Задание 18 · Планиметрическая задача (доказательство + вычисление)

18.7. Вписанные окружности и четырехугольники

Для репетитора: показать ответы

1. Когда в четырёхугольник можно вписать окружность

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:

$a+c=b+d$.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис углов четырёхугольника.

2. Площадь и радиус

Если в четырёхугольник вписана окружность, то $S=p\cdot r$, где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.
Для трапеции с вписанной окружностью радиуса $r$ также $S=p\cdot r$; одновременно $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$, где $a,b$ — основания, $h$ — высота.
Для квадрата со стороной $a$: $r=\dfrac a2$.

3. Касательные и биссектрисы

Отрезки касательных, проведённых из одной вершины к окружности, равны. Центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне.
Биссектрисы смежных углов, а также биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых, взаимно перпендикулярны.

4. Площади четырёхугольников

Площадь любого четырёхугольника: $S=\tfrac12d_1d_2\sin\varphi$.
Параллелограмм: $S=ah=ab\sin\alpha$; ромб: $S=\tfrac12d_1d_2$; прямоугольник: $S=ab$; трапеция: $S=\dfrac{a+b}{2}h$.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Площади подобных фигур относятся как $k^2$, периметры — как $k$.

5. В какие четырёхугольники можно вписать окружность

Фигура	Можно ли вписать окружность
Любой выпуклый четырёхугольник	только если $AB+CD=BC+AD$; в многоугольник в общем случае вписать окружность нельзя (в треугольник — всегда)
Трапеция	обычно нельзя; можно только при $a+b=c+d$, где $a,b$ — основания, $c,d$ — боковые стороны
Параллелограмм	обычно нельзя; можно, только если он — ромб
Ромб	всегда можно
Прямоугольник	обычно нельзя; можно, только если он — квадрат
Квадрат	всегда можно

6. Дополнительные факты

Если окружность с центром $O$ вписана в четырёхугольник $ABCD$, то $\angle AOB+\angle COD=180^\circ$.
Для прямоугольной трапеции с основаниями $a$ и $b$, в которую вписана окружность: высота $h=2r$ и $r=\dfrac{ab}{a+b}$.
Для прямоугольного треугольника: $r=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{ab}{a+b+c}$.
Обратное тоже верно: если в выпуклом четырёхугольнике $AB+CD=BC+DA$, то он описанный.

7. Касательные: напоминание

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Из одной точки можно провести две касательные, и их отрезки до точек касания равны.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Лайфхак 1. Проверка существования. Прежде чем использовать вписанную окружность, убедитесь, что $a+c=b+d$. Если это условие следует из задачи, вы сразу получаете связь между сторонами.

Лайфхак 2. Площадь двумя способами. Для вписанной окружности запишите $S=pr$ и приравняйте к другой формуле площади (через основания и высоту, через диагонали и угол).

Лайфхак 3. Радиус в точку касания. Радиусы в точки касания разбивают задачу на прямоугольные треугольники и равные касательные.

Лайфхак 4. Мало данных — координаты. Если классических теорем не хватает, перейдите к методу координат или векторам.

Лайфхак 5. Проверьте фигуру по таблице. Если в условии сказано «в ромб, квадрат, трапецию вписана окружность», сверьтесь с таблицей: ромб и квадрат вписываются всегда, а параллелограмм — только если это ромб; для трапеции нужно $a+b=c+d$.

Разобранные примеры

Пример 1

Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.

а)  Докажите, что прямые KT и DE параллельны.

б)  Найдите угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.

Решение

а)  Прямые AE и CD параллельны, a DE  — биссектриса угла ADC, поэтому ∠AED = ∠CDE = ∠ADE. Значит, треугольник ADE равнобедренный, AD  =  АЕ. Отрезки АK и AT касательных, проведённых к окружности из точки A, равны, значит, треугольник ATK также равнобедренный, причём угол при вершине A у этих треугольников общий. Поэтому ∠ATK = ∠ADE. Следовательно, KT || DE.

б)  Пусть окружность касается основания DE равнобедренного треугольника ADE в точке М. Тогда M  — середина DE. Обозначим DM  =  x. Тогда DT  =  DM  =  x, AT  =  AD − DT  =  8 − x. Треугольник ATK подобен треугольнику ADE, поэтому $дробь: числитель: AT, знаменатель: AD конец дроби = дробь: числитель: TK, знаменатель: DE конец дроби ,$ или $дробь: числитель: 8 минус x, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 2x конец дроби .$ Отсюда находим, что x  =  4. Тогда DE  =  2х  =  8, значит, треугольник ADE равносторонний. Следовательно, ∠BAD = ∠EAD  =  60°.

Ответ: 60°.

