Задание 18 · Планиметрическая задача (доказательство + вычисление)

18.6. Окружности и треугольники, разные задачи

Для репетитора: показать ответы

1. Что обычно сочетается в таких задачах

В задачах «окружности и треугольники» встречаются сразу несколько конфигураций: вписанная и описанная окружности, вневписанные окружности, касательные и секущие, окружность, проходящая через вершины и основания высот. Ниже собраны факты, которые чаще всего нужны при доказательстве и вычислении.

2. Две окружности треугольника

Вписанная окружность	Описанная окружность
центр — пересечение биссектрис	центр — пересечение серединных перпендикуляров
$S=pr$	$S=\dfrac{abc}{4R}$
$r=\dfrac Sp$	$R=\dfrac{a}{2\sin A}$
для прямоугольного: $r=\dfrac{a+b-c}{2}$	для прямоугольного: $R=\dfrac c2$
равносторонний: $r=\dfrac{a\sqrt3}{6}$	равносторонний: $R=\dfrac{a}{\sqrt3}$

Обе окружности существуют у любого треугольника и единственны.

3. Касательные, секущие, хорды

Касательные из одной точки равны; центр лежит на биссектрисе угла между ними.
Для вписанной окружности: $AB_1=AC_1=p-a$ и т. д.
$OK^2=OA\cdot OB$ (касательная и секущая); $OA\cdot OB=OC\cdot OD$ (две секущие); $AO\cdot OB=CO\cdot OD$ (пересекающиеся хорды).
Угол между хордой и касательной равен вписанному углу на отсечённую дугу; вписанные углы на одну дугу равны.

4. Биссектриса и описанная окружность

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении внутренней биссектрисы одного угла и внешних биссектрис двух других.
Лемма о трезубце: биссектриса угла $B$ пересекает описанную окружность в точке $P$, тогда $PA=PC=PI=PI_B$.
Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

5. Высоты, ортоцентр, окружности

Четырёхугольники $AC_1HB_1$, $BA_1HC_1$, $CB_1HA_1$ вписанные (противолежащие углы по $90^\circ$); также вписаны $ABA_1B_1$, $BCB_1C_1$, $CAC_1A_1$.
Точка $H$ — центр вписанной окружности ортотреугольника $A_1B_1C_1$.
Точки, симметричные $H$ относительно сторон и середин сторон, лежат на описанной окружности; $BH=2\cdot OM$; $AH^2+BC^2=4R^2$.
$OB\perp A_1C_1$; $\triangle BA_1C_1\sim\triangle BAC$ с коэффициентом $\cos\beta$.
Прямая Симсона: основания перпендикуляров из точки $P$ на стороны треугольника лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда $P$ — на описанной окружности.

6. Ортогональные окружности и ортоцентр

В треугольнике $ABC$ окружность с диаметром $AH$ (проходит через $B_1$ и $C_1$) и окружность с диаметром $BC$ (проходит через те же $B_1$ и $C_1$) ортогональны; центр первой — середина $AH$, второй — середина $BC$. Две окружности радиусов $R$ и $r$ с расстоянием $d$ между центрами ортогональны тогда и только тогда, когда $d^2=R^2+r^2$.

7. Теоремы для «счётных» задач

Косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$; синусов: $\dfrac a{\sin\alpha}=2R$.
Менелай: $\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1$; Чева — то же для трёх пересекающихся в одной точке чевиан.
Медиана: $m_b=\tfrac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}$.
Отношения площадей: общий угол — отношение произведений сторон; общая высота — отношение оснований; подобие с коэффициентом $k$ — площади относятся как $k^2$.

Лайфхак 1. Ищите вписанные четырёхугольники. По равным углам, опирающимся на одну сторону, или по сумме противолежащих углов $180^\circ$.

Лайфхак 2. Касательные и $p-a$. Для касательных используйте равенство отрезков из одной точки и выражения $p-a$, $p-b$, $p-c$.

Лайфхак 3. Площадь по данным. Выбирайте формулу площади по данным: $\tfrac12ab\sin\gamma$ при известных углах, $S=pr$ при известном радиусе вписанной окружности, $S=\dfrac{abc}{4R}$ при известном радиусе описанной.

