Задание 19 · Задача с параметром

19.11. Координаты (x, a)

Для репетитора: показать ответы

1. Идея метода

В обычном графическом методе строят графики в плоскости $Oxy$: например, $y=f(x)$ и $y=g(x,a)$, где параметр «двигает» один из графиков. В методе координатной плоскости $(x;a)$ параметр рассматривают как вторую координату: на плоскости $xOa$ строят множество $S$ всех пар $(x;a)$, удовлетворяющих условию. Тогда каждому значению параметра $a=a_0$ соответствует горизонтальная прямая, а решения при этом $a_0$ — это абсциссы её точек пересечения с $S$.

Ответ: все $a_0$, при которых горизонталь $a=a_0$ пересекает множество $S$ нужное число раз (или нужным образом: хотя бы раз, ровно в двух точках и т. д.). Количество решений при каждом $a$ равно количеству таких точек пересечения.

2. Когда метод особенно удобен

Метод удобен, когда параметр легко выражается через $x$: уравнение приводится к виду $a=f(x)$ (или $F(x,a)=0$ даёт простые кривые), а также когда на плоскости $Oxy$ пришлось бы строить сложное семейство кривых.

3. Алгоритм для уравнения

Запишите условие и найдите ОДЗ (знаменатели, подкоренные выражения).
Перепишите уравнение так, чтобы выделялась зависимость между $x$ и $a$: чаще всего в виде $a=f(x)$. Выделите полные квадраты или раскройте модули.
Постройте график в плоскости $xOa$.
Найдите особые точки: пересечения кривых, точки касания, вершины.
Исключите значения, при которых знаменатель обращается в нуль (выколотые точки).
Проведите горизонтали $a=\text{const}$ и подсчитайте число пересечений при разных $a$.
Запишите ответ с учётом выколотых точек и граничных случаев.

4. Метод областей для неравенств

Запишите условие как семейство кривых в плоскости $(x;a)$.
Постройте кривые, на которых выражения под модулем или множители обращаются в нуль.
Определите знак выражения в каждой из полученных областей.
Отметьте области, где неравенство выполняется.
Проводите горизонтали $a=\text{const}$ и смотрите, какие участки оси $x$ попадают в отмеченные области.

5. Приёмы построения

Раскрытие модуля. Модуль раскрывают через совокупность систем; затем каждую систему рассматривают в плоскости $xOa$. Прямые, на которых подмодульные выражения равны нулю, делят плоскость на области, и в каждой области уравнение задаёт часть параболы, окружности или прямой.
Дробь равна нулю — когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Общие точки числителя и знаменателя исключаются из ответа.
Касание. Единственное решение возникает, когда горизонталь касается кривой (проходит через вершину параболы, через точку экстремума) или проходит через «выколотую» точку. Касание кривой можно проверить через дискриминант.
Симметрия. Если кривая симметрична, можно построить половину: например, при симметрии относительно начала координат решения встречаются парами $(x_0;a_0)$ и $(-x_0;-a_0)$.
Подстановка граничных точек. Координаты точек пересечения кривых подставляют в уравнение горизонтали, чтобы получить критические значения параметра.

6. Метод сечений и классические кривые на $xOa$

Уравнение $F(x,a)=0$ можно рассматривать как зависимость $a$ от $x$. Для каждого фиксированного $x$ получаем прямую, параллельную оси $a$; для каждого фиксированного $a$ — горизонталь. Часто встречаются:

прямая $a=kx+b$, парабола $a=px^2+qx+r$, гипербола $a=\dfrac{k}{x+m}+n$;
окружность $(x-x_0)^2+(a-a_0)^2=R^2$ (после выделения полных квадратов);
«уголок» $a=k|x-x_0|+a_0$, «корыто», ломаные из отрезков.

7. Плюсы и минусы графического подхода

Плюсы: видно, как параметр влияет на решение; рисунок помогает сформулировать необходимые и достаточные условия.
Минусы: вопрос строгости. Если результат вызывает сомнения, подтвердите его аналитически.

Лайфхак 1. Выразите $a$ через $x$. Если параметр входит в уравнение «просто» (линейно), перепишите уравнение как $a=f(x)$ и стройте график функции $f$; число решений равно числу пересечений с горизонталью $a=\text{const}$.

Лайфхак 2. Не забывайте выколотые точки. Точки, где знаменатель равен нулю или нарушена ОДЗ, исключаются из графика, и значения $a$ в них часто надо выкидывать из ответа.