Пример 2

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Отрезок AN пересекает окружность в точке K, а луч MK пересекает основание AD в точке L.

а)  Докажите, что треугольник AKL подобен треугольнику MAL.

б)  Найдите отношение AL : LD.

Решение

а)  Трапеция равнобедренная, значит, $BP=PC=MB=CN,$ поскольку точка P  — точка касания окружности и основания BC. Тогда отрезок MN параллелен основанию BC и $\angle MNK = \angle KAL.$ По теореме об угле между касательной и хордой получаем, что $\angle AMK=\angle MNK.$ Значит, $\angle AML = \angle KAL$ и треугольники AKL и MAL подобны по двум углам.

б)  Из доказанного подобия следует, что $AL : LK = LM : AL,$ откуда $AL в квадрате = LM умножить на LK.$ С другой стороны, по теореме о квадрате касательной получаем, что $LQ в квадрате =LM умножить на LK,$ поскольку точка  Q  — точка касания окружности с основанием AD. Тогда AL  =  LQ, следовательно, $AL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AQ = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AD,$ значит, AL : LD  =  1 : 3.

Ответ: б)  1 : 3.

Источники

«Окружность», методические материалы по планиметрии, nitforyou.com, 2026
«Секретный файл по планиметрии», Школково (shkolkovo.online)
Справочник по планиметрии, Лицей при ТПУ, Томск, 2003
«Планиметрия. Теория», методические материалы, surwiki.admsurgut.ru
Задачи по теме «Вписанные и описанные четырёхугольники», материалы кружка при МЦНМО (mccme.ru)

У1
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а)  Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б)  Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
У2
К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а)  Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б)  Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB  =  1 : 3?
У3
Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.
а)  Докажите, что $CK умножить на CE=AB умножить на CD.$
б)  Найдите отношение CK и KE, если $\angle ECD=15 градусов.$
У4
В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а)  Докажите, что $синус \angle AOD= синус \angle BOC.$
б)  Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90 градусов,$ а основания равны 5 и 7.
У5
Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.
а)  Докажите, что $AN=CK.$
б)  Найдите KN, если $\angle BAC=35 градусов,$ $\angle ACB=65 градусов,$ а радиус окружности равен 12.
У6
Окружность, вписанная в ромб ABCD , касается сторон CD и BC в точках M и Q соответственно. Прямые AM и BC пересекаются в точке P.
а)  Докажите, что $BP умножить на BQ = BC в квадрате .$
б)  Найдите угол $\angle APC,$ если $DM =1$ и $MC = 4.$
У7
Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружности, построенные на боковых сторонах KL и MN как на диаметрах, пересекаются в точках A и B.
а)  Докажите, что средняя линия трапеции лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
б)  Найдите AB, если известно, что боковые стороны трапеции равны 26 и 28, а средняя линия трапеции равна 15.
У8
К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а)  Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б)  Прямая MN пересекает прямую BC в точке P. В каком отношении делит сторону AB (считая от точки B) прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AN : ND  =  1 : 2.
У9
Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K.
а)  Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны.
б)  Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, $\angle BAC = 30 градусов,$ а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.
У10
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а)  Докажите, что AB  — диаметр окружности, описанной около треугольника AOB.
б)  Найдите отношение площади четырёхугольника, вершины которого  — точки касания окружности со сторонами трапеции, к площади самой трапеции ABCD, если известно, что AB  =  CD, а основания трапеции относятся как 1 : 2.
У11
Выпуклый четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R с центром в точке O, его диагонали AC и BD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD пересекаются в точке Q.
а)  Докажите, что $AQ умножить на DQ плюс BP умножить на DP=OQ в квадрате минус OP в квадрате .$
б)  Найдите R, если АВ  =  5, CD  =  6, $\angle AQB=30 градусов .$
У12