Лайфхак 4. Подобие и отношения. Для отношений отрезков применяйте теоремы Менелая и Чевы, а при биссектрисах — свойство биссектрисы; средняя линия и подобие с коэффициентом $\tfrac12$ часто упрощают построения.

Разобранные примеры

Пример 1

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 4 и 8. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а)  Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б)  Найдите площадь треугольника АСВ.

Решение

а)  Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть $M,H,N$   — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны: $AM=AN,CM=CH,HB=BN.$ Поэтому:

$P=AC плюс CH плюс HB плюс AB=AN плюс AM=2AM,$

откуда $p=AM.$

б)  Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:

$S= левая круглая скобка p минус AC правая круглая скобка умножить на r_1= левая круглая скобка AM минус AC правая круглая скобка r_1=CMr_1=r_2r_1=32.$

Пример 2

В окружности с центром О отрезок ЕК  — диаметр. Хорды ЕT и KS проведены так, что точки Т и S лежат по одну сторону от прямой EK. Точка пересечения прямых КT и ES находится от точек T и S на расстоянии 5, $\angle T K E = 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

а)  Докажите, что точка пересечения прямых КT и ES находится вне окружности.

б)  Найдите радиус окружности.

Решение

а)  Пусть прямые KT и ES пересекаются в точке M. Тогда $MT умножить на MK = MS умножить на ME.$ По условию MS  =  MT, следовательно, MK  =  ME и SE  =  TK. Треугольники EKT и KES равны по катету и гипотенузе, значит, $\angle KES = 60 градусов,$ откуда $KME = 60 градусов меньше 90 градусов.$ Из этого следует, что точка M лежит вне окружности.

б)  Отрезки ET и KS  — высоты равностороннего треугольника KEM. Тогда они являются его медианами. Таким образом,

$EM = 2 MS = 10 = EK,$

следовательно, $R = дробь: числитель: EK, знаменатель: 2 конец дроби = 5.$

Ответ: б)  5.

Источники

«Секретный файл по планиметрии», Школково (shkolkovo.online)
Справочник по планиметрии, Лицей при ТПУ, Томск, 2003
«Планиметрия. Теория», методические материалы, surwiki.admsurgut.ru
«Ортогональные окружности», А. Блинков, geometry.ru

