Задание 18 · Планиметрическая задача (доказательство + вычисление)

18.9. Окружности и четырехугольники, разные задачи

Для репетитора: показать ответы

1. Две окружности четырёхугольника: сравнение

	Вписанная окружность (четырёхугольник описанный)	Описанная окружность (четырёхугольник вписанный)
Условие	$a+c=b+d$ (суммы противоположных сторон равны)	$\angle A+\angle C=180^\circ$ (сумма противоположных углов)
Центр	пересечение биссектрис углов	пересечение серединных перпендикуляров к сторонам
Площадь	$S=p\cdot r$	$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$
Диагонали	—	$d_1d_2=ac+bd$ (Птолемей)

Здесь $p$ — полупериметр. Для любого четырёхугольника $S=\tfrac12d_1d_2\sin\varphi$.

2. Какие фигуры допускают окружности

Фигура	Вписать окружность	Описать окружность
Трапеция	только при $a+b=c+d$	только равнобедренная
Параллелограмм	только ромб	только прямоугольник
Ромб	всегда	только квадрат
Прямоугольник	только квадрат	всегда
Квадрат	всегда	всегда

Для квадрата со стороной $a$: $r=\dfrac a2$, $R=\dfrac{a\sqrt2}{2}$.

3. Признаки вписанности

сумма противолежащих углов равна $180^\circ$;
внешний угол равен внутреннему противолежащему;
два угла, опирающиеся на одну сторону, равны (вершины по одну сторону от неё);
$OC\cdot OD=OB\cdot OA$ для отрезков пересекающихся хорд или секущих;
есть точка, равноудалённая от всех вершин;
два прямых угла опираются на одну сторону — она диаметр.

4. Углы, хорды, касательные

Вписанный угол равен половине дуги; вписанные углы на одну дугу равны; угол на диаметр — прямой.
Угол между хордами — полусумма дуг, между секущими — полуразность.
Угол между хордой и касательной равен вписанному на отсечённую дугу.
$AO\cdot OC=BO\cdot OD$ (хорды); $OA\cdot OB=OC\cdot OD$ (секущие); $OK^2=OA\cdot OB$ (касательная и секущая).
Отрезки касательных из одной точки равны; центр лежит на биссектрисе угла между ними.
Если окружность с центром $O$ вписана в $ABCD$, то $\angle AOB+\angle COD=180^\circ$.

5. Связанные факты о четырёхугольниках

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.
Параллелограмм Вариньона: середины сторон любого выпуклого четырёхугольника — вершины параллелограмма.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований; отрезок между серединами диагоналей — полуразности оснований; $S=\dfrac{a+b}{2}h$.
Две параллельные прямые высекают на окружности равнобокую трапецию.
Для прямоугольной трапеции с вписанной окружностью и основаниями $a$, $b$: $r=\dfrac{ab}{a+b}$.
Теорема синусов: $\dfrac a{\sin\alpha}=2R$; теорема косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$.

Лайфхак 1. Определите, какая окружность в задаче. «Вписана в четырёхугольник» — работайте с суммами сторон и биссектрисами; «описана около» — с суммой противоположных углов и вписанными углами.

Лайфхак 2. Ищите вписанные четырёхугольники. По равным углам, опирающимся на одну сторону, или по сумме противолежащих углов $180^\circ$ — это открывает равенства углов и подобные треугольники.

Лайфхак 3. Подобие в окружностях. Касательная и секущая, две секущие, пересекающиеся хорды дают пары подобных треугольников.

Лайфхак 4. Мало данных — координаты или векторы. Если классические теоремы не дают ответа, перейдите к методу координат.

Разобранные примеры

Пример 1

В равнобедренной трапеции ABCD угол BCD  — тупой. Через точку B проведена прямая, параллельная прямой CD и пересекающая прямую AD в точке E. На продолжении BE за точку E отмечена точка F такая, что DE  =  DF.

