19.14. Функции, зависящие от параметра

1. О чём эти задачи

Выражение \(f(x;a)\) при фиксированном \(a\) задаёт функцию, а при всех допустимых \(a\) — целое семейство графиков. Например, \(y=x^2+a\) — семейство парабол, сдвинутых вдоль оси \(Oy\) на \(a\) единиц. Задачи делятся на четыре типа:

1. исследовать свойства \(y=f(x;a)\) (область определения, монотонность, нули) при разных значениях параметра;
2. параметр входит и в формулу, и в промежуток (например, монотонность на отрезке \([t;t+2]\) при всех \(t\));
3. на функцию наложены условия: число нулей, ограничение на наибольшее значение и т. п.;
4. используются непрерывность, дифференцируемость, экстремумы; такие задачи сводятся к уравнению, неравенству или системе.

Функциональный метод, в отличие от графического, часто даёт точные значения корней без построения графиков: он опирается на ограниченность, монотонность, чётность и периодичность.

2. Область определения

• \(D(f)\) — множество пар \((x;a)\), при которых все выражения определены.
• Для \(y=f(x)+g(x)\): \(D=D(f)\cap D(g)\).
• Начинайте именно с области определения: она часто сокращает число случаев.

3. Нули и знакопостоянство

• Нули \(f(x;a)\) — корни уравнения \(f(x;a)=0\); их число равно числу точек пересечения графика с осью \(Ox\).
• Промежутки знакопостоянства — решения неравенств \(f(x;a)>0\) и \(f(x;a)<0\).
• Удобный приём: выразить параметр и перейти к уравнению \(a=\varphi(x)\). Тогда число решений — это число точек пересечения графика \(\varphi\) с горизонтальной прямой \(a=\text{const}\).

4. Чётность и нечётность

• Функция чётная, если область определения симметрична относительно нуля и \(f(-x)=f(x)\) для всех \(x\) из неё; нечётная, если \(f(-x)=-f(x)\).
• Необходимое условие нечётности: \(f(0)=0\) или функция в нуле не определена.
• Метод: приравнять \(f(-x)\) к \(f(x)\) (или к \(-f(x)\)) и потребовать выполнения при всех \(x\). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях \(x\), получаем систему на параметр. Так, у \(f(x)=(a-3)x^2+\dots\) условие чётности даёт \(a=3\).
• Если не выполнено ни одно из условий, функция общего вида.
• Всегда проверяйте симметрию области определения: если при каком-то \(a\) она несимметрична (например, выколота одна точка \(\log_2 3\) без парной ей), функция не может быть нечётной.

5. Периодичность

• Число \(T>0\) — период, если \(x\pm T\) лежат в области определения и \(f(x+T)=f(x)\) для всех \(x\).
• Если \(T\) — период, то и \(kT\), \(k\in\mathbb Z\), — период.
• У суммы, произведения, разности и частного периодических функций период — число, кратное периодам слагаемых или множителей.
• Постоянная функция периодична с любым ненулевым периодом: например, \(f(x)=(a-5)x+3\) при \(a=5\).

6. Монотонность

• Необходимое условие возрастания на промежутке: \(f'(x)\ge0\); убывания: \(f'(x)\le0\). Достаточное условие строгой монотонности: \(f'(x)>0\) (или \(<0\)) на интервале; производная может обращаться в нуль в конечном числе точек.
• Если \(f'\) — квадратичная функция, используют дискриминант и положение вершины относительно границ промежутка. Если \(D\le0\) и старший коэффициент положителен, то \(f'\ge0\) на всей прямой.
• Условие «возрастает на \([2;+\infty)\)» для кубического многочлена: либо \(D\le0\), либо оба корня производной не больше \(2\), что записывают системой \(D\ge0\), \(f'(2)\ge0\), \(x_в\le2\).
• Для кусочно-монотонной функции монотонность на промежутке означает, что он целиком лежит в одном из промежутков монотонности.
• Кусочно-линейная функция (например, сумма модулей) не убывает, если все угловые коэффициенты на промежутках неотрицательны.