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что $A M=M C.$
а)  Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
б)  Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если $A B=5,$ $B C=10,$ $\angle B A D=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$
У13
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, K  — точка касания окружности со стороной  AB.
а)  Докажите, что $A B умножить на корень из: начало аргумента: A K умножить на B K конец аргумента =A O умножить на B O.$
б)  Найдите отношение меньшего основания трапеции к большему, если известно, что AB  =  CD, а площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет $дробь: числитель: 16, знаменатель: 81 конец дроби$ площади трапеции ABCD.
У14
На окружности отмечены точки K, L, M, N, причем прямые KL и MN пересекаются вне круга в точке E, прямые LM и KN пересекаются вне круга в точке F. Биссектриса угла KEN пересекает отрезки LM и KN в точках P и R соответственно. Прямая, проведенная через точку F перпендикулярно прямой PR, пересекает отрезки KL и MN в точках S и Q соответственно.
а)  Докажите, что PQRS  — ромб.
б)  Найдите площадь четырехугольника PQRS, если известно, что EL  =  4, EM  =  6, LM  =  5 и KN  =  15.
У15
Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках М и N соответственно. Известно, что $A M = 6 M B$ и $2 D N = 3 C N.$
а)  Докажите, что $A D = 3 B C.$
б)  Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен $корень из: начало аргумента: 105 конец аргумента .$
У16
В параллелограмме ABCD на стороне AD отмечена точка N так, что в четырехугольник BCDN можно вписать окружность. Известно, что $дробь: числитель: BC, знаменатель: AB конец дроби = корень из 2 ,$ $дробь: числитель: DN, знаменатель: AN конец дроби = 1 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби .$
а)  Докажите, что высоты параллелограмма, опущенные из вершины C, делят угол BCD на три равные части.
б)  Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник BCDN, если AC  =  2.
У17
В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что $\angle MNK = 90 градусов ,$ $\angle NKL = \angle KLM =120 градусов .$
а)  Докажите, что точка А лежит на прямой LO.
б)  Найдите длину стороны МN, если LA  =  1.
У18
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а)  Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б)  Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
У19
Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.
а)  Докажите, что $CK умножить на CE=BC умножить на AD.$
б)  Найдите отношение CE : KE, если $\angle ECD=75 градусов.$
У20
Точка O  — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а)  Докажите, что $\angle POC=\angle PCO.$
б)  Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 8, а $\angle ABC = 60 градусов.$
У21
Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружности, построенные на боковых сторонах KL и MN как на диаметрах, пересекаются в точках A и B.
а)  Докажите, что средняя линия трапеции лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
б)  Найдите AB, если известно, что боковые стороны трапеции равны 14 и 30, а средняя линия трапеции равна 20.
У22
Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке K.
а)  Докажите, что отрезки AC и AK перпендикулярны.
б)  Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, угол BAC составляет 30°, отношение площадей BCNH к NKH равно 35, где N  — точка пересечения отрезков AD и CK.
У23
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а)  Докажите, что окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре, проходит через точку O.
б)  Найдите отношение площади четырёхугольника, вершины которого  — точки касания окружности со сторонами трапеции, к площади самой трапеции ABCD, если известно, что AB  =  CD, а основания трапеции относятся как 3 : 4.
У24
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что $A M=M C.$
а)  Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
б)  Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если $A B=6,$ $B C=12,$ $\angle B A D=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$
У25
В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что $\angle MNK = 90 градусов,$ $\angle LMN = \angle KLM = 60 градусов.$
а)  Докажите, что точка А лежит на прямой LO.
б)  Найдите длину стороны МN, если LA  =  3.