а)  Докажите, что точки A, F, C и D лежат на одной окружности.

б)  Найдите расстояние от точки C до прямой AF, если BD  =  10 и $косинус \angle ADC=0,6.$

Решение

а)  Заметим, что углы DEF и DFE равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Углы DEF и BEA равны как вертикальные. Углы BEA и CDE равны как соответственные при параллельных прямых, а углы BAE и CDE равны как углы при основании равнобокой трапеции. Значит, углы BAE и DFE равны, поэтому точки A, B, D, F лежат на одной окружности. Но равнобедренная трапеция тоже вписана в окружность. Поэтому точки A, B, C, D, F лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.

б)  Заметим, что BCDF  — равнобедренная трапеция, поскольку она вписана в окружность. Тогда CF  =  BD  =  AC. Углы ADC и CAF равны как опирающиеся на равные хорды (и, соответственно, дуги). Обозначим проекцию точки C на AF как точку G. Тогда искомое расстояние

$CG=AC умножить на синус \angle CAG= BD умножить на синус \angle ADC= 10 умножить на корень из: начало аргумента: 1 минус 0,6 в квадрате конец аргумента =8.$

Ответ: б) 8.

Пример 2

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D.

а)  Докажите, что AE = AK.

б)  Найдите AD, если CE =12 , DK = 2 и $косинус \angle BAD=0,3.$

Решение

a)  Заметим, что $\angleABE=\angleABC=\angleADC=\angleADK$ Значит, хорды окружности AE и AK стягивают равные дуги. Поэтому эти хорды равны.

б)  Поскольку прямые BC и AD параллельны, $\angleEAD=\angleAEB$ , поэтому DE  =  AB  =  DC.

Пусть DM  — медиана равнобедренного треугольника CDE. Тогда

$CD= дробь: числитель: CM, знаменатель: косинус \angleECD конец дроби = дробь: числитель: CE, знаменатель: 2 косинус \angleBAD конец дроби =20 равносильно CK=CD минус DK=18.$

По свойству секущей

$CK умножить на CD=CE умножить на CB равносильно AD=CB= дробь: числитель: CK умножить на CD, знаменатель: CE конец дроби =30.$

Ответ: б) 30.

Источники

«Окружность», методические материалы по планиметрии, nitforyou.com, 2026
«Секретный файл по планиметрии», Школково (shkolkovo.online)
Справочник по планиметрии, Лицей при ТПУ, Томск, 2003
«Планиметрия. Теория», методические материалы, surwiki.admsurgut.ru

