Задание 19 · Задача с параметром

19.10. Аналитическое решение систем

Для репетитора: показать ответы

1. Что значит исследовать систему с параметром

В системе с параметром обычно спрашивают, при каких значениях $a$ система имеет ровно одно решение, ровно два решения, не имеет решений или имеет решение с определённым свойством. Каждое уравнение двух переменных задаёт линию на плоскости, а решения системы — общие точки этих линий. Аналитический путь — преобразовать систему так, чтобы вопрос свёлся к одному уравнению или к простым условиям на параметр.

2. Сумма и произведение: обратная теорема Виета

Если известны сумма и произведение двух чисел, то эти числа — корни квадратного уравнения. Для системы $\begin{cases}x^2+y^2=A\\ x+y=B\end{cases}$ находим $xy=\tfrac12(B^2-A)$, а затем $x$ и $y$ — корни уравнения $p^2-Bp+\tfrac12(B^2-A)=0$. Единственность решения системы равносильна единственности корня этого квадратного уравнения.

Полезные выражения: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ и $|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt D}{|a|}$.

3. Выделение полных квадратов

Если уравнения квадратичны по обеим переменным, выделите полные квадраты и посмотрите, какая фигура получилась. Например, уравнение $(x+1)^2+(y+1)^2=(a+1)^2$ задаёт окружность с центром $(-1;-1)$ и радиусом $a+1$ при $a\ge-1$. Дальше система превращается в вопрос о взаимном расположении окружностей, окружности и прямой и т. п.

Уравнение $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=g(a)$: при $g(a)<0$ решений нет, при $g(a)=0$ — одна точка (проверьте её во втором уравнении), при $g(a)>0$ — окружность радиуса $\sqrt{g(a)}$.
Уравнение $A(x-x_0)^2+B(y-y_0)^2=C$ при $A,B,C>0$ заменой $x'=\sqrt A\,x$, $y'=\sqrt B\,y$ сводится к окружности.

4. Равносильные преобразования с условиями

При преобразовании системы следите за ограничениями. Например, если уравнение рассматривается при условии $x+y+1\ge0$, то после преобразования, в котором это условие уже выполняется, проверка второго неравенства может не потребоваться. Раскрывая модуль в системе, записывайте его как совокупность систем и анализируйте каждую.

5. Касание окружностей и прямой

Две окружности (центры $O_1,O_2$, радиусы $R_1,R_2$) имеют одну общую точку, если $O_1O_2=|R_1-R_2|$ или $O_1O_2=R_1+R_2$.
Прямая касается окружности, если расстояние от центра до прямой равно радиусу: $\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=R$.
Касание можно определять и через дискриминант $D=0$ квадратного уравнения, полученного подстановкой.

6. Общие корни и замены

Общие корни двух уравнений $f(x,a)=0$, $g(x,a)=0$ находим из системы этих уравнений; число решений системы равно числу общих корней.
Замена переменной упрощает систему. Следите, чтобы замена сохраняла ОДЗ и все значения новой переменной давали решения исходной системы; число решений по новой переменной переводите в число решений по старой.
Если замена взаимно однозначна (как $t=\log_5x$), число решений не меняется.

7. Симметрия и единственность

Если система не меняется при преобразовании переменных, то решения возникают парами; единственное решение возможно только в «неподвижной» точке преобразования (для чётности по $x$ — при $x=0$). Это необходимое условие: найденные значения параметра нужно проверять, решив систему или оценив обе части.

8. Алгоритм

Найдите ОДЗ и особые значения параметра (при которых вид системы меняется).
Упростите систему: выразите одну переменную, выделите квадраты, введите замену или перейдите к сумме и произведению.
Определите, какой объект задаёт каждое уравнение, или сведите систему к одному уравнению с параметром.
Выпишите условия на параметр для нужного числа решений ($D=0$, касание, совпадение корней, исключённые точки).
Проверьте найденные значения подстановкой и запишите ответ.

Лайфхак 1. Сумма и произведение вместо подстановки. Для систем вида $x+y=B$, $x^2+y^2=A$ переходите к уравнению $p^2-Bp+xy=0$: исследовать одно квадратное уравнение проще, чем систему.

