Задание 18 · Планиметрическая задача (доказательство + вычисление)

18.8. Описанные окружности и четырехугольники

Для репетитора: показать ответы

1. Когда около четырёхугольника можно описать окружность

Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

2. Признаки вписанности четырёхугольника

сумма противолежащих углов равна $180^\circ$;
внешний угол равен внутреннему противолежащему;
два угла, опирающиеся на одну сторону (с вершинами по одну сторону от неё), равны;
равенство произведений отрезков диагоналей (хорд) или секущих: $OC\cdot OD=OB\cdot OA$;
существует точка, равноудалённая от всех вершин;
частный случай: два прямых угла опираются на одну сторону, которая является диаметром.

3. Теорема Птолемея и площадь

Теорема Птолемея. Для вписанного четырёхугольника произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: $d_1\cdot d_2=ac+bd$.
Формула Брахмагупты. Площадь вписанного четырёхугольника: $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, где $p$ — полупериметр.
Как и для любого четырёхугольника, $S=\tfrac12d_1d_2\sin\varphi$, где $\varphi$ — угол между диагоналями.

4. Углы и дуги в окружности

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
Угол между хордами (вершина внутри) равен полусумме дуг, угол между секущими — полуразности дуг.
Угол между хордой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на отсечённую дугу.
Две параллельные прямые высекают на окружности равнобокую трапецию.

5. Хорды, секущие и подобие

Пересекающиеся хорды: $AO\cdot OC=BO\cdot OD$.
Две секущие из одной точки: $OA\cdot OB=OC\cdot OD$.
Касательная и секущая: $OK^2=OA\cdot OB$.
Из этих соотношений получаются пары подобных треугольников: в вписанном четырёхугольнике диагонали (или продолжения сторон) порождают подобные треугольники.

6. В какие четырёхугольники можно описать окружность

Фигура	Можно ли описать окружность
Трапеция	только равнобедренная (равнобокая)
Параллелограмм	только если он — прямоугольник
Прямоугольник	всегда можно
Ромб	только если он — квадрат
Квадрат	всегда можно

Второй признак вписанности: если точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$ и $\angle ACB=\angle ADB$, то точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности.

7. Теоремы синусов и косинусов

Теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R$; с её помощью находят $R$, а также стороны по двум углам и стороне.
Если хорда равна радиусу, то вписанный угол, опирающийся на неё, равен $30^\circ$ (вершина на большей дуге) или $150^\circ$ (на меньшей).
Теорема косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ — для нахождения угла по трём сторонам или стороны по двум сторонам и углу между ними.

Лайфхак 1. Сумма противоположных углов. Как только вы увидели $\angle A+\angle C=180^\circ$, записывайте вписанность — это открывает равенства углов на одну дугу.

Лайфхак 2. Равные углы на одну сторону. Ищите вписанные четырёхугольники по равным углам, опирающимся на одну сторону.

Лайфхак 3. Птолемей и Брахмагупта. Для вписанного четырёхугольника держите наготове $d_1d_2=ac+bd$ и формулу Брахмагупты — они сразу дают диагональ и площадь по сторонам.

Лайфхак 4. Два прямых угла на одну сторону. Если два прямых угла опираются на одну сторону, четырёхугольник вписан, а эта сторона — диаметр описанной окружности.

Разобранные примеры

Пример 1

На стороне $BC$ ромба $ABCD$ отметили точку $M$ такую, что $BM:MC=2:3$, $DB=DM$.
а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен $0{,}8$.
б) На луче $BH$, где $BH$ — высота треугольника $BDM$, отметили такую точку $P$, что около четырёхугольника $ABPD$ можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности, если $AB=\sqrt{10}$.

Решение

Ответ: $\dfrac{5}{3}$.

Пример 2

Две окружности пересекаются в точках $K$ и $M.$ Из точки $K$ проведены два луча, один из которых пересекает первую окружность в точке $A,$ а вторую — в точке $B.$ Другой луч пересекает первую окружность в точке $C,$ а вторую в — точке $D.$ Известно, что лучи лежат по разные стороны относительно $KM.$ Докажите, что углы $MAB$ и $MCD$ равны.