У1
Окружность с центром O, расположенном внутри прямоугольной трапеции ABCD, проходит через вершины B и C большей боковой стороны этой трапеции и касается боковой стороны AD в точке T.
а)  Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC.
б)  Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.
У2
Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN  — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN.
а)  Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
б)  Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN  =  6, а ∠LMN  =  120°.
У3
В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая  — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а)  Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что $дробь: числитель: AP, знаменатель: PD конец дроби = синус D.$
б)  Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.
У4
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP : PB  =  CQ : QB  =  CW : WD  =  3 : 4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ  =  16, QW  =  12, угол PWQ  — острый.
а)  Докажите, что треугольник PQW  — прямоугольный.
б)  Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
У5
Окружность с центром О₁ касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O₂ касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ  =  10, ВС  =  9, CD  =  30, AD  =  39.
а)  Докажите, что прямая О₁О₂ параллельна основаниям трапеции АВСD.
б)  Найдите О₁О₂.
У6
Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.
а)  Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной и той же точке.
б)  Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK  =  11, KL  =  10, LB  =  4.
У7
Окружность проходит через вершины $A,B$ и C параллелограмма и пересекает продолжение стороны AD в точке E, а продолжение стороны CD в точке K.
а)  Докажите, что отрезки BE и BK равны.
б)  Найдите отношение KE к AC, если $\angle ABC=135 градусов.$
У8
Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а)  Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б)  Найдите длину отрезка QN, если BC  =  4,5, AD  =  21,5, AB  =  26, CD  =  25, а угол CPD  — прямой.
У9
Точка O  — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а)  Докажите, что $OP=AP.$
б)  Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если $\angle ABC=120 градусов,$ а радиус описанной окружности равен 18.
У10
В прямоугольнике ABCD, в котором $AD=3 плюс дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ а AB  =  6, расположены две окружности. Окружность с центром в точке K, радиус которой равен 2, касается сторон AB и AD. Окружность с центром в точке L, радиус которой равен 1, касается стороны CD и первой окружности.
а)  Докажите, что точки A, K, L лежат на одной прямой.
б)  Найдите площадь треугольника CLM, если M  — основание перпендикуляра, опущенного из вершины B на прямую, проходящую через точки K и L.
У11
В четырехугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин  — точка О.
а)  Докажите, что около четырехугольника АBCD можно описать окружность.
б)  Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник ABCD, если AC  =  10 и BD  =  26.
У12
В окружности с центром O построен квадрат KOFD так, что его вершина D лежит на окружности. Из точки B, диаметрально противоположной точке D, проведены две хорды АВ и ВC, проходящие через вершины K и F квадрата соответственно.
а)  Докажите, что $AK : KB = 1 : 5.$
б)  Найдите площадь четырехугольника ABCD, если радиус окружности равен 5.
У13
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке L, а окружность с диаметром AC пересекает основание AD в точке K. Отрезки AL и CK пересекаются в точке M.
а)  Докажите, что точка M лежит на диагонали BD трапеции ABCD.
б)  Найдите расстояние от точки M до боковой стороны AB, если BC  =  4, AD  =  28.
У14
Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведен перпендикуляр CH.
а)  Докажите, что треугольники CBK и CHP подобны.
б)  Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH  =  7.
У15
В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD $левая круглая скобка BC меньше AD правая круглая скобка$ окружности, вписанные в треугольники АВС и ACD, делят диагональ АС в отношении 2 : 1 : 1, считая от точки А.
а)  Докажите, что одно из оснований трапеции равно боковой стороне.
б)  Найдите отношение, в котором диагональ АС делит площадь трапеции.
У16
В прямоугольнике ABCD точка K делит сторону АВ в отношении АK : KВ  =  2 : 1, DK пересекает АС в точке Р. На стороне AD отмечена точка Т так, что РТ касается окружности, вписанной в треугольник ACD, а около четырёхугольника PCDT можно описать окружность.
а)  Докажите, что AT : TD  =  5 : 3
б)  Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник PCDT, если АВ  =  3.
У17
Окружность с центром О, расположенном внутри прямоугольной трапеции ABCD, проходит через вершины В и С большей боковой стороны этой трапеции и касается боковой стороны AD в точке K. При этом отрезок АВ пересекает окружность в точке Т.
а)  Докажите, что $\angle KCB = \angle AKB.$