Лайфхак 2. Квадрат радиуса. Если «радиус» зависит от параметра, проверьте три случая: отрицательный квадрат — решений нет, нуль — точка, положительный — окружность.

Лайфхак 3. Единственность — симметрия, касание, $D=0$. Для условия «ровно одно решение» проверьте симметрию, касание линий, дискриминант и совпадение корней.

Лайфхак 4. Подставьте ответ. Проверка найденных значений параметра подстановкой в систему исключает потерю и приобретение лишних значений.

Разобранные примеры

Пример 1

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате плюс 5=2 левая круглая скобка 2x плюс y правая круглая скобка , a в квадрате плюс ax плюс 2ay=5 конец системы .$

имеет решения.

Решение

Преобразуем первое уравнение системы:

$x в квадрате минус 4x плюс 4 плюс y в квадрате минус 2y плюс 1=0 равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0.$

Данное уравнение имеет только одно решение: $x=2,$ $y=1.$ Подставим данные значения во второе уравнение системы:

$a в квадрате плюс 4a минус 5=0.$

Следовательно, $a= минус 5,$ $a=1.$

Ответ: $a= минус 5,$ $a=1.$

Пример 2

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =4 плюс 2ax минус a в квадрате ,x в квадрате =y в квадрате конец системы .$

имеет ровно 4 решения.

Решение

Преобразуем систему

$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =4 плюс 2ax минус a в квадрате ,x в квадрате =y в квадрате конец системы . равносильно система выражений 2x в квадрате минус 2ax минус 4 плюс a в квадрате =0,y=\pm x. конец системы .$

Заметим, что если $x_1$ является корнем первого уравнения системы, то решениями системы являются две пары чисел $левая круглая скобка x_1; x_1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка x_1; минус x_1 правая круглая скобка .$ Значит, система будет иметь ровно 4 решения тогда и только тогда, когда дискриминант первого уравнения положителен, и $x=0$ не является корнем первого уравнения. Получаем:

$система выражений a в квадрате минус 2 левая круглая скобка a в квадрате минус 4 правая круглая скобка больше 0, минус 4 плюс a в квадрате не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a в квадрате меньше 8,a в квадрате не равно 4 конец системы . равносильно система выражений минус 2 корень из 2 меньше a меньше 2 корень из 2 ,a не равно \pm2 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 2 корень из 2 меньше a меньше минус 2, минус 2 меньше a меньше 2, 2 меньше a меньше 2 корень из 2 . конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 2 корень из 2 ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 2 корень из 2 правая круглая скобка .$

Источники

«Параметр. Шпаргалка» (задания с параметром), Школково (shkolkovo.online)
Материалы А. В. Шевкина по задачам с параметрами, brodovo19.uralschool.ru
«Особенности решения задания 18 высокого уровня сложности ЕГЭ», методические материалы, wiki.admsurgut.ru
«Задача 18. Параметры», материалы интенсива, bank-zadach.ru
Борщакова Е. Н., презентация к заданию 18 ЕГЭ, iro23.ru, 2025