У1
Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.
а)  Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.
б)  Найдите площадь треугольника АСВ.
У2
Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
а)  Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б)  Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK  =  24 и BN  =  23.
У3
Точки A₁, B₁ и C₁  — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC.
а)  Докажите, что отличная от A₁ точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A₁CB₁ и A₁BC₁, лежит на окружности, описанной около треугольника B₁AC₁.
б)  Известно, что AB  =  AC  =  10 и BC  =  12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников A₁CB₁, A₁BC₁ и B₁AC₁.
У4
В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁  — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH  — высота, $\angle BAC=60 градусов ,\angle BCA=45 градусов .$
а)  Докажите, что A_1,B₁, C₁ и H лежат на одной окружности.
б)  Найдите A₁H, если $BC=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
У5
Точка I  — центр окружности S₁, вписанной в треугольник ABC, точка O  — центр окружности S₂, описанной около треугольника BIC.
а)  Докажите, что точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.
б)  Найдите косинус угла BAC, если радиус описанной окружности треугольника ABC относится к радиусу окружности S₂ как 3 : 5.
У6
Дан треугольник ABC со сторонами AC  =  30, BC  =  40 и AB  =  50. Вписанная в него окружность с центром I касается стороны BC в точке L, M  — середина BC, AP  — биссектриса треугольника ABC, O  — центр описанной около него окружности.
а)  Докажите, что P  — середина отрезка LM.
б)  Пусть прямые OI и AC пересекаются в точке K, а продолжение биссектрисы AP пересекает описанную окружность в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника OKCQ.
У7
В треугольнике ABC биссектриса угла B пересекает описанную окружность этого треугольника в точке F. Точка E  — центр окружности, касающейся стороны АС и продолжений сторон AB и BC (вневписанной окружности). Точка O  — центр вписанной окружности треугольника ABC.
а)  Докажите, что отрезки AF и OF равны.
б)  Найдите длину отрезка CF, если OE  =  14.
У8
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках C₁ и B₁ соответственно.
а)  Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB₁C₁.
б)  Найдите радиус данной окружности, если ∠A  =  45°, B₁C₁  =  6 и площадь треугольника AB₁C₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB₁C₁.
У9
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC₁ и медиану AA₁. Оказалось, что точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной окружности.
а)  Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б)  Найдите площадь треугольника ABC, если AA₁ : CC₁  =  4 : 3 и A₁C₁  =  6.
У10
В окружности с центром O проведена хорда AB, на которой выбрана точка M. Вторая окружность, описанная около треугольника MAO, повторно пересекает первую окружность в точке K.
а)  Докажите, что BM  =  MK.
б)  Найдите площадь треугольника OMK, если OM  =  11 и BK  =  12.
У11
Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Проведена высота CH. На сторонах AC и BC соответственно отмечены точки M и N так, что угол MHN прямой.
а)  Докажите, что треугольники MNH и ABC подобны.
б)  Найдите BN, если $AM = 9, MC = 3, BC = 8.$
У12
Прямая, проходящая через середину M стороны BC треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, причём $\angle CMK=\angle BAC.$
а)  Докажите, что $\angle BAM=\angle BKM.$
б)  Найдите медиану MN треугольника CKM, если BC  =  20, $AB= корень из: начало аргумента: 87 конец аргумента ,$ CK  =  8.
У13
Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D  — основание высоты, опущенной из вершины C. Точки O₁ и O₂  — центры окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD.
а)  Докажите, что O₁ и O₂ лежат на отрезке EF .
б)  Найдите расстояние от точки C до прямой O₁O₂, если AC  =  15 и BC  =  20.
У14
