Задание 19 · Задача с параметром

19.2. Уравнения с параметром, содержащие модуль

Для репетитора: показать ответы

1. Модуль и его свойства

Определение: $|a|=a$ при $a\ge0$ и $|a|=-a$ при $a<0$.

$|a|\ge0$; $|-a|=|a|$;
$|ab|=|a|\cdot|b|$; $\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$;
$a^2=|a|^2=|a^2|$, поэтому $(a-b)^2=|a-b|^2$;
$|a-b|=|b-a|$.

2. Раскрытие модуля по промежуткам

Найдите нули подмодульных выражений: они разбивают числовую прямую на промежутки.
На каждом промежутке определите знак подмодульного выражения и раскройте модуль соответственно.
Решите получившееся уравнение и проверьте, что найденные корни принадлежат своему промежутку.
Ответ — объединение подходящих решений.

Граничную точку можно отнести к любому из соседних промежутков — на результат это не влияет.

3. Равносильные переходы

Было	Стало
$\|f\|=\|g\|$	$f=g$ или $f=-g$
$\|f\|=g$	$g\ge0$ и ($f=g$ или $f=-g$)
\(\|f\|	\(-g
$\|f\|>g$	$f>g$ или $f<-g$
$\|f\|>\|g\|$	$f^2>g^2$, то есть $(f-g)(f+g)>0$

Последний переход (через разность квадратов) позволяет вообще не раскрывать модули. В неравенствах $|f|g$ условие на знак $g$ ставить не нужно: при $g<0$ система $f-g$ сама не имеет решений.

4. Замена $t=|x-c|$

Если переменная входит в уравнение только через $|x-c|$, введите $t=|x-c|$ и решите уравнение относительно $t$. Затем помните об области значений: $t\ge0$. Число корней по $x$ для каждого $t$:

$t<0$ — решений нет;
$t=0$ — один корень $x=c$;
$t>0$ — два корня $x=c\pm t$.

5. Графики с модулем

$y=|f(x)|$: часть графика, где $y\ge0$, остаётся на месте, а часть, где $y<0$, отражается относительно оси $Ox$.
$y=f(|x|)$: часть графика при $x\ge0$ остаётся, а затем отражается относительно оси $Oy$; график симметричен относительно $Oy$.
«Уголок» $y=a|x-x_0|+y_0$: вершина в точке $(x_0;y_0)$, ось симметрии $x=x_0$.
«Корыто» $y=|x+a|+|x+b|$: правая и левая ветви — лучи, а между точками $-a$ и $-b$ график — горизонтальный отрезок на высоте $|a-b|$.
Ромб задаётся уравнением $a|x-x_0|+b|y-y_0|=c$, квадрат — уравнением $|x-x_0|+|y-y_0|=c$.
Равенство $|PA|+|PB|=|AB|$ верно, когда точка $P$ лежит на отрезке $AB$.

Семейство «уголков» $y=k|x-x_0|+a$ получается сдвигом графика $y=k|x|$ вверх или вниз при изменении $a$. Если запомнить траекторию вершины, график легко «двигать»: например, вершина уголка $y=2|x-a|+a^2$ движется по параболе $y=x^2$.

6. Метод главного модуля

Для функции $f(x)=m|x-a|+n|x-b|$ при $m>n$ «главным» называют модуль с большим коэффициентом $m|x-a|$. Характер монотонности $f$ определяется им: точка смены монотонности — $x=a$, а второй модуль на неё не влияет. Например, $f(x)=9|x-a|-2|x-b|$ убывает при \(x

7. Алгоритм для уравнения с модулем и параметром

Определите, нужен ли аналитический путь (раскрытие модуля, замена) или графический (построить $y=f(x)$ и $y=g(x,a)$ и считать пересечения).
Если выбираете раскрытие — разбейте ось на промежутки и решите уравнение на каждом.
Для «числа корней» построите графики: «уголок» с вершиной, движущейся по кривой, и неподвижный график второй части.
Найдите особые положения (вершина на кривой, касание, прохождение через характерную точку) и по ним определите границы значений параметра.
Проверьте найденные значения и запишите ответ.

Лайфхак 1. Модуль — это неотрицательная величина. Любая замена $t=|\cdot|$ сразу накладывает условие $t\ge0$.

Лайфхак 2. Два модуля — разность квадратов. Неравенство вида $|f|>|g|$ решайте как $(f-g)(f+g)>0$ — без перебора знаков.

