19.13. Расстояние между точками

1. Идея метода: параметр становится расстоянием

В задачах этого типа уравнение или система с параметром \(a\) «читается» геометрически: выражения вида \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2\) — это квадрат расстояния между точками. Тогда условие на число решений превращается в вопрос о взаимном расположении фигур на плоскости: сколько у них общих точек, когда они касаются, когда фигура стягивается в точку. Главное требование метода — уметь сопоставлять формулу и геометрический образ (прямая, парабола, гипербола, окружность, угол из модулей).

2. Расстояния: основные формулы

Формула расстояния от точки до прямой нужна всякий раз, когда радиус окружности или положение прямой зависит от параметра: так находят значения, при которых прямая касается окружности.

3. Окружность и круг

• Уравнение окружности с центром \((x_0;y_0)\) и радиусом \(R\): \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\). Если центр в начале координат: \(x^2+y^2=R^2\).
• Неравенство \(x^2+y^2\le R^2\) задаёт круг вместе с граничной окружностью; граничные точки входят в решение, их нужно учитывать.
• Чтобы узнать окружность в «разобранном» уравнении, выделяйте полные квадраты: \(x^2-2x=(x-1)^2-1\), \(a^2-4a=(a-2)^2-4\).
• Если правая часть зависит от параметра, например \(R^2=f(a)\), следите за вырожденным случаем: при \(R=0\) окружность превращается в точку, а при \(R^2<0\) решений нет.
• Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

4. Три типичных «семейства окружностей»

Если зависят от \(a\) и центр, и радиус, то получается семейство окружностей вида \((x-x_0(a))^2+(y-y_0(a))^2=r^2(a)\) с центром \((x_0(a);y_0(a))\) и радиусом \(|r(a)|\).

5. Прямая и окружность: сравниваем расстояние с радиусом

Пусть \(d\) — расстояние от центра окружности до прямой, \(r\) — радиус.

• \(d>r\) — общих точек нет;
• \(d=r\) — прямая касается окружности (одна общая точка);
• \(d

Другой способ получить касание: подставить уравнение прямой в уравнение фигуры и потребовать \(D=0\) для полученного квадратного уравнения. Например, касание прямой и параболы или гиперболы: приравниваем их уравнения и берём дискриминант \(D=0\).

6. Две окружности

• Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.
• Пусть \(d\) — расстояние между центрами, \(R\) и \(r\) — радиусы. Внешнее касание: \(d=R+r\); внутреннее касание: \(d=|R-r|\). Эти условия часто используются, когда центр и радиус зависят от параметра.

7. Фигуры, которые «прячутся» в модулях

• Уравнение \(|x-x_0|+|y-y_0|=a\) задаёт квадрат (ромб) с центром \((x_0;y_0)\), вершины которого удалены от центра на \(a\) вдоль осей.
• Уравнение вида «сумма расстояний до осей или точек равна числу» может задавать отрезок. Например, для условия с \(|x|+|y|\) и параметром получается отрезок между точками \((0;a)\) и \((a;0)\); расстояние от начала координат до него равно высоте \(h=\dfrac{|a|\sqrt2}{2}\) — именно оно сравнивается с радиусом окружности при поиске касания.
• Двойное неравенство вида \(-12\le x+2y\le 10\) задаёт полосу между двумя параллельными прямыми; касание окружности и полосы проверяют по расстоянию от центра до граничной прямой.
• Модуль раскрывают как совокупность двух систем: условие на знак подмодульного выражения и уравнение без модуля. Часто получаются дуги окружностей, лежащие по одну сторону от прямой (например, выше \(y=-x\)).

8. Единственность решения в системе с окружностью

Единственное решение системы «окружность + другая фигура» обычно возникает в одной из двух ситуаций:

• касание фигур (отрезка или прямой с окружностью): используют условие \(OA=R\) либо \(D=0\);
• вырождение фигуры в точку (например, отрезок стягивается в начало координат при \(a=0\)).

Для касания в точке, симметричной данной, учитывайте симметрию относительно осей. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: строят систему «числитель \(=0\), знаменатель \(\ne0\)» и исключают выколотые точки из чертежа.

9. Графический метод в плоскости \((x;a)\)

Строят график в системе координат \(xOa\) (параметр откладывают по вертикали). Решения исходного уравнения — точки пересечения графика с горизонтальной прямой \(a=\text{const}\). Число решений равно числу таких точек; значения параметра находят, сдвигая прямую и отслеживая, когда число точек меняется. Если прямая проходит через характерную точку (вершину, точку пересечения), значение параметра получают подстановкой её координат в уравнение прямой.

10. Алгоритм решения (6 шагов)

1. Преобразованиями определить, какие линии или области задают уравнения и неравенства.
2. Построить рисунок и описать нарисованные линии.
3. Проанализировать рисунок и показать его связь с условием задачи.
4. Оформить эту связь уравнением, неравенством или числовым выражением (например, \(d=r\)).
5. Выполнить преобразования и вычисления.
6. Записать ответ; итог — объединение промежутков, в которое добавлены или из которого исключены отдельные точки.

Разобранные примеры