Окружность с центром в точке С касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D  — основание высоты, опущенной из вершины С. Точки O₁ и O₂  — центры окружностей, вписанных в треугольники ВСD и АСD.
а)  Докажите, что точки O₁ и O₂ лежат на отрезке EF.
б)  Найдите расстояние от точки С до прямой O₁O₂, если $AC = 15$ и $BC = 20.$
У15
Точка O  — центр вписанной окружности треугольника ABC, точки O₁, O₂, O₃ центры вневписанных окружностей, касающихся сторон ВС, АС, АВ соответственно.
а)  Докажите, что точка O является точкой пересечения высот треугольника O₁O₂O₃.
б)  Найдите угол А треугольника ABC, если отрезок OO₁ короче отрезка O₂O₃ ровно в два раза.
У16
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. В треугольники ADC и ADB вписаны окружности с длинами радиусов 3 и 8 соответственно, касающиеся отрезка AD в точках М и N соответственно.
а)  Докажите, что треугольник, образованный точкой D и центрами данных окружностей прямоугольный.
б)  Найдите расстояние между центрами данных окружностей, если ND  =  ⁠4.
У17
Внутри треугольника ABC, в котором $\angle B = 45 градусов,$ выбрана точка Q такая, что S_ABQ : S_ACQ : S_CBQ  =  1 : 2 : 4. Прямые CQ и AQ пересекают стороны AB и BC соответственно в точках K и L. Известно, что точки A, K, L и C лежат на одной окружности.
а)  Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б)  Найдите квадрат расстояния от точки Q до центра вписанной в треугольник ABC окружности, если площадь треугольника ABC равна 7.
У18
Точка О  — центр описанной окружности около остроугольного треугольника АВС. На луче АО за точкой О выбрана точка Р так, что $\angle BAC плюс \angle APC = 90 градусов.$
а)  Докажите, что $\angle OBC = \angle OPC.$
б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ОРС, если BC  =  24, $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$
У19
Точки A₁, B₁ и C₁  — середины сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC, в котором угол A тупой.
а)  Докажите, что отличная от A₁ точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A₁CB₁ и A₁BC₁, лежит на окружности, описанной около треугольника B₁AC₁.
б)  Известно, что AB  =  AC  =  13 и BC  =  24. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников A₁CB₁, A₁BC₁ и B₁AC₁.
У20
Дан треугольник ABC со сторонами $AB=50,AC=30$ и $BC=40.$ Точки M и N  — середины сторон AB и AC соответственно.
а)  Докажите, что окружность, вписанная в треугольник ABC, касается одной из средних линий.
б)  Найдите общую хорду окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая описана около треугольника AMN.
У21
В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.
а)  Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б)  Пусть P  — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC  =  2 : 5, а BN  =  21.
У22
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.
а)  Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁
б)  Вычислите радиус данной окружности, если $\angle A= 120 градусов,$ $BC=10 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.
У23
Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Проведена высота CH. На сторонах AC и BC соответственно отмечены точки M и N так, что угол MHN прямой.
а)  Докажите, что треугольники MNH и ABC подобны.
б)  Найдите BN, если $AC = 5, MC = 2, BC = 3.$
У24
Прямая, проходящая через середину M стороны BC треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, причём $\angle CMK=\angle BAC.$
а)  Докажите, что $\angle BAM=\angle BKM.$
б)  Найдите медиану MN треугольника CKM, если BC  =  12, $AB= корень из: начало аргумента: 41 конец аргумента ,$ CK  =  8.
У25
Из точки M к окружности проведены касательная MB (B  — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках K и A, причем точка K лежит между M и A, а угол ABM  — острый. Расстояние от центра окружности до хорды AB равно половине радиуса окружности.
а)  Докажите, что угол MBA равен 60°.
б)  Найдите площадь треугольника AMB, если MA  =  7MK и радиус окружности равен  $4 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$