Лайфхак 3. Критические значения — вершины, касания, пересечения. Подставьте координаты характерных точек в уравнение горизонтали — получите значения параметра на границах промежутков ответа.

Лайфхак 4. Графическое решение подтверждайте. Графический метод уместен, когда спрашивают о количестве решений или о значениях параметра для нуля/одного решения; сомнительные места подтверждайте аналитически.

Разобранные примеры

Пример 1

Найдите все значения параметра $a$, при каждом их которых система $\begin{cases}|x-a|+|y|=2,\\ y=\sqrt{4-x^2}\end{cases}$ имеет ровно одно решение.

Решение

Из второго уравнения $y\ge0$, поэтому первое уравнение принимает вид $|x-a|+y=2$. Кроме того, $x^2+y^2=4$.
Разобьём по знаку $x-a$.
При $x\le a$: $y=2-a+x$, и после подстановки в окружность получаем
$2x^2+(4-2a)x+a^2-4a=0$, причём нужно учитывать $x\le a$ и $y\ge0$.
При $x\ge a$: $y=2+a-x$, откуда
$2x^2-2(a+2)x+a^2+4a=0$, причём $x\ge a$ и $y\ge0$.
Для $a\ge0$ последовательный учёт дискриминантов и указанных ограничений даёт ровно одно допустимое решение при
$2\sqrt{2}-2<a\le4$.
Система инвариантна при замене $(x,a)\mapsto(-x,-a)$, поэтому для $a\le0$ получаем симметричный промежуток
$-4\le a<2-2\sqrt{2}$.
Ответ: $[-4,2-2\sqrt{2})\cup(-2+2\sqrt{2},4]$

Пример 2

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

$({ y2− xy− 7y+ 4x+ 12 ---√x-+-2⋅√5-− y-- = 0, ( 2a= ax− y$

имеет единственное решение.

Решение

Преобразуем первое уравнение системы:

$y2− xy− 7y+ 4x + 12 --√x-+-2⋅√5-−-y---= 0 y(y−-x√)−-4y+√4x−-3y+-12= 0 x+ 2⋅ 5− y y(y− x)− 4(y− x)− 3(y− 4) -----√x-+-2⋅√5-−-y------= 0 (y−√x)(y−-4)√−-3(y-−-4)-= 0 x+ 2⋅ 5− y (|(y− 4)(y − x− 3)= 0 {x > −2 |( y < 5$

Таким образом, исходная система равносильна следующей системе:

$([ |||| y =4 ||{ y =x + 3 |x >− 2 ||||y <5 |(y =a(x− 2)$

Изобразим все, кроме пучка прямых $y = a(x − 2):$

$PIC$

Уравнение $y = a(x− 2)$ задает пучок прямых с фиксированной точкой $(2;0).$ Отметим интересующие нас положения:

$PIC$

Тогда исходная система имеет единственное решение при

$a∈ {I}∪[II;III)∪ (IV;+∞ ).$

Рассмотрим положение I. В нем прямая $y = a(x− 2)$ проходит через точку $(1;4).$ Значит, координаты этой точки обращают уравнение функции в верное равенство, то есть

$y = a(x − 2) 4 = a(1 − 2) 4 = −a a = −4$

Рассмотрим положение II. В нем прямая $y = a(x− 2)$ проходит через точку $(−2;4).$ Значит, координаты этой точки обращают уравнение функции в верное равенство, то есть

$y = a(x − 2) 4= a(−2− 2) 4= − 4a a = −1$

Рассмотрим положение III. В нем прямая $y = a(x − 2)$ проходит через точку $(−2;1).$ Значит, координаты этой точки обращают уравнение функции в верное равенство, то есть

$y = a(x − 2) 1= a(−2− 2) 1= − 4a a =− 1 4$

Рассмотрим положение IV. Это горизонтальная прямая, значит, $a= 0.$

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при

$[ 1) a ∈{− 4}∪ − 1;− 4 ∪(0;+∞ ).$

Источники

Борщакова Е. Н., презентация к заданию 18 ЕГЭ, iro23.ru, 2025
Материалы А. В. Шевкина по задачам с параметрами, brodovo19.uralschool.ru
Прокофьев А. А., «Методы решения задач с параметром» (ЕГЭ, занятие 18), abiturient.ru, 2017
«Параметр. Шпаргалка» (задания с параметром), Школково (shkolkovo.online)
«Особенности решения задания 18 высокого уровня сложности ЕГЭ», методические материалы, wiki.admsurgut.ru