7. Экстремумы

• Критическая точка — внутренняя точка области определения, где \(f'(x)=0\) или \(f'\) не существует.
• Если \(f'\) меняет знак с «+» на «−», это точка максимума; с «−» на «+» — точка минимума.
• Метод: найти критические точки, определить их расположение относительно параметра, проверить знак \(f'\) слева и справа.
• Условие «\(x=a\) — точка минимума» значит, что \(a\) — корень \(f'\) и при переходе через него \(f'\) меняет знак с «−» на «+».
• Не забывайте точки излома у функций с модулем: в них производной нет, но экстремум возможен.

8. Наибольшее и наименьшее значения

• Непрерывная на отрезке \([a;b]\) функция достигает наибольшего и наименьшего значений в критических точках или на концах отрезка (теорема Вейерштрасса).
• Монотонная на отрезке функция принимает экстремальные значения на его концах.
• Если на промежутке единственная точка экстремума \(x_1\): в точке максимума \(f(x_1)\) — наибольшее значение, в точке минимума — наименьшее.

Пусть \(m\) — наименьшее значение функции, \(M\) — наибольшее, \(c\) — число. Тогда:

Для функции с модулем график строят по частям и сравнивают значения на концах отрезка и в точках «перелома». Например, у \(f(x)=ax+|x-1|\) на отрезке наибольшее значение достигается на концах, поэтому условие сводится к двум неравенствам.

9. Множество значений

• \(E(f)=\{a:\ \exists x\in D(f),\ f(x)=a\}\).
• Уравнение \(f(x)=a\) имеет решение тогда и только тогда, когда \(a\in E(f)\).
• Уравнение \(f(x;a)=g(x;a)\) имеет решение, если множества значений \(f\) и \(g\) пересекаются.
• Квадратичная функция \(f(x)=ax^2+bx+c\): вершина при \(x=-\dfrac{b}{2a}\), значение в вершине \(c-\dfrac{b^2}{4a}=-\dfrac{D}{4a}\). При \(a>0\) это минимум, при \(a<0\) — максимум.
• Функция \(ax+\dfrac{b}{x}\) при \(ab>0\) принимает значения вне интервала \(\left(-2\sqrt{ab};\,2\sqrt{ab}\right)\); для \(x+\dfrac1x\) это \((-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\).
• Для \(\alpha\sin x+\beta\cos x\) наибольшее значение равно \(\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\) (вспомогательный аргумент).
• Выделение целой части дроби, \(\dfrac{ax+\dots}{\dots}=k+\dfrac{r}{\dots}\), помогает оценить множество значений.

10. Метод оценки (мини-макс)

Уравнение \(f(x)=g(x)\) переписывают как «\(\min f=\max g\)». Если для всех \(x\) верно \(f(x)\ge A\) и \(g(x)\le A\), то равенство возможно только когда обе части одновременно равны \(A\): решаем систему \(f(x)=A\), \(g(x)=A\). Метод работает, когда левая и правая части разного типа (степенная и логарифмическая, степенная и тригонометрическая). Обязательно проверьте, что минимум одной части и максимум другой достигаются в одной и той же точке \(x\).

11. Касание графиков

Если графики \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) касаются в точке \(x_0\), то выполняется система \(f(x_0)=g(x_0)\), \(f'(x_0)=g'(x_0)\). Для касания параболы и прямой с параметрами можно также приравнять функции и потребовать \(D=0\).

12. Графики и преобразования

Частые семейства: пучок прямых \(y=a(x-x_0)+y_0\) (все проходят через точку \((x_0;y_0)\), параметр задаёт наклон; например, \(y=a(x-4)+2\) проходит через \((4;2)\)); «уголки» \(y=|x-x_0|+a\) — сдвиг графика \(y=|x|\); окружности с центром и радиусом, зависящими от \(a\). Фиксированный график удобно строить в плоскости \(Oxa\), где значениям параметра отвечают прямые, параллельные оси \(Ox\).

Разобранные примеры