б)  Найдите AB, если перпендикуляр KH к стороне BC равен 10, а DC  =  25.
У18
В квадрате ABCD построена окружность с центром в точке А, радиусом, равным стороне квадрата, и окружность с центром в точке С, радиусом, равным половине стороны квадрата. Окружности пересекаются в точках М и N.
а)  Докажите, что прямая MN делит сторону ВС в отношении 3 : 5, считая от точки В.
б)  Найдите площадь четырёхугольника AMCN, если площадь квадрата равна 8.
У19
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q  — середина CD.
а)  Докажите, что четырёхугольник DQOH  — параллелограмм.
б)  Найдите AD, если ∠BAD = 75° и BC = 1.
У20
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP : PB  =  CQ : QB  =  CW : WD  =  1 : 4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW  =  12, угол PWQ  — острый.
а)  Докажите, что треугольник PQW  — прямоугольный.
б)  Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
У21
Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.
а)  Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной и той же точке.
б)  Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK  =  15, KL  =  6, LB  =  5.
У22
Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а)  Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б)  Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB  =  21, BC  =  4, CD  =  20, AD  =  17.
У23
В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин  — точка O.
а)  Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность.
б)  Найдите радиус вписанной окружности, если AC  =  12, BD  =  13.
У24
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC и AD. На стороне AB как на диаметре построена окружность с центром в точке O, касающаяся стороны CD и повторно пересекающая основание AD в точке H. Точка Q  — середина стороны CD.
а)  Докажите, что OQDH  — параллелограмм.
б)  Найдите AD, если ∠BAD  =  60°, BC  =  2.
У25
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении
$AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 1 : 3.$
В треугольнике PQW угол W острый, радиус описанной вокруг него окружности равен  $дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ,$ $PQ = 2,$ $QW = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$
а)  Докажите, что треугольник PQW  — прямоугольный.
б)  Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Д1
Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, касается боковой стороны MN и второй раз пересекает большее основание KN в точке H, точка Q  — середина MN.
а)  Докажите, что четырёхугольник NQOH  — параллелограмм.
б)  Найдите KN, если $\angle LKN = 75 градусов$ и LM  =  1.
Д2
Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.
а)  Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
б)  Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит её на отрезки, равные 2 и 50.
Д3
Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка  P лежит между точками D и Q. Прямая  BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.
а)  Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.
б)  Известно, что CM  =  17 и CD  =  25. Найдите сторону AD.
Д4
В трапеции АBCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании АD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точке C и M.
а)  Докажите, что угол BАM равен углу CАD.
б)  Диагонали трапеции АBCD пересекаются в точке O.
Найдите площадь треугольника АOB, если АB  =  6, а BC  =  4BM.
Д5
Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD и пересекает BC и CD в точках E и K соответственно.
а)  Докажите, что отрезки AE и AK равны.
б)  Найдите AD, если CE  =  48, DK  =  20, $косинус \angleBAD\nbsp=\nbsp0,4.$
Д6
Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D.
а)  Докажите, что AE  =  AK.
б)  Найдите AD, если CE  =  10 , DK  =  9 и $косинус \angle BAD=0,2.$
Д7
Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Около треугольника KLN описана окружность, прямые LM и MN  — касательные к этой окружности.
а)  Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
б)  Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN  =  3, а $\angle$ LMN  =  120°.
Д8
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N  — середины сторон AB и CD соответственно. Окружность проходит через точки B и C и пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезка, соответственно.
а)  Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б)  Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB  =  15, BC  =  1, CD  =  17, AD  =  9.
Д9
В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин  — точка O.
а)  Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
б)  Найдите радиус вписанной окружности, если AC  =  10, BD  =  26.
Д10
Сторона AB квадрата ABCD равна 1 и является хордой некоторой окружности, причем остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной CK, проведенной из вершины C к этой окружности, равна 2.
а)  Докажите, что длина отрезка, соединяющего центр квадрата и центр окружности равна длине отрезка CK.
б)  Найдите диаметр окружности.
Д11