У1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$| логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус a| минус | логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка x плюс 2a|= левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате$
имеет хотя бы одно решение, меньшее 2.
У2
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых на интервале $левая круглая скобка 1,2 правая круглая скобка$ существует хотя бы одно число x, неудовлетворяющее неравенству $минус 2a плюс 1 плюс корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус 2a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка минус 2a плюс 1 правая круглая скобка x плюс x в квадрате конец аргумента \leqslant3x минус x в квадрате .$
У3
Найдите все значения а, при каждом из которых система
$система выражений новая строка дробь: числитель: x плюс ax плюс a, знаменатель: x минус 2a минус 2 конец дроби больше или равно 0, новая строка x плюс ax больше 8 конец системы .$
не имеет решений.
У4
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
$\left| дробь: числитель: x в квадрате плюс x минус 2a, знаменатель: x плюс a конец дроби минус 1| меньше или равно 2$
не имеет решений на интервале (1; 2).
У5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств
$система выражений |x| плюс |a| меньше или равно 4,x в квадрате плюс 8x меньше 16a плюс 48 конец системы .$
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−1; 0].
У6
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: левая круглая скобка x минус a минус 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: 10x минус x в квадрате минус a в квадрате конец аргумента конец дроби =0.$
имеет ровно один корень на отрезке [4; 8].
У7
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
$система выражений x в квадрате плюс 12x плюс |y| плюс 27=0,x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка = минус 12 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка конец системы .$
имеет не менее шести решений.
У8
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$| логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус a| минус | логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка x плюс 2a|= левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате$
имеет ровно четыре решения.
У9
Найти все значения a, при каждом из которых система
$система выражений дробь: числитель: x минус ax минус a, знаменатель: x минус 2 плюс 2a конец дроби \geqslant0,x минус 8 больше ax. конец системы$
не имеет решений.
У10
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
$\left| дробь: числитель: x в квадрате минус x плюс 2a, знаменатель: x плюс a конец дроби плюс 1| меньше или равно 2$
не имеет решений на интервале (−2; −1).
У11
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$левая круглая скобка 2|x| плюс x плюс a правая круглая скобка в квадрате =8x в квадрате плюс 2 левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка в квадрате$
имеет единственный корень на интервале $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка .$
У12
Найти все значения a, при каждом из которых система
$система выражений дробь: числитель: x минус ax минус a, знаменатель: x минус 2 плюс 2a конец дроби \leqslant0,x минус 4 больше ax. конец системы$
имеет решения.
У13
Найдите все значения a при каждом из которых система $система выражений новая строка дробь: числитель: x минус ax минус a, знаменатель: x плюс 2a минус 2 конец дроби больше или равно 0, новая строка x минус ax больше 8 конец системы .$ не имеет решений.
У14
Найдите значения параметра $a$ , при которых уравнение
$2 3 5 2 3x + 2 x − 7x+ 2 = a$ имеет единственное решение.
У15
Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

$x2 − (3a− 1)x+ 2a2− 2 -----x2-− 3x-− 4--- = 0$

имеет единственное решение.
У16
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$3 2 x + ax +13x− 6= 0$

имеет единственное решение.
У17
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$3 2x x cosx+ 2 cos-3 + 6cos 3 = a$

имеет по крайней мере одно решение.
У18
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$2 4cosx − atg x = 3+ a$

имеет на отрезке $[0;π]$ ровно один корень.
У19
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$2 32cos3x− 5(sin 3x+ 2acos3x)+ 17− 4a =0$

имеет ровно 6 корней на отрезке $[ ] − π;3π 3 4$ .
У20
Найти все значения $a$ , при каждом из которых уравнение
$|log x2 − a| − |log x + 2a| = (log x)2 0,5 0,5 0,5$
имеет хотя бы один корень, меньший $2$ .
У21
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$(x2+ 2x)(x − a)+a2 − 2x +2a − ax ---------a-− 2|x|+-1---------= 0$

имеет ровно два решения.
У22
Найдите все значения параметра $a,$ при которых множество решений неравенства

$2 (x − a)(a− 2x− 8)> 0$

не содержит ни одного решения неравенства $2 x ≤ 4.$
У23
Найдите все значения параметра $a,$ при которых неравенство

$loga+x(x(a − x))< loga+xx$

имеет хотя бы одно решение.
У24
Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

$|3x|−-2x−-2−-a-= 0 x2− 2x− a$

имеет ровно два различных корня.
У25
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$-----1---√-- √-- -----1---√-- √ -- x2 − 5x + a + a = x2 − 5x − a − a$

имеет хотя бы один корень.