Решение

Четырёхугольник $AKCM$ — вписанный, поэтому

$∘ ∠MAB = ∠KAM = 180 − ∠KCM$

$PIC$

Так как углы $KCM$ и $MCD$ смежные, то получаем

$∠MAB = 180∘− ∠KCM = ∠MCD$

Источники

«Окружность», методические материалы по планиметрии, nitforyou.com, 2026
«Секретный файл по планиметрии», Школково (shkolkovo.online)
Справочник по планиметрии, Лицей при ТПУ, Томск, 2003
«Планиметрия. Теория», методические материалы, surwiki.admsurgut.ru

У1
Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.
а)  Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.
б)  Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP  =  a, BC  =  b, BQ  =  c.
У2
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиусом 10. Известно, что AB  =  BC  =  CD  =  6.
а)  Докажите,что прямые BC и AD параллельны.
б)  Найдите AD.
У3
Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R  =  27. Известно, что AB  =  BC  =  CD  =  36.
а)  Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б)  Найдите AD.
У4
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Точка F лежит на его стороне AD, причём прямые BF и CD параллельны, и прямые CF и AB параллельны.
а)  Докажите, что отрезки BF и CF разбивают четырёхугольник ABCD на три подобных треугольника.
б)  Известно, что AF  =  1, DF  =  4. Найдите BC.
У5
На стороне острого угла с вершиной A отмечена точка B. Из точки B на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры BC и BD соответственно.
а)  Докажите, что $AC в квадрате плюс CD в квадрате =AD в квадрате плюс DB в квадрате .$
б)  Прямые AC и BD пересекаются в точке T. Найдите отношение $AT:TC,$ если $косинус \angle ABC = дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби .$
У6
В треугольнике ABC известны стороны AB  =  4, AC  =  5 и $BC = корень из: начало аргумента: 61 конец аргумента .$ На его стороне BC вне треугольника (точки A и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой BC) построим равносторонний треугольник BCD.
а)  Докажите, что около четырёхугольника ABDC можно описать окружность.
б)  Найдите расстояние от центра этой окружности до точки пересечения диагоналей четырёхугольника ABDC.
У7
В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке E, лежащей на стороне CD. Известно, что CD : BC  =  3 : 1.
а)  Докажите, что точка E равноудалена от прямых AD и AB.
б)  Найдите отношение площадей треугольников ADE и BCE.
У8
Точка F лежит на меньшей дуге ВС окружности, описанной около квадрата ABCD, причем $\angle FCB = 2 умножить на \angle FBC.$ Прямая AF пересекает сторону ВС в точке Т, а диагональ BD  — в точке О.
а)  Докажите, что ТО  =  ТС.
б)  Найдите длину стороны квадрата, если ВО  =  1.
У9
Дана трапеция АВСD с основаниями ВС и АD. Точки М и N  — середины сторон АВ и СD соответственно. Окружность, проходящая через вершины А и D, пересекает отрезок ВМ в точке L, а отрезок CN – в точке K (L и K отличны от концов отрезков ВМ и CN).
а)  Докажите, что точки В, С, K, L лежат на одной окружности.
б)  Найдите KN, если известно, что АK и ВK перпендикулярны, AB  =  25, BC  =  6, CD  =  22, AD  =  19.
У10
Окружность проходит через вершины A и B параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно и касается стороны CD.
а)  Докажите, что точки C, D, M и N лежат на одной окружности.
б)  Найдите длину отрезка AD, зная, что BM = a, MD = b, NC = c.
У11
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиусом 8. Известно, что AB = BC = CD = 12.
а)  Докажите,что прямые BC и AD параллельны.
б)  Найдите AD.
У12
На стороне острого угла с вершиной A отмечена точка B. Из точки B на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры BC и BD соответственно.
а)  Докажите, что $AC в квадрате плюс CD в квадрате =AD в квадрате плюс DB в квадрате .$
б)  Прямые AC и BD пересекаются в точке T. Найдите отношение $AT:TC,$ если $косинус \angle ABC = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби .$
У13
В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Известно, что около четырехугольника $AMNC$ можно описать окружность.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.
б) На стороне $AC$ отмечена точка $F$, такая что $\angle AFB=135^{\circ}$. Отрезок $BF$ пересекает отрезок $MN$ в точке $E$. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $AMNC$, если $\angle ABC=120^{\circ}$ и $EF=6\sqrt{2}$.
У14
Одна из сторон треугольника равна $√- 2,$ прилежащие к этой стороне углы равны $∘ 75$ и $∘ 60 .$ Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов.
У15
Точки пересечения биссектрис углов трапеции образуют четырехугольник, как показано на рисунке. Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность.

