Задание 19 · Задача с параметром

19.3. Уравнения с параметром, содержащие радикалы

Для репетитора: показать ответы

1. Основные факты о квадратном корне

Арифметический квадратный корень $\sqrt{f}$ определён только при $f\ge0$ и сам всегда неотрицателен: $\sqrt{f}\ge0$.
Поэтому в уравнении $\sqrt{f}=g$ обязательно нужно $g\ge0$, иначе корней нет.
Уравнение верхней полуокружности радиуса $R$ с центром в начале координат: $y=\sqrt{R^2-x^2}$.

2. Равносильные переходы для уравнений

Было	Стало
$\sqrt{f}=\sqrt{g}$	$f=g$ и $f\ge0$ (ограничение можно записать для $f$ или для $g$ — как удобнее)
$\sqrt{f}=g$	$g\ge0$ и $f=g^2$
$f\cdot\sqrt{g}=0$	$g=0$ или ($g>0$ и $f=0$)

В последнем переходе корень уравнения $g=0$ подходит всегда, а корни уравнения $f=0$ — только если при них $g>0$ (то есть выражение под корнем определено и положительно).

3. Равносильные переходы для неравенств

Было	Стало
$\sqrt{f}<\sqrt{g}$	$f\ge0$ и \(f
\(\sqrt{f}	$g\ge0$, $f\ge0$, \(f
$g\sqrt{f}>0$	$f>0$ и $g>0$
$g\sqrt{f}\ge0$	$f=0$ или ($f>0$ и $g\ge0$)

Решение сводится к системе неравенств: квадратные решаются методом интервалов, а ответ — пересечение всех условий.

4. Метод «хорошего» и «плохого» корня

От равенства корней перейдите к равенству подкоренных выражений с учётом ОДЗ, например $\sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow A=B$ при $A\ge0$.
Решите полученное уравнение — это потенциальные корни.
Корень называется хорошим, если он принадлежит ОДЗ и подходит под условия задачи; иначе он плохой.
Для каждого потенциального корня найдите множество значений параметра, при которых он хороший ($A_1$, $A_2$ …).
Рассмотрите нужные ситуации. Если нужен ровно один корень:
- $x_1$ хороший, $x_2$ плохой: $a\in A_1$ и $a\notin A_2$;
- $x_1$ плохой, $x_2$ хороший: $a\in A_2$ и $a\notin A_1$;
- оба хорошие, но совпадают: $x_1=x_2$.
Объедините условия для всех ситуаций.

5. Приёмы при решении уравнений с радикалами

Ограничения удобнее записывать для той части уравнения, которая проще (например, для выражения, которое легко раскладывается на множители).
Возведение в квадрат сильно повышает степень. Сначала поищите структуру: общий множитель, связь правой части с подкоренным выражением.
Множитель вида $x+a$ можно сократить, если он не обращается в ноль на рассматриваемых $x$.
Найденные корни обязательно проверяйте на ОДЗ.
Замена переменной: если можно ввести $t$, введите её и учтите область значений $t$ (например, $t\ge0$ для $t=\sqrt{\cdot}$).

6. Алгоритм (аналитический путь)

Упростите уравнение равносильными преобразованиями и найдите ОДЗ переменной.
Выразите условие задачи как ограничения на параметр.
Оформите ограничения в виде уравнения, неравенства или системы.
Решите систему и запишите ответ.

Лайфхак 1. Запишите ограничение один раз. В равенстве $\sqrt f=\sqrt g$ достаточно потребовать неотрицательность только одного подкоренного выражения — того, что проще.

Лайфхак 2. Корень $g=0$ в произведении $f\sqrt g=0$ берётся всегда, а корни $f=0$ — только при $g>0$.

Лайфхак 3. Хороший и плохой корни. Если в задаче нужен ровно один корень, найдите потенциальные корни и разберите три ситуации: один хороший и один плохой, наоборот, и два совпавших хороших.

Лайфхак 4. Всегда проверяйте ОДЗ. Корни под знаком радикала, логарифма и знаменатели ограничивают и $x$, и параметр.

Разобранные примеры

Пример 1

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$x в квадрате минус ax корень из: начало аргумента: 3 минус 2x минус x в квадрате конец аргумента плюс a в квадрате =0$

имеет хотя бы одно решение.

Решение

Левая часть уравнения имеет смысл при $минус x в квадрате минус 2x плюс 3 больше или равно 0.$ Выделим в левой части полный квадрат:

$x в квадрате минус 2x умножить на дробь: числитель: a корень из: начало аргумента: 3 минус 2x минус x в квадрате конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: a в квадрате левая круглая скобка 3 минус 2x минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: a в квадрате левая круглая скобка 3 минус 2x минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби плюс a в квадрате =0,$

откуда следует, что

$левая круглая скобка x минус дробь: числитель: a корень из: начало аргумента: 3 минус 2x минус x в квадрате конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = минус дробь: числитель: a в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби .$

Равенство возможно, только если обе части равны нулю, откуда следует, что x  =  −1 или a  =  0.