Д1
Найдите все значения a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения
$x в квадрате минус 6x плюс 12 плюс a в квадрате минус 4a=0$
принимает наибольшее значение.
Д2
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства $дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: 3ax в квадрате минус левая круглая скобка 3a в квадрате плюс 2 правая круглая скобка x плюс 2a конец дроби больше или равно 0$ является некоторый луч.
Д3
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
$система выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 9 минус y правая круглая скобка = |x минус 3| в кубе ,y=x плюс a конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
Д4
Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств
$система выражений новая строка ax больше или равно 2, новая строка корень из: начало аргумента: x минус 1 конец аргумента больше a, новая строка 3x меньше или равно 2a плюс 11 конец системы .$
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
Д5
Найдите все значения а, при каждом из которых система
$система выражений левая круглая скобка a плюс 7x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 2x плюс 4 правая круглая скобка \leqslant0,a плюс 3x больше или равно x в квадрате конец системы .$
имеет хотя бы одно решение.
Д6
Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение
$левая круглая скобка 3|x| плюс x минус a правая круглая скобка в квадрате =18x в квадрате плюс 2 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате$
имеет единственное решение на интервале $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка .$
Д7
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$x в квадрате плюс a в квадрате плюс x минус 7a=|7x плюс a|$
имеет более двух различных корней.
Д8
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых на отрезке $левая квадратная скобка 0,1 правая квадратная скобка$ существует хотя бы одно число x, удовлетворяющее неравенству $a плюс |a плюс 1 минус x|\leqslant3x минус x в квадрате минус 1.$
Д9
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
$система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 4 минус y правая круглая скобка = |x минус 2| в кубе ,y=x плюс a конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
Д10
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: x в квадрате минус 10x плюс a в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка a минус x плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс x минус 3 правая круглая скобка конец аргумента конец дроби =0$
имеет ровно один корень на отрезке [2; 6].
Д11
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$x в квадрате плюс a в квадрате плюс 2x минус 4a=|4x плюс 2a|$
имеет более двух различных корней.
Д12
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$x в квадрате плюс a в квадрате минус 7x минус 17a = |17x минус 7a|$
имеет больше двух различных корней.
Д13
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$x в квадрате плюс a в квадрате минус 7x минус 23a = |23x минус 7a|$
имеет больше двух различных корней.
Д14
Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

$2 (a+ 4x− x − 1)(a+ 1− |x− 2|)= 0$

имеет ровно три решения.
Д15
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$3 x − ax+ 2a+ 32= 0$

имеет ровно три действительных корня.
Д16
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$-2a- 5cos2x+ sinx = −29$

имеет решения.
Д17
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$2 4sinx+ 9= a(1+ ctg x)$

имеет хотя бы один корень.
Д18
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

$(2x+ 3√2-⋅2−x− 5)− a -a-− (2sin√x-− 1-− 3)-≤ 0$

не имеет решений.
Д19
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$x2−-7x+-(a+-2)(6−-a)+1 (√x-+1)2 = logpp,$

где $x2 a2 p =5 −-5 − 5-$ , имеет хотя бы одно решение.
Д20
Найдите все значения $a,$ при которых уравнение

$2 x − 4x− 2|x− a|+2 +a = 0$

имеет ровно два решения.
Д21
Найдите все значения параметра $a,$ при которых система неравенств

$({ 2 x + 2x+ a≤ 0 ( x2− 4x− 6a≤ 0$

имеет единственное решение.
Д22
Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

$2 x +4x − 2|x− a|+ 2− a= 0$

имеет ровно два решения.
Д23
При каких значениях $a$ уравнение
$2 5cos x− 3a cosx + 1 = 0$
имеет ровно один корень на $[π ] 2;π$ ?
Д24
Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система

$( {(a− 1)x2+ 2ax + a+ 4≤ 0 ( 2 ax + 2(a+ 1)x + a+ 1≥ 0$

имеет единственное решение.
Д25
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$2 2sinx+ 6= a(1+ ctg x)$

имеет хотя бы один корень.