Д1
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 12, BC = 5. Окружность радиуса $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.
а)  Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби$ длины катета AC.
б)  Найдите радиус второй окружности.
Д2
Точка O  — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I  — центр вписанной в него окружности, H  — точка пересечения высот. Известно, что $\angle BAC=\angle OBC плюс \angle OCB.$
а)  Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б)  Найдите угол OIH, если $\angle ABC=75 градусов.$
Д3
Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части.
а)  Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б)  Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC.
Д4
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а)  Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.
б)  Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Д5
Дан треугольник ABC со сторонами $AB=20,AC=12$ и $BC=16.$ Точки M и N  — середины сторон AB и AC соответственно.
а)  Докажите, что окружность, вписанная в треугольник ABC, касается одной из средних линий.
б)  Найдите общую хорду окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая описана около треугольника AMN.
Д6
Окружность, касающаяся сторон AB и BC треугольника ABC, пересекает сторону AC в точках M и P, причем $AM = MP = PC.$
а)  Докажите, что треугольник ABC  — равнобедренный.
б)  Найдите радиус окружности, если $AC = 21,$ а центр окружности лежит на высоте к стороне BC.
Д7
В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.
а)  Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б)  Пусть P   — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC  =  2 : 5, а BN  =  14.
Д8
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.
а)  Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁
б)  Вычислите радиус данной окружности, если $\angle A= 150 градусов,$ $BC=5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в четыре раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.
Д9
Точка О₁  — центр вписанной окружности равнобедренного треугольника АВС, а точка О₂  — центр вневписанной окружности, касающейся основания ВС.
а)  Докажите, что расстояние от середины отрезка О₁О₂ до точки С вдвое меньше О₁О₂.
б)  Известно, что радиус первой окружности в пять раз меньше радиуса второй. В каком отношении точка касания первой окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Д10
Точки D и E  — середины сторон AC и BC треугольника ABC соответственно. На отрезке DE как на диаметре построена окружность, пересекающая продолжения сторон AC и BC в точках M и N соответственно.
а)  Докажите, что биссектрисы углов MEN и NDM пересекаются на этой окружности.
б)  Найдите MN, если известно, что AB  =  14, BC  =  10, AC  =  6.
Д11
Окружность с центром О, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.
а)  Докажите, что BM  =  CM.
б)  Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите BK : KP, если $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$
Д12
Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а)  Докажите, что $C N: C M=L B: L A.$
б)  Найдите MN, если $L B: L A=2: 3,$ а радиус малой окружности равен $корень из: начало аргумента: 23 конец аргумента .$
Д13
Окружность с центром O₁ радиусом 9 вписана в треугольник АBC. Ее внешним образом касаются окружность с центром O₂ радиусом $дробь: числитель: 81, знаменатель: 25 конец дроби ,$ вписанная в угол A, и окружность с центром O₃ радиусом 1, вписанная в угол С.
а)  Докажите, что $\angle C = Пи минус арктангенс дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби .$
б)  Найдите площадь треугольника AO₁O₃.
Д14
В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O, которая касается стороны AB в точке К. Окружность в точке O₁ касается стороны AB в точке L, а также продолжений сторон АС и ВС.
а)  Докажите, что около четырёхугольника AOBO₁ можно описать окружность.
б)  Найдите площади четырёхугольников AOBO₁ и KOLO₁, если известно, что AB  =  8, AC  =  6, BC  =  10.
Д15
В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC. B треугольники ABD и ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K.
а)  Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.
б)  Найдите длину отрезка АК, если периметр треугольника ABC равен 20, а сторона BC равна 5.
Д16
Точка O  — центр вписанной окружности треугольника ABC. Прямая BO вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке P.
а)  Докажите, что $\angle POA = \angle PAO.$
б)  Найдите площадь треугольника APC, если известно, что радиус его описанной окружности равен 8, а $\angle ABC = 60 градусов .$
Д17
Из точки A к окружности проведены касательная AM (M  — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках K и L, причем точка L лежит между A и K, а треугольник AMK  — остроугольный. Расстояние от центра окружности до хорды KM равно половине радиуса окружности.
а)  Докажите, что угол AMK равен 60°.
б)  Найдите площадь треугольника AMK, если AL : LK  =  4 : 3 и радиус окружности равен  $2 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$
Д18
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 15, BC = 8. Окружность радиуса 2,5 с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.
а)  Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ длины катета $AC.$
б)  Найдите радиус второй окружности.
Д19
Точка I  — центр окружности S₁, вписанной в треугольник ABC, точка O  — центр окружности S₂, описанной около треугольника BIC.
а)  Докажите, что точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.
б)  Найдите косинус угла BAC, если радиус описанной окружности треугольника ABC относится к радиусу окружности S₂ как 2:3.
Д20
Дан треугольник ABC со сторонами AC  =  6, BC  =  8 и AB  =  10. Вписанная в него окружность с центром I касается стороны BC в точке L, M  — середина BC, AP  — биссектриса треугольника ABC, O  — центр описанной около него окружности.
а)  Докажите, что P  — середина отрезка LM.
б)  Пусть прямые OI и AC пересекаются в точке K, а продолжение биссектрисы AP пересекает описанную окружность в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника OKCQ.
Д21
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках C₁ и B₁ соответственно.
а)  Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB₁C₁.
б)  Найдите радиус данной окружности, если ∠A  =  135°, B₁C₁  =  10 и площадь треугольника AB₁C₁ в семь раз меньше площади четырёхугольника BCB₁C₁.
Д22
В окружности с центром O проведена хорда AB, на которой выбрана точка M. Вторая окружность, описанная около треугольника MAO, повторно пересекает первую окружность в точке K.
а)  Докажите, что BM  =  MK.
б)  Найдите площадь треугольника OMK, если OM  =  9 и BK  =  10.
Д23
Окружность с центром О, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.
а)  Докажите, что BM  =  CM.
б)  Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите BK : KP, если $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$
Д24
Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а)  Докажите, что $C N : C M = L B : L A.$
б)  Найдите длину хорды MN, если $L B : L A = 3 : 7,$ a радиус меньшей окружности равен $корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента .$
Д25
Точка О  — центр описанной окружности около остроугольного треугольника АВС. На луче АО за точкой О выбрана точка Р так, что $\angle BAC плюс \angle APC = 90 градусов.$
а)  Докажите, что $\angle OBC = \angle OPC.$
б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ОРС, если BC  =  72, $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Вписанная окружность	Описанная окружность
центр — пересечение биссектрис	центр — пересечение серединных перпендикуляров
\(S=pr\)	\(S=\dfrac{abc}{4R}\)
\(r=\dfrac Sp\)	\(R=\dfrac{a}{2\sin A}\)
для прямоугольного: \(r=\dfrac{a+b-c}{2}\)	для прямоугольного: \(R=\dfrac c2\)
равносторонний: \(r=\dfrac{a\sqrt3}{6}\)	равносторонний: \(R=\dfrac{a}{\sqrt3}\)