике ABC угол A равен 120° . Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O  — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а)  Докажите, что AH  =  AO.
б)  Найдите площадь треугольника AHO, если BC  =  3, $\angle ABC=15 градусов.$
Д5
В остроугольном треугольнике АВС провели высоты АН₁ и СН₂, затем провели луч НМ, который пересекает окружность, описанную около треугольника АВС, в точке К, где М  — середина АС, а Н  — точка пересечения высот.
а)  Докажите, что НМ  =  МК.
б)  Найдите площадь треугольника ВСК, если $\angleABC=60 градусов,$ $\angleBAC=45 градусов,$ AC  =  1.
Д6
В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Окружность, описанная около треугольника ACD пересекает сторону AB в точке E.
а)  Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.
б)  Найдите площадь треугольника CDE, если AB  =  8, BC  =  7, AC  =  6.
Д7
Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Отрезок AP  — диаметр окружности, описанной около треугольника ABC.
а)  Докажите, что прямая HP пересекает отрезок BC в его середине.
б)  Луч PH вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке M. Найдите длину отрезка MC₁, если расстояние от центра этой окружности до прямой BC равно 4, ∠BPH  =  120°.
Д8
Высота BH треугольника ABC в $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ раз больше радиуса описанной около треугольника ABC окружности с центром O.
а)  Доказать, что прямая, проходящая через точки K и M  — основания перпендикуляров, опущенных из точки H на стороны AB и BC соответственно, проходит через точку O.
б)  Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если AB  =  6, $BC=3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$
Д9
Дан треугольник АВС. Точка О  — центр вписанной в него окружности. На стороне ВС отмечена такая точка M, что СM  =  АС и ВM  =  АО.
а)  Докажите, что прямые АВ и ОM параллельны.
б)  Найдите площадь четырёхугольника АВMО, если угол AСB прямой и АС  =  4.
Д10
В треугольнике ABC угол C острый, угол B равен 45° и AH  — высота. Прямая АН пересекает описанную около треугольника окружность в точке D.
а)  Докажите, что прямые AB и CD параллельны.
б)  Найдите AC, если CB  =  8 и площадь треугольника CAD равна 12.
Д11
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С продолжение биссектрисы СK этого треугольника (точка К лежит на гипотенузе AB) пересекает его описанную окружность в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину гипотенузы AB, пересекает вторично описанную окружность треугольника АBC в точке М и пересекает катет ВС в точке P.
а)  Докажите, что прямая МK является касательной к описанной окружности треугольника ВМР.
б)  Найдите площадь треугольника МКР, если AC  =  3 и BC  =  4.
Д12
Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а)  Докажите, что $\angle BB_1C_1 = \angle BAH.$
б)  Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B₁C₁  =  6 и $\angle BAC=60 градусов.$
Д13
Отрезок BL  — диаметр описанной окружности треугольника ABC, где $\angle B = 85 градусов ,$ $\angle C = 25 градусов .$ Продолжение высоты ВТ треугольника АВС пересекает эту окружность в точке М.
а)  Докажите, что $\angle ABM = \angle CAL.$
б)  Найдите длину отрезка ML, если радиус описанной окружности равен  $17 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$
Д14
Дан остроугольный треугольник ABC. Известно, что $\angle B A C = 2 \angle A B C.$ Точка O  — центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P.
а)  Докажите, что треугольники ABC и PAC подобны.
б)  Найдите AB, если BC  =  6 и AC  =  4.
Д15
В остроугольном треугольнике ABC $\angle ABC = 60 градусов,$ проведены высоты AA₁ и CC₁. Известно, что $AC = 12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а площадь треугольника A₁BC₁ равна  $20 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
а)  Докажите, что касательная, проведенная к описанной около треугольника АВС окружности в точке В, параллельна прямой A₁C₁.
б)  Найдите площадь треугольника НА₁С₁, где Н  — ортоцентр треугольника АВС.
Д16
Точка O  — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что ∠BAC + ∠AKC  =  90°.
а)  Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус описанной окружности треугольника ABC равен 12, а cos∠BAC  =  0,6.
Д17
В треугольнике ABC биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O, величина угла AOE составляет 60°.
а)  Докажите, что около четырехугольника BDOE можно описать окружность.
б)  Найдите площадь треугольника ABC, если $AB=8,$ а $\angle BED=45 градусов.$
Д18
В треугольнике MPK биссектриса угла K пересекает сторону MP в точке A. Окружность, описанная около треугольника AMK пересекает сторону PK в точке B.
а)  Докажите, что треугольник ABM равнобедренный.
б)  Найдите площадь треугольника ABM, если MK  =  9, PK  =  6, MP  =  5.
Д19
Дан треугольник АВС. Точка О  — центр вписанной в него окружности. На стороне ВС отмечена такая точка M, что СM  =  АС и ВM  =  АО.
а)  Докажите, что прямые АВ и ОM параллельны.
б)  Найдите площадь четырёхугольника АВMО, если угол AСB прямой и АС  =  6.
Д20
Дан остроугольный треугольник ABC. Известно, что $\angle BAC = 2 \angle ABC.$ Точка O  — центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P.
а)  Докажите, что треугольники ABC и PAC подобны.
б)  Найдите AB, если $BC = корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента$ и AC  =  3.
Д21
В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.
а)  Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что $KN=3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ и $\angle KMN=45 градусов.$
Д22
В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.
а)  Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что $KN=10 корень из 2$ и $\angle KMN = 45 градусов.$

Формула	Пояснение
\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)	теорема синусов: коэффициент пропорциональности — диаметр описанной окружности
\(R=\dfrac{a}{2\sin A}\)	радиус по стороне и противолежащему углу
\(R=\dfrac{abc}{4S}\), \(S=\dfrac{abc}{4R}\)	связь с площадью
\(R=\dfrac{a}{\sqrt3}\)	равносторонний треугольник со стороной \(a\)