У1
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
$система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс |y| минус 15=0, новая строка x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка =2 левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец системы .$
имеет ровно $6$ решений.
У2
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
$система выражений ax в квадрате плюс ay в квадрате минус левая круглая скобка 2a минус 5 правая круглая скобка x плюс 2ay плюс 1=0,x в квадрате плюс y=xy плюс x конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
У3
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
$система выражений ax в квадрате плюс ay в квадрате минус левая круглая скобка 4a минус 6 правая круглая скобка x плюс 4ay плюс 1=0,x в квадрате плюс y=xy плюс x конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
У4
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений x в степени 4 плюс y в квадрате =a в квадрате ,x в квадрате плюс y=|2a минус 4| конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
У5
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс |y| минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x плюс y в квадрате плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 2 конец дроби =0, y= корень из: начало аргумента: a минус 5 конец аргумента умножить на x конец системы .$
имеет ровно два различных решения.
У6
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений x в степени 4 плюс y в квадрате =a в квадрате , x в квадрате плюс y=|a плюс 1| конец системы .$
имеет ровно четыре решения.
У7
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 36 минус y в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 36 минус a в квадрате x в квадрате правая круглая скобка , x в квадрате плюс y в квадрате =2x плюс 6y конец системы .$
имеет ровно два различных решения.
У8
Найдите все положительные значения параметра a, при которых система
$система выражений корень из: начало аргумента: 2x минус x в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 2ay минус a в квадрате y в квадрате конец аргумента ,y=x в квадрате .$ конец системы .$
имеет ровно 3 решения.
У9
Найдите все значения а, при которых система уравнений
$система выражений |x минус 1| плюс |x плюс 1| минус 2y=0,x в квадрате плюс y в квадрате минус 2ay плюс 2a=1 конец системы .$
имеет ровно три различных решения.
У10
Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
$система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 7x плюс 4y минус 11 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс y минус 3 правая круглая скобка плюс 1, левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка в квадрате плюс x плюс y плюс a=7 конец системы .$
имеет ровно два решения.
У11
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
$система выражений дробь: числитель: 9, знаменатель: корень из: начало аргумента: x плюс a конец аргумента конец дроби плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: корень из: начало аргумента: y минус a конец аргумента конец дроби меньше или равно 22 минус корень из: начало аргумента: x плюс a конец аргумента минус 4 корень из: начало аргумента: y минус a конец аргумента ,2 в степени левая круглая скобка x минус 11 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус y правая круглая скобка =1 конец системы .$
имеет решения.
У12
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
$система выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби конец аргумента плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x a конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби =x в квадрате плюс дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби плюс дробь: числитель: x a, знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: x a, знаменатель: 4 конец дроби умножить на левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: x a, знаменатель: 4 конец дроби минус x в квадрате минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби плюс 1 больше или равно 0 конец системы .$
имеет хотя бы одно решение.
У13
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
$система выражений левая круглая скобка xy минус x плюс 8 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: y минус x плюс 8 конец аргумента =0y=2x плюс a конец системы .$
система уравнений имеет ровно 2 решения.
У14
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений косинус x = синус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 4 минус 7a в квадрате конец аргумента умножить на x правая круглая скобка , синус x = левая круглая скобка 3a минус 0,5 правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 4 минус 7a в квадрате конец аргумента умножить на x правая круглая скобка конец системы .$
имеет ровно одно решение на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У15
При каждом значении а решите систему $система выражений новая строка 6x в квадрате плюс 17xy плюс 7y в квадрате =a в степени 4 , новая строка \log _2x плюс y левая круглая скобка 3x плюс 7y правая круглая скобка =3. конец системы .$
У16
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений левая круглая скобка x плюс ay минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс ay минус 4a правая круглая скобка =0,x в квадрате плюс y в квадрате =9 конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
У17
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений новая строка y= левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка x в квадрате плюс 2ax плюс a минус 1 новая строка y в квадрате =x в квадрате конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
У18
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений a левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка минус ax плюс левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка y плюс 1=0,xy минус 1=y минус x конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
У19
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате плюс 10=2 левая круглая скобка x плюс 3y правая круглая скобка , a в квадрате плюс 2ax плюс ay= минус 6 конец системы .$
имеет решения.
У20
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
$система выражений левая круглая скобка xy минус x плюс 7 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: y минус x плюс 7 конец аргумента =0y=3x плюс a конец системы .$
система уравнений имеет ровно 2 решения.
У21
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система $система выражений новая строка x в квадрате плюс 12x плюс |y| плюс 27=0, новая строка x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка = минус 12 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка конец системы .$ имеет ровно 4 решения.
У22
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система $система выражений новая строка x в квадрате минус 8x плюс |y| плюс 12=0, новая строка x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка =8 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец системы .$ имеет ровно 8 решений.