B прямоугольнике ABCD на стороне AB как на диаметре построена окружность C центром О. Отрезок OD пересекает окружность в точке М. Известно, что $дробь: числитель: D M, знаменатель: A B конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби .$
а)  Докажите, что стороны прямоугольника относятся как 5 : 2.
б)  Найдите MC, если известно, что $A M= корень из: начало аргумента: 2 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента конец дроби конец аргумента .$
Д12
Диагональ трапеции делит ее на два подобных прямоугольных треугольника, в каждый из которых вписана окружность.
а)  Докажите, что произведение оснований трапеции равно квадрату этой диагонали.
б)  Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в эти треугольники, если основания трапеции равны 9 и 25.
Д13
Два квадрата ABCD и AMNK с периметрами соответственно 20 и 24 располагают в круге так, что точки C, D, M, N лежат на окружности, A  — общая, B и K внутри круга, угол ВАK  — острый.
а)  Докажите, что угол BAK равен $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$
б)  Найдите площадь круга.
Д14
В прямоугольной трапеции ABCD к большей боковой стороне ВС построен перпендикуляр, пересекающий ВС и AD в точках F и N соответственно. Окружность, описанная около треугольника ABN проходит через T  — точку пересечения DF и NC, а окружность, описанная около треугольника DNC проходит через Р  — точку пересечения АТ и BN. Угол NAT равен 18°.
а)  Докажите, что PF параллельна AB.
б)  Найдите PT, если $AB = корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 1.$
Д15
Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K.
а)  Докажите, что AE  =  AK.
б)  Найдите отношение KE : BD, если $\angle BAD = 60 градусов.$
Д16
Окружность проходит через вершины C и D ромба ABCD и касается стороны AB, а также пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно, причем BN : CN  =  4 : 5.
а)  Докажите, что AM : MD  =  1 : 8.
б)  Найдите CM, если сторона ромба равна 9.
Д17
Из точки М вне окружности проведены касательные и секущая, причем точки касания и точки пересечения секущей с окружностью являются вершинами некоторой трапеции. Угол между касательными равен 60°.
а)  Докажите, что диагональ трапеции равна отрезку касательной от точки М до точки касания.
б)  Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему.
Д18
В квадрате KLMN точка D  — середина стороны KL, точка E  — середина отрезка DM. На стороне KN отмечена точка B так, что KB : BN  =  1 : 3.
а)  Докажите, что $\angle DBE = 45 градусов.$
б)  Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BDE и BMD, если площадь четырехугольника BEMN равна 17.
Д19
Точка O  — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I  — центр вписанной в него окружности, H  — точка пересечения высот. Известно, что $\angle BAC=\angle OBC плюс \angle OCB.$
а)  Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б)  Найдите угол OIH, если $\angle ABC=55 градусов.$
Д20
Окружность с центром О₁ касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O₂ касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ  =  30, ВС  =  24, CD  =  50, AD  =  74.
а)  Докажите, что прямая О₁О₂ параллельна основаниям трапеции АВСD.
б)  Найдите О₁О₂.
Д21
Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Около треугольника KLN описана окружность, прямые LM и MN  — касательные к этой окружности.
а)  Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
б)  Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN  =  6, а $\angle$ LMN  =  120° .
Д22
Точка O  — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а)  Докажите, что OP  =  CP.
б)  Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если расстояние от точки P до прямой AC равно 24, $\angle ABC = 60 градусов.$
Д23
Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведен перпендикуляр CH.
а)  Докажите, что треугольники CKH и CPD подобны.
б)  Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH  =  8.
Д24
Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN  — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN.
а)  Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
б)  Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN  =  6, а ∠LMN  =  120°.
Д25
Точка O  — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а)  Докажите, что OP  =  CP.
б)  Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если расстояние от точки P до прямой AC равно 12, $\angle ABC = 60 градусов.$

	Вписанная окружность (четырёхугольник описанный)	Описанная окружность (четырёхугольник вписанный)
Условие	\(a+c=b+d\) (суммы противоположных сторон равны)	\(\angle A+\angle C=180^\circ\) (сумма противоположных углов)
Центр	пересечение биссектрис углов	пересечение серединных перпендикуляров к сторонам
Площадь	\(S=p\cdot r\)	\(S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\)
Диагонали	—	\(d_1d_2=ac+bd\) (Птолемей)

Фигура	Вписать окружность	Описать окружность
Трапеция	только при \(a+b=c+d\)	только равнобедренная
Параллелограмм	только ромб	только прямоугольник
Ромб	всегда	только квадрат
Прямоугольник	только квадрат	всегда
Квадрат	всегда	всегда