Лайфхак 3. Сначала график. Если спрашивают о числе корней, строить «уголки» и «корыта» удобнее, чем раскрывать модули при каждом значении параметра.

Лайфхак 4. Траектория вершины. Выразите координаты вершины «уголка» через параметр и исключите параметр: так вы узнаете, по какой кривой она движется.

Разобранные примеры

Пример 1

При каких значениях а уравнение $|x в квадрате минус 4x минус 5| минус 3a=|x минус a| минус 1$ имеет ровно три корня?

Решение

График функции $y=|x в квадрате минус 4x минус 5|$   — парабола, отраженная относительно оси Ox. Вершина $y=|x минус a| плюс 3a минус 1$   — это точка (a; 3a − 1), она перемещается по прямой $y=3x минус 1.$

Ясно, что три решения будет при $a=0$ и в случае касания прямой $y=4a минус x минус 1$ и $y= минус x в квадрате плюс 4x плюс 5:$

$система выражений минус 2x плюс 4= минус 1,4a минус x минус 1= минус x в квадрате плюс 4x плюс 5 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,4a=5 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,a= дробь: числитель: 49, знаменатель: 16 конец дроби . конец системы .$

Ответ: $0; дробь: числитель: 49, знаменатель: 16 конец дроби .$

Пример 2

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

$\left| дробь: числитель: x в квадрате минус 2ax плюс x плюс 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби | меньше 3$

выполняется при всех $x.$

Решение

Поскольку $x в квадрате плюс x плюс 1 больше 0$ для всех значений x, получаем:

$\left| x в квадрате минус 2ax плюс x плюс 1 | меньше 3x в квадрате плюс 3x плюс 3.$

Решим полученное неравенство:

$система выражений новая строка x в квадрате минус 2ax плюс x плюс 1 меньше 3x в квадрате плюс 3x плюс 3, новая строка x в квадрате минус 2ax плюс x плюс 1 больше минус 3x в квадрате минус 3x минус 3 конец системы . равносильно система выражений новая строка 2x в квадрате плюс левая круглая скобка 2 плюс 2a правая круглая скобка x плюс 2 больше 0, новая строка 4x в квадрате плюс левая круглая скобка 4 минус 2a правая круглая скобка x плюс 4 больше 0. конец системы .$

Для того, чтобы любое значение x удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое из неравенств системы было верным для любого значения x, то есть дискриминанты левых частей этих неравенств должны быть отрицательными:

$левая фигурная скобка \beginmatrix левая круглая скобка 2 плюс 2a правая круглая скобка в квадрате минус 16 меньше 0, левая круглая скобка 4 минус 2a правая круглая скобка в квадрате минус 64 меньше 0 \endmatrix . равносильно левая фигурная скобка \beginmatrix |2a плюс 2| меньше 4, |4 минус 2a| меньше 8 \endmatrix . равносильно левая фигурная скобка \beginmatrix минус 3 меньше a меньше 1, минус 2 меньше a меньше 6 \endmatrix . равносильно минус 2 меньше a меньше 1.$

Ответ: $минус 2 меньше a меньше 1.$

Источники

«Задача 18. Параметры», материалы интенсива, bank-zadach.ru
«Параметр. Шпаргалка» (задания с параметром), Школково (shkolkovo.online)
Попова М. А., лекция «Задача с параметром» (3 декабря 2025), profcentr.ggtu.ru
«Особенности решения задания 18 высокого уровня сложности ЕГЭ», методические материалы, wiki.admsurgut.ru