1.  Пусть x  =  −1. Получается уравнение $минус 1 минус a=0,$ которое имеет единственное решение a  =  −1. Следовательно, при a  =  −1 уравнение имеет решение x  =  −1.

2.  Если $x не равно минус 1,$ то a  =  0. Получаем уравнение x²  =  0, которое имеет решение x  =  0.

Ответ: a  =  −1 или a  =  0.

Пример 2

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$x в квадрате плюс левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: 3x минус a конец аргумента =x$

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Решение

Исходное уравнение равносильно уравнению $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс корень из: начало аргумента: 3x минус a конец аргумента правая круглая скобка =0.$ Рассмотрим два случая.

Первый случай: $x минус 1=0$ при условии $3x больше или равно a.$ Получаем $x=1.$

Условие принимает вид $3 больше или равно a,$ откуда $a\leqslant3.$ То есть в этом случае $x=1$ при $a\leqslant3.$

Второй случай: $x плюс корень из: начало аргумента: 3x минус a конец аргумента =0.$ Получаем $x= минус корень из: начало аргумента: 3x минус a конец аргумента \leqslant0;x\leqslant0.$

Значит, это уравнение имеет корень на отрезке [0; 1], только если $x=0$ при $a=0.$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при $a меньше 0$ и $0 меньше a\leqslant3.$

Ответ: $a меньше 0;0 меньше a\leqslant3.$

Источники

«Задача 18. Параметры», материалы интенсива, bank-zadach.ru
«Параметр. Алгебра. Шпаргалка», Школково (shkolkovo.online)
«Параметр. Шпаргалка» (задания с параметром), Школково (shkolkovo.online)
«Особенности решения задания 18 высокого уровня сложности ЕГЭ», методические материалы, wiki.admsurgut.ru

У1
Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$левая круглая скобка 4x минус x в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 32 корень из: начало аргумента: 4x минус x в квадрате конец аргумента = 4a в квадрате минус 12a$
имеет хотя бы одно решение.
У2
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: 1 минус 2x конец аргумента =a минус 7|x|$
имеет более двух корней.
У3
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус a= корень из: начало аргумента: 4 в степени левая круглая скобка x конец аргумента минус 3a правая круглая скобка$ имеет единственный корень.
У4
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 4x в квадрате плюс 9a в квадрате конец аргумента =x в квадрате плюс 2x минус 3a$ имеет ровно 3 решения.
У5
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
$x в квадрате плюс левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: 2x минус a конец аргумента =x$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
У6
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$x корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента = корень из: начало аргумента: 4x в квадрате минус левая круглая скобка 4a плюс 2 правая круглая скобка x плюс 2a конец аргумента$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
У7
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 4x в квадрате плюс 9a в квадрате конец аргумента =x в квадрате плюс 2x минус 3a$
имеет ровно 3 корня.
У8
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$x в квадрате плюс левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента =x$
имеет ровно один корень на [0; 1].
У9
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
$4x плюс 7 минус 4 корень из: начало аргумента: 4x минус x в квадрате конец аргумента =x в квадрате плюс a в квадрате плюс 2a$
имеет хотя бы одно решение.
У10
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: 3a плюс корень из: начало аргумента: 3a плюс 2x минус x конец аргумента в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка =2x минус x в квадрате$
имеет решения.
У11
Найдите все значения a, при которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x плюс a конец аргумента минус корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента =a$
имеет единственное решение.
У12
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$2 корень из: начало аргумента: x плюс a конец аргумента =a корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента$
имеет единственное решение.
У13
Найдите наименьшее значение параметра a, при котором уравнение имеет хотя бы один корень:
$корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 5x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 5x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 5x плюс 7 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 5x минус 6 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента =a.$
У14
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$минус ax плюс корень из: начало аргумента: 3 минус 2x минус x в квадрате конец аргумента = 8a плюс 2$
имеет единственный корень.
У15
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс a в квадрате конец аргумента =x в квадрате плюс 3x минус a$
имеет ровно три различных корня.
У16
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 16x в квадрате плюс 64a в квадрате конец аргумента =x в квадрате плюс 4x минус 8a$ имеет ровно 3 решения.
У17
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента умножить на синус x= корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента умножить на косинус x$
имеет на отрезке [0; π] ровно один корень.
У18
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 16x в квадрате плюс 64a в квадрате конец аргумента =x в квадрате плюс 4x минус 8a$
имеет ровно 3 корня.
У19
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$x в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 x минус a конец аргумента = x$
имеет ровно один корень.
У20
Найдите все значения a, при которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x плюс a конец аргумента минус корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента =2a$
имеет единственное решение.
У21
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x плюс a конец аргумента =a корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента$
имеет единственное решение.
У22
Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение $ax плюс корень из: начало аргумента: минус 7 минус 8x минус x в квадрате конец аргумента =2a плюс 3$ имеет единственный корень.
У23
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс a в квадрате конец аргумента =x в квадрате минус 3x минус a$
имеет ровно три различных корня.
У24
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$x в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 x минус a конец аргумента = x$
имеет один корень на отрезке [0; 1].
У25
Найти все значения a, при которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 4x в квадрате плюс a в квадрате конец аргумента = x в квадрате плюс 2x минус a$
имеет ровно три различных корня.