$PIC$
У16
Отрезок $AB$ является диаметром окружности, а точка $C$ лежит вне окружности. Отрезки $AC$ и $BC$ пересекаются с окружностью в точках $D$ и $M$ соответственно. Найдите угол $CBD,$ если площади треугольников $DCM$ и $ABC$ относятся как $1:4.$ Ответ дайте в градусах.
У17
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $AC$ — ее диаметр. Пусть $K$ и $M$ — проекции вершин $A,C$ на диагональ $BD$ соответственно. Через точку $K$ проведена прямая, параллельная $BC$ и пересекающая $AC$ в точке $P.$ Докажите, что $∘ ∠KP M = 90 .$
У18
Равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 3 вписан в окружность. Точка $D$ лежит на окружности, причём хорда $AD$ равна $√- 3.$ Найдите хорды $BD$ и $CD.$
У19
Медианы $AL$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $K.$ Найдите длину отрезка $CK,$ если $√- AB = 3$ и известно, что вокруг четырехугольника $KLCM$ можно описать окружность.
У20
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AM$ и $CN,$ а $Q$ — середина стороны $AC.$ При этом $∠MQN = 60∘.$ Найдите угол $B$ треугольника $ABC.$ Ответ дайте в градусах.
У21
Четырехугольник $ABCD$ со сторонами $BC = 4$ и $AB = CD = 10$ вписан в окружность радиусом $R = 10.$
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD.$
У22
Точки $A, B, C, D$ и $E$ лежат на окружности в указанном порядке, причем $BC =CD = DE,$ а $AC ⊥ BE.$ Точка $K$ — пересечение прямых $BE$ и $AD.$ Точка $M$ — пересечение прямых $CE$ и $AD.$
а) Докажите, что $KM = MD.$
б) Найдите площадь треугольника $ABK,$ если $AD =3,$ $√- DE = 2.$
У23
Точки $A,$ $B,$ $C,$ $D$ и $E$ лежат на окружности в указанном порядке, причем $AE = ED = CD,$ а прямые $AC$ и $BE$ перпендикулярны. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $T.$
а) Докажите, что треугольник $CT D$ равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $ABT,$ если $BD = 8,$ $√ - CD =2 2.$
У24
Квадрат $ABCD$ вписан в окружность. Хорда $CE$ пересекает диагональ $BD$ квадрата в точке $K.$
а) Докажите, что $BE ⋅CK = BK ⋅AD.$
б) Найдите отношение $KE :CK,$ если $∘ ∠EBD = 75 .$
У25
В окружность вписан четырехугольник $M N KP$ , причем площади треугольников $M N P$ и $M KP$ равны. Докажите, что треугольник $N OK$ – равнобедренный, если $O$ – точка пересечения отрезков $M K$ и $N P$ .