У1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$|x в квадрате минус 2ax плюс 7|=|6a минус x в квадрате минус 2x минус 1|$
имеет более двух корней.
У2
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$|x минус a в квадрате плюс 4a минус 2| плюс |x минус a в квадрате плюс 2a плюс 3|=2a минус 5$
имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].
У3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$\left| дробь: числитель: 5, знаменатель: x плюс 1 конец дроби минус 3|=ax плюс a минус 2$
на промежутке $левая круглая скобка минус 1; плюс бесконечность правая круглая скобка$ имеет больше двух корней.
У4
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $x в квадрате минус 8x=2|x минус a| минус 16$ имеет ровно три различных решения.
У5
Найдите все значения а, при каждом из которых функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\left| |x| минус 2 | минус ax плюс 8a$ принимает значение, равное 2, в двух различных точках.
У6
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $\left| дробь: числитель: 5, знаменатель: x конец дроби минус 4|=ax минус 1$ на промежутке $левая круглая скобка 0, плюс бесконечность правая круглая скобка$ имеет более двух корней.
У7
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x минус 2|x| плюс |x в квадрате минус 2 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка x плюс a в квадрате плюс 2a|$
больше −4?
У8
Найдите все значения a, при каждом из которых любое число x из отрезка [3; 5] является решением уравнения $|x минус a минус 6| плюс | x плюс a плюс 4| = 2a плюс 10.$
У9
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате минус 4x правая круглая скобка в квадрате плюс a|4x минус x в квадрате | минус 2a минус 4=0$
имеет семь или восемь решений.
У10
Найдите значения a, при каждом из которых среди корней уравнения $3x в квадрате минус 24x плюс 64=a|x минус 3|$ будет ровно три положительных.
У11
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
$17|x минус a| плюс |a в квадрате минус 7x плюс 12| плюс |a в квадрате плюс 2x минус 15|=|2a в квадрате минус 6a плюс x минус 3| плюс |4|x| минус |x плюс 3a||$
имеет хотя бы один корень.
У12
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$a | x плюс 1| плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка |x минус 1| плюс 2=0$
имеет ровно два различных корня.
У13
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
$x в квадрате плюс 4x минус 2|x минус a| плюс 2 минус a=0$
имеет четыре корня.
У14
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$2 косинус в квадрате x плюс левая круглая скобка 5a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a плюс 1 конец дроби правая круглая скобка | синус x|=a в квадрате минус 6a плюс 2$
имеет единственное решение на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У15
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$a в квадрате минус 4x в квадрате плюс 8 |x| минус 4 = 0$
имеет ровно два различных корня.
У16
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$\displaystyle \left| дробь: числитель: 5, знаменатель: конец дроби x плюс 1 минус 3|=ax плюс a минус 2$
на промежутке $левая круглая скобка минус 1; плюс бесконечность правая круглая скобка$ имеет больше двух корней.
У17
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби x плюс 1=a|x минус 3|$
на промежутке $левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка$ имеет более двух корней.
У18
Найдите все значения a, при каждом из которых любое число x из отрезка [3; 4] является решением уравнения $|x минус a минус 5| плюс | x плюс a плюс 1| = 2a плюс 6.$
У19
Найдите все значения a∈[−1; 0], при каждом из которых хотя бы одно значение х, удовлетворяющее условию −5 < x < −3 является решением уравнения
$|x минус 5a| плюс |x минус 6a|= минус a.$
У20
Найдите все значения a, при каждом из которых линии $y=a|x минус 2| плюс |a| минус 2$ и $y= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ ограничивают многоугольник, площадь которого не более 0,5.
У21
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$|a минус 4|x в степени 4 минус 2ax в квадрате плюс |a минус 30| = 0$
имеет хотя бы два решения.
У22
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$3 косинус в квадрате x плюс левая круглая скобка 4a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a плюс 1 конец дроби правая круглая скобка | синус x|=a в квадрате минус 4a плюс 3$
имеет единственное решение на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У23
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$левая круглая скобка |x плюс 2| плюс |x минус a| правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка |x плюс 2| плюс |x минус a| правая круглая скобка плюс 3 a левая круглая скобка 4 минус 3 a правая круглая скобка =0$
имеет ровно два решения.
У24
Найдите все значения а. при каждом из которых уравнение
$\left| дробь: числитель: 4, знаменатель: x конец дроби минус 2|=ax минус 1$
на промежутке $левая круглая скобка 0, плюс бесконечность правая круглая скобка$ имеет более двух корней.
У25
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$левая круглая скобка |x плюс 5| плюс |x минус a| правая круглая скобка в квадрате минус 7 левая круглая скобка |x плюс 5| плюс |x минус a| правая круглая скобка плюс 4 a левая круглая скобка 7 минус 4 a правая круглая скобка =0$
имеет ровно два решения.