Д1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$ax плюс корень из: начало аргумента: 3 минус 2x минус x в квадрате конец аргумента = 4a плюс 2$
имеет единственный корень.
Д2
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 4 конец аргумента минус x в квадрате плюс a в квадрате правая круглая скобка =x в квадрате плюс x минус a$
имеет ровно три различных решения.
Д3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 2a минус x конец аргумента =a$
имеет ровно два различных корня.
Д4
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: 1 минус 4x конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 9x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 1 минус 4x конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка$
имеет хотя бы одно решение.
Д5
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента умножить на синус x= корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента умножить на косинус x$
имеет ровно один корень на отрезке $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .$
Д6
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x плюс 2a минус 1 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента = 1$
имеет хотя бы один корень.
Д7
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс корень из: начало аргумента: a минус x конец аргумента правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2x плюс 1 плюс корень из: начало аргумента: a минус x конец аргумента правая круглая скобка в квадрате$
имеет единственный корень на отрезке [−1; 1].
Д8
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: 5 минус 7x конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 9x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 5 минус 7x конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка$
имеет ровно один корень.
Д9
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс x в квадрате минус 5a в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 4ax конец аргумента$
имеет ровно одно решение.
Д10
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$a корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби конец аргумента плюс \left |1 минус дробь: числитель: |x|, знаменатель: 2 конец дроби | = 1$
имеет ровно два различных корня.
Д11
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: 4x минус 3 конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 5x минус a правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 4x минус 3 конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 6x плюс a правая круглая скобка$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Д12
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x минус 2a конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4ax плюс 4a в квадрате конец аргумента =2$
имеет хотя бы одно решение.
Д13
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 4x плюс 4a минус a в квадрате конец аргумента =0$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
Д14
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $корень из: начало аргумента: 1 минус 2x конец аргумента =a минус 5|x|$ имеет более двух корней.
Д15
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$2 в степени x минус a= корень из: начало аргумента: 4 в степени x минус a конец аргумента$
имеет единственный корень.
Д16
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: 3x минус 2 конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3x минус 2 конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 2x плюс a правая круглая скобка$
имеет хотя бы одно решение на отрезке [0; 1].
Д17
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$x корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента = корень из: начало аргумента: 6x в квадрате минус левая круглая скобка 6a плюс 3 правая круглая скобка x плюс 3a конец аргумента$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Д18
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс корень из: начало аргумента: 2x минус a конец аргумента правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2x минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2x минус a конец аргумента правая круглая скобка в квадрате$
имеет единственный корень на отрезке [−1; 1].
Д19
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: 2 минус 5x конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 36x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2 минус 5x конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 6x плюс a правая круглая скобка$
имеет ровно один корень.
Д20
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: 5x минус 4 конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 5x минус 4 конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 4x плюс a правая круглая скобка$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Д21
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$x в квадрате минус ax корень из: начало аргумента: 4 минус 4x минус x в квадрате конец аргумента плюс 2a в квадрате =0$
имеет хотя бы одно решение.
Д22
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $корень из: начало аргумента: 1 минус 2x конец аргумента = a минус 7 |x|$ имеет более двух корней.
Д23
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: 4x минус 3 конец аргумента \ln левая круглая скобка 2x минус a правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 4x минус 3 конец аргумента \ln левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Д24
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: x в квадрате минус a в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 3x в квадрате минус левая круглая скобка 3a плюс 1 правая круглая скобка x плюс a конец аргумента$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Д25
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: 3 x минус 5 конец аргумента натуральный логарифм левая круглая скобка 4 x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 x минус 5 конец аргумента натуральный логарифм левая круглая скобка 2 x плюс a правая круглая скобка$
имеет ровно 1 корень.

Было	Стало
\(\sqrt{f}=\sqrt{g}\)	\(f=g\) и \(f\ge0\) (ограничение можно записать для \(f\) или для \(g\) — как удобнее)
\(\sqrt{f}=g\)	\(g\ge0\) и \(f=g^2\)
\(f\cdot\sqrt{g}=0\)	\(g=0\) или (\(g>0\) и \(f=0\))

Было	Стало
\(\sqrt{f}<\sqrt{g}\)	\(f\ge0\) и \(f
\(\sqrt{f}	\(g\ge0\), \(f\ge0\), \(f
\(g\sqrt{f}>0\)	\(f>0\) и \(g>0\)
\(g\sqrt{f}\ge0\)	\(f=0\) или (\(f>0\) и \(g\ge0\))