Д1
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC₁ перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке M, а диаметр DD₁ перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.
а)  Пусть AA₁ также диаметр окружности. Докажите, что $\angle DNM=\angle BA_1D_1.$
б)  Найдите углы четырехугольника ABCD, если CDB вдвое меньше угла ADB.
Д2
Хорды АС и BD пересекаются в точке Т. На хорде ВС отложен отрезок СР, равный AD. Точки Р и D равноудалены от хорды АС, а отрезок ТР перпендикулярен хорде ВС.
а)  Докажите, что площади четырехугольников ABPD и APCD равны.
б)  Найдите эти площади, если площадь треугольника ATD равна трем.
Д3
Дана окружность с центром в точке O и радиусом 5. Точка K делит диаметр AD в отношении 1 : 4 , считая от точки D. Через точку K проведена хорда BC перпендикулярно диаметру AD. На меньшей дуге AB окружности взята точка M.
а)  Докажите, что BM · CM < BA².
б)  Найдите площадь четырёхугольника ACBM, если дополнительно известно, что площадь треугольника BCM равна 24.
Д4
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке E. Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность.
а)  Докажите, что AE · AC  =  AD · AB.
б)  Найдите AE, если известно, что BC  =  7, CE  =  4.
Д5
Четырехугольник ABCD с перпендикулярными диагоналями AC и BD вписан в окружность.
а)  Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей четырехугольника перпендикулярно стороне BC, делит пополам сторону AD.
б)  Найдите стороны четырехугольника ABCD, если известно, что AC  =  84 и BD  =  77, а диаметр окружности равен 85.
Д6
В окружность вписана трапеция, основание AD которой является диаметром, а угол BAD равен 60°. Хорда CE пересекает диаметр AD в точке P так, что $AP : PD = 1 : 3.$
а)  Докажите, что СР делит трапецию на две равновеликие части.
б)  Найдите площадь треугольника ВРЕ, если радиус окружности равен $2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$
Д7
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC,  — в точке M.
а)  Докажите, что треугольник BMC равнобедренный.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KMC, если AC  =  6, BC  =  7, AB  =  8.
Д8
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ AC лежит на биссектрисе угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке K.
а)  Докажите, что треугольники ABC и BKC подобны.
б)  Найдите KC, если DC  =  4, AK  =  6.
Д9
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P.
а)  Докажите, что прямая, проходящая через точку P и середину стороны AD, перпендикулярная стороне BC.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ABCD, если известно, что отрезки диагоналей равны: AP  =  3, BP  =  4, CP  =  8.
Д10
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC₁ перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке M, а диаметр DD₁ перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.
а)  Пусть AA₁ также диаметр окружности. Докажите, что $\angle DNM=\angle A_1D_1D.$
б)  Найдите углы четырехугольника ABCD, если $\angle CDB:\angle ADB=3:8.$
Д11
Дана окружность с центром в точке O и радиусом 5. Точка K делит диаметр AD в отношении 1 : 9, считая от точки D. Через точку K проведена хорда BC перпендикулярно диаметру AD. На меньшей дуге AB окружности взята точка M.
а)  Докажите, что BM · CM < BA².
б)  Найдите площадь четырёхугольника ACBM, если дополнительно известно, что площадь треугольника BCM равна 24.
Д12
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC,  — в точке M.
а)  Докажите, что треугольник BMC равнобедренный.
б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KMC, если AC  =  3, BC  =  8, AB  =  9.
Д13
На серединах сторон $AB,$ $BC$ и $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $C1,$ $A1$ и $B1$ соответственно.
a) Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AB1C1,$ проходит через отличную от $A1$ точку пересечения описанных окружностей треугольников $A1B1C$ и $A1BC1.$
б) Известно, что $AC = AB = 17,$ $BC = 16.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами в центрах вписанных окружностей треугольников $AB C , 1 1$ $A B C 1 1$ и $A BC . 1 1$
Д14
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите площадь треугольника $AMN,$ если площадь треугольника $ABC$ равна $S,$ а угол $BAC$ равен $α.$
Д15
В прямоугольном треугольнике $ABC$ из точки $M$ стороны $AC$ проведен перпендикуляр $M H$ к гипотенузе $AB$ . Докажите, что углы $M HC$ и $M BC$ равны.
Д16
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $∘ 60 ,$ $AM$ и $CN$ — его высоты, а $Q$ — середина стороны $AC.$ Докажите, что треугольник $MNQ$ — равносторонний.
Д17
Докажите, что окружность, проходящая через проекции вершины $D$ параллелограмма $ABCD$ на стороны треугольника $ABC,$ проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
Д18
Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ прямоугольника $ABCD,$ пересекает сторону $BC$ в точке $E,$ а диагональ $AC$ — в точке $F.$ Найдите площадь четырёхугольника $ABEF,$ если $BE = 8,$ $EC = 4,$ а точки $D,$ $F,$ $E$ лежат на одной прямой.
Д19
Отрезок $AB$ является диаметром окружности, а точка $C$ лежит вне окружности. Отрезки $AC$ и $BC$ пересекаются с окружностью в точках $D$ и $M$ соответственно.
Найдите отношение площади треугольника $DCM$ к площади треугольника $ABC,$ если $∠CBD =45∘.$
Д20
В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O,$ а угол $BCA$ равен $22,5∘.$ Точка $P$ лежит вне прямоугольника, а угол $AP B$ равен $135∘.$
а) Докажите, что углы $AP O$ и $ABO$ равны.
б) Прямая $PO$ пересекает сторону $CD$ в точке $F.$ Найдите $CF,$ если $√ - AP = 6 2$ и $BP = 3.$
Д21
На сторонах $AB$ и $CD$ четырехугольника $ABCD,$ около которого можно описать окружность, отмечены точки $K$ и $N$ соответственно. Около четырехугольников $AKND$ и $BCNK$ также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырехугольника $ABCD$ равен $0,6.$
а) Докажите, что прямые $BC$ и $KN$ параллельны.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника $BCNK,$ если радиус окружности, описанной около четырехугольника $ABCD,$ равен 5, $AK :KB = 2:3,$ а $BC < AD$ и $BC =6.$
Д22
На сторонах $AB$ и $CD$ четырехугольника $ABCD,$ около которого можно описать окружность, отмечены точки $K$ и $N$ соответственно. Около четырехугольников $AKND$ и $BCNK$ также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырехугольника $ABCD$ равен $0,8.$
а) Докажите, что прямые $KN$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника $BCNK,$ если радиус окружности, описанной около четырехугольника $ABCD,$ равен $13,$ $AK :KB = 3:5,$ а $BC < AD$ и $BC =10.$
Д23
На сторонах $AB$ и $CD$ четырехугольника $ABCD,$ около которого можно описать окружность, отмечены точки $K$ и $N$ соответственно. Около четырехугольников $AKND$ и $BCNK$ также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырехугольника $ABCD$ равен $0,6.$
а) Докажите, что четырехугольник $ABCD$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника $AKND,$ если радиус окружности, описанной около четырехугольника $ABCD,$ равен 25, $AK :KB = 7:3,$ а $BC < AD$ и $BC =14.$
Д24
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. При этом $M$ — точка пересечения его диагоналей $BE$ и $AD.$ Известно, что $BCDM$ — параллелограмм.
а) Докажите, что две стороны пятиугольника равны.
б) Найдите $AB$ , если известно, что $BE = 15,$ $BC = 6,$ $AD = 12.$
Д25
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, причем $∠ACD = 90∘,$ $∠ACB = ∠BAD,$ $AD = 2,$ $CD = 65.$ Найдите длину отрезка $BC.$