Д1
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а)  Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б)  Найдите угол BAD, если известно, что AD  =  8 и KT  =  4.
Д2
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекается в точке P, причём BC  =  CD.
а)  Докажите, что $AB:BC=AP:PD.$
б)  Найдите площадь треугольника COD, где O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD  — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB  =  6, а $BC=6 корень из 2 .$
Д3
Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM  =  8MB и DN  =  2CN.
а)  Докажите, что AD  =  4BC.
б)  Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен $корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$
Д4
В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.
а)  Докажите, что $\angle AMO = \angle DKO.$
б)  Найдите площадь треугольника AOM, если $BC=10$ и $AD=15.$
Д5
Точка O  — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а)  Докажите, что $\angle POC=\angle PCO.$
б)  Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, а $\angle ABC = 120 градусов.$
Д6
В окружность радиуса $2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента$ с центром в точке O вписана трапеция ABCD. Основание трапеции AD  является диаметром окружности, угол BAD равен 60°. Хорда СЕ пересекает диаметр AD в точке Р такой, что AP : PD  =  1 : 3.
а)  Докажите, что точка Р  — cередина отрезка АО.
б)  Найдите площадь треугольника BPE.
Д7
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.
а)  Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.
б)  Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC  =  26 и BD  =  24.
Д8
В параллелограмме ABCD расположены две равные непересекающиеся окружности. Первая касается сторон AD, AB и BC, вторая  — сторон AD, CD и BC.
а)  Докажите, что общая внутренняя касательная l окружностей проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.
б)  Пусть ABCD  — прямоугольник, а прямая l касается окружностей в точках M и N. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках M, N и в центрах окружностей, если AD  =  16, а расстояние между центрами окружностей равно 10.
Д9
Дана трапеция ABCD, где AB  =  BC  =  CD, точка E лежит на плоскости так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD.
а)  Докажите, что углы AEB и BDA равны.
б)  Найдите площадь трапеции, если AB = 50, а $косинус AEB = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$
Д10
На окружности ω отмечены точки M, N, K таким образом, что MN  — диаметр, а K  — середина дуги MN. Точка E  — середина хорды MK. Точка B  — середина дуги KN, не содержащей точку M. Через точку E проведена хорда AB.
а)  Докажите, что $AE:BE=1:3.$
б)  В окружность ω вписан прямоугольник ABCD. Найдите его площадь, если $MN=3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$
Д11
В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а)  Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б)  Найдите MK, если AB  =  5, AC  =  8.
Д12
В трапеции АВСD боковая сторона CD перпендикулярна основаниям AD и ВС. В эту трапецию вписали окружность с центром О. Прямая АО пересекает продолжение отрезка ВС в точке Е.
а)  Докажите, что AD  =  CE + CD.
б)   Найдите площадь трапеции ABCD, если AE  =  10, $\angle BAD=60 градусов .$
Д13
Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC переcекает сторону AC в точке D. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке P, а прямая OP пересекает сторону AB в точке K.
а)  Докажите, что около четырёхугольника BDOK можно описать окружность.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BDOK, если AB  =  10, $BC= корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента ,$ AC  =  9.
Д14
Окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, касаются между собой.
а)  Докажите, что в трапецию можно вписать окружность.
б)  Найдите основания этой трапеции, если её боковые стороны равны 3 и 8, а большая сторона основания видна из центра вписанной окружности под углом 120°.
Д15
В четырехугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин  — точка О.
а)  Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
б)  Найдите радиус вписанной в четырехугольник АВCD окружности, если AC  =  12 и BD  =  13.
Д16
В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, а углы АВС и ADC  — прямые.
а)  Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABD и DBC, касаются в точке пересечения диагоналей четырехугольника  ABCD.
б)  Найдите АС, если периметр треугольника ADC равен 44, а расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и DBC, равно 6.
Д17
В ромбе ABCD точки K и L  — середины сторон BC и CD соответственно. Прямые AK и AL пересекают диагональ BD в точках P и Q соответственно.
а)  Докажите, что S_APQ  =  S_BKP + S_DLQ.
б)  Известно, что в пятиугольник CKPQL можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба ABCD равна  $6 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$
Д18
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC  =  CD.
а)  Докажите, что $A B : B C = A P: P D.$
б)  Найдите площадь треугольника COD, где O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD  — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB  =  8, a $B C = 8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$
Д19
Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM  =  6MB и 2DN  =  3CN.
а)  Докажите, что AD  =  3BC.
б)  Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен $корень из: начало аргумента: 105 конец аргумента .$
Д20
Окружность, вписанная в ромб ABCD , касается сторон CD и BC в точках M и Q соответственно. Прямые AM и BC пересекаются в точке P.
а)  Докажите, что $BP умножить на BQ = BC в квадрате .$
б)  Найдите угол $\angle APC,$ если DM  =  4 и MC  =  9.
Д21
В параллелограмме ABCD расположены две равные непересекающиеся окружности. Первая касается сторон AD, AB и BC, вторая  — сторон AD, CD и BC.
а)  Докажите, что общая внутренняя касательная l окружностей проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.
б)  Пусть ABCD  — прямоугольник, а прямая l касается окружностей в точках M и N. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках M, N и в центрах окружностей, если AD  =  36, а расстояние между центрами окружностей равно 20.
Д22
Дана трапеция ABCD, где AB = BC = CD, точка E лежит на плоскости так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD
а)  Доказать, что ∠AEB = ∠BDA
б)  Найти площадь ABCD, если AB = 72, $косинус AEB = дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби .$
Д23
В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а)  Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б)  Найдите MK, если AB  =  13, AC  =  24.
Д24
Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC переcекает сторону AC в точке D. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке P, а прямая OP пересекает сторону AB в точке K.
а)  Докажите, что около четырёхугольника BDOK можно описать окружность.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BDOK, если AB  =  8, $BC= корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ,$ AC  =  7.
Д25
В ромбе ABCD точки K и L  — середины ребер BC и CD соответственно. Прямые AK и AL пересекают диагональ BD в точках P и Q соответственно.
а)  Докажите, что S_APQ  =  S_BKP + S_DLQ.
б)  Известно, что в пятиугольник CKPQL можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба ABCD равна  $12 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Фигура	Можно ли вписать окружность
Любой выпуклый четырёхугольник	только если \(AB+CD=BC+AD\); в многоугольник в общем случае вписать окружность нельзя (в треугольник — всегда)
Трапеция	обычно нельзя; можно только при \(a+b=c+d\), где \(a,b\) — основания, \(c,d\) — боковые стороны
Параллелограмм	обычно нельзя; можно, только если он — ромб
Ромб	всегда можно
Прямоугольник	обычно нельзя; можно, только если он — квадрат
Квадрат	всегда можно