Д1
При каждом значении а решите систему $система выражений новая строка 6x в квадрате плюс 17xy плюс 7y в квадрате =a, новая строка \log _2x плюс y левая круглая скобка 3x плюс 7y правая круглая скобка =3. конец системы .$
Д2
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате минус 4 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка x минус 2ay плюс 5a в квадрате плюс 8a плюс 3=0,y в квадрате =x в квадрате конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
Д3
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
$система выражений x в степени 4 плюс y в квадрате =a в квадрате ,x в квадрате плюс y=|5a минус 12| конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
Д4
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
$левая фигурная скобка \beginaligned новая строка y= левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x в квадрате плюс 2ax плюс a минус 2, новая строка y в квадрате =x в квадрате . \endaligned .$
имеет ровно четыре различных решения.
Д5
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка y плюс 2=0,xy минус 1=x минус y конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
Д6
Найдите все значения параметра a, при которых система
$система выражений корень из: начало аргумента: 4 минус y в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 4 минус 4x в квадрате конец аргумента , xy плюс a в квадрате =ax плюс ay. конец системы .$
имеет ровно 2 решения.
Д7
Найдите все значения параметра a, при которых система
$система выражений корень из: начало аргумента: 16 минус y в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 16 минус левая круглая скобка ax правая круглая скобка в квадрате конец аргумента ,x в квадрате плюс y в квадрате = 8x плюс 4y конец системы .$
имеет ровно два различных решения.
Д8
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =2x плюс 2y,x в квадрате плюс y в квадрате =2 левая круглая скобка 1 плюс a правая круглая скобка x плюс 2 левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка y минус 2a в квадрате конец системы .$
имеет ровно два различных решения.
Д9
Найдите все значения параметра а, при которых система неравенств
$система выражений y больше или равно x в квадрате минус ax плюс 2,y меньше или равно x плюс a конец системы .$
имеет ровно одно решение.
Д10
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
$система выражений x плюс корень из: начало аргумента: y минус a минус 3 конец аргумента =0,y в квадрате минус x в квадрате = левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс a плюс 1 правая круглая скобка конец системы .$
имеет ровно два решения.
Д11
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
$система выражений x в квадрате минус 2xy минус 3y в квадрате =8,2x в квадрате плюс 4xy плюс 5y в квадрате =a в степени 4 минус 4a в кубе плюс 4a в квадрате минус 12 плюс корень из: начало аргумента: 105 конец аргумента конец системы .$
имеет хотя бы одно решение.
Д12
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
$система выражений \left|y плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе | минус |y плюс 4 x|=2 y плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс 4 x, | минус y минус 4 x плюс 1| минус \left|y плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе минус a плюс 1|= минус 3 y минус 8 x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс a плюс 1 конец системы .$
имеет единственное решение.
Д13
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений 4x минус y плюс a = 0, |y| минус x в квадрате плюс 2x = 0 конец системы .$
имеет два решения.
Д14
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система $система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс |y| минус 15=0, новая строка x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2a правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2a правая круглая скобка =2 левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец системы .$ имеет ровно $6$ решений.
Д15
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений ax в квадрате плюс ay в квадрате плюс 2ax плюс левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка y плюс 1 = 0, xy плюс 1 = x плюс y конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
Д16
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений x в степени 4 плюс y в квадрате =a в квадрате ,x в квадрате плюс y=|4a минус 3| конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
Д17
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка |y| минус x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс y в квадрате плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 2 конец дроби =0, y= корень из: начало аргумента: a минус 3 конец аргумента умножить на x конец системы .$
имеет ровно два различных решения.
Д18
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений x в степени 4 плюс y в квадрате =a в квадрате минус 1, x в квадрате минус y=|a минус 1| конец системы .$
имеет ровно четыре решения.
Д19
Найдите все положительные значения параметра a, при которых система
$система выражений корень из: начало аргумента: 4x минус x в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 4ay минус a в квадрате y в квадрате конец аргумента ,y=x в квадрате конец системы .$
имеет ровно три различных решения.
Д20
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений 4 x минус y плюс a = 0, 2 |y| минус x в квадрате плюс 4 x = 0. конец системы .$
имеет два решения.
Д21
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате плюс 2 левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка x минус 4ay плюс 5a в квадрате минус 6a=0,y в квадрате =x в квадрате конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
Д22
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений левая круглая скобка x плюс ay минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс ay минус 5a правая круглая скобка =0,x в квадрате плюс y в квадрате =16 конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.