Д1
Определите, при каких значениях параметра a уравнение
$|x минус 2|=a логарифм по основанию 2 |x минус 2|$
имеет ровно два решения.
Д2
Найдите все значения параметра a, при которых любое число из отрезка 2 ≤ x ≤ 3 является решением уравнения
$|x минус a минус 2| плюс |x плюс a плюс 3|=2a плюс 5.$
Д3
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
$левая круглая скобка |x плюс 2| плюс |x минус a| правая круглая скобка в квадрате минус 5 левая круглая скобка |x плюс 2| плюс |x минус a| правая круглая скобка плюс 3a левая круглая скобка 5 минус 3a правая круглая скобка =0$
имеет ровно два решения.
Д4
При каких a уравнение $\left| x в квадрате минус 2x минус 3 | минус 2a=\left| x минус a | минус 1$ имеет ровно три корня?
Д5
Найдите все значения a, при которых уравнение $a|x минус 4|= дробь: числитель: 5, знаменатель: x плюс 1 конец дроби$ на промежутке $левая квадратная скобка 0, плюс бесконечность правая круглая скобка$ имеет ровно два корня.
Д6
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
$\left| x плюс дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: x конец дроби плюс 1 | плюс \left| x плюс дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: x конец дроби минус 1 |=2$$
имеет хотя бы один корень.
Д7
При каких значениях параметра a уравнение
$дробь: числитель: |4x| минус x минус 3 минус a, знаменатель: x в квадрате минус x минус a конец дроби =0$
имеет ровно 2 различных решения.
Д8
Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение $\left| дробь: числитель: 7 минус |x|, знаменатель: |x| минус 2 конец дроби |=a$ имеет ровно четыре корня.
Д9
Найдите все значения a∈[−1; 0], при каждом из которых хотя бы одно значение х, удовлетворяющее условию −3 < x < −2,5 является решением уравнения
$|x минус 3a| плюс |x минус 5a|= минус 2a.$
Д10
Найдите все значения a, при каждом из которых линии $y=a|3 минус x| плюс |a| минус 3$ и $y= дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби$ ограничивают многоугольник, площадь которого не менее $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$
Д11
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
$| левая круглая скобка 2x минус a правая круглая скобка в квадрате минус |x| минус 28| плюс 2|x|=16$
имеет ровно три решения.
Д12
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$|a минус 2|x в степени 4 минус 2ax в квадрате плюс |a минус 12| = 0$
имеет хотя бы два различных корня.
Д13
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение
$2a в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 в квадрате |a минус 4|=a в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 1$
имеет хотя бы одно решение.
Д14
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$a|x плюс 8| плюс левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка |x минус 8| плюс 6=0$
имеет ровно два различных решения.
Д15
Определите, при каких значениях параметра a уравнение
$a|x плюс 2|= логарифм по основанию 3 |x плюс 2|$
имеет ровно два решения.
Д16
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
$левая круглая скобка |x плюс 7| минус |x минус a| правая круглая скобка в квадрате минус 13a левая круглая скобка |x плюс 7| минус |x минус a| правая круглая скобка плюс 30a в квадрате плюс 21a минус 9=0$
имеет ровно два решения.
Д17
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
$\left| дробь: числитель: 5, знаменатель: x конец дроби минус 3|=ax минус 2$
на промежутке $левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка$ имеет более двух корней.
Д18
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$левая круглая скобка 4x в квадрате минус 8x правая круглая скобка в квадрате плюс 2a|4x минус 2x в квадрате | минус a минус 1=0$
имеет или семь, или восемь решений.
Д19
Найдите все значения a, при каждом из которых среди корней уравнения $x в квадрате минус 10x плюс 35=a|x минус 6|$ будет ровно два положительных.
Д20
Найти все значения параметра а при каждом из которых уравнение $левая круглая скобка 2a | x минус 1| минус 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 плюс 2a правая круглая скобка |x плюс 1|=0$ имеет ровно два решения.
Д21
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение
$2a в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 в квадрате |a минус 3|=a в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 1$
имеет хотя бы одно решение.
Д22
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$a в квадрате минус 9x в квадрате плюс 18 |x| минус 9 = 0$
имеет ровно два различных корня.
Д23
Найдите все значения a, при которых уравнение $a|x минус 5|= дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби$ на промежутке $левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка$ имеет ровно два корня.
Д24
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$a|x плюс 2| плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка |x минус 2| плюс 3=0$
имеет ровно два различных корня.
Д25
Найдите все значения а. при каждом из которых уравнение
$\left| дробь: числитель: 5, знаменатель: x конец дроби минус 3|=ax минус 1$
на промежутке $левая круглая скобка 0, плюс бесконечность правая круглая скобка$ имеет более двух корней.

Было	Стало
\(\|f\|=\|g\|\)	\(f=g\) или \(f=-g\)
\(\|f\|=g\)	\(g\ge0\) и (\(f=g\) или \(f=-g\))
\(\|f\|	\(-g
\(\|f\|>g\)	\(f>g\) или \(f<-g\)
\(\|f\|>\|g\|\)	\(f^2>g^2\), то есть \((f-g)(f+g)>0\)