Задание 19 · Задача с параметром

19.4. Неравенства с параметром

Для репетитора: показать ответы

1. Линейное неравенство $ax>b$

Знак коэффициента $a$ определяет направление неравенства при делении на него, поэтому нужно разобрать три случая:

$a>0$: $x>\dfrac{b}{a}$;
$a<0$: знак меняется, $x<\dfrac{b}{a}$;
$a=0$: неравенство превращается в $0>b$ — решений нет при $b\ge0$, и любое $x$ подходит при $b<0$.

2. Квадратное неравенство $ax^2+bx+c>0$

Квадратным оно является только при $a\ne0$; случай $a=0$ разбирается отдельно как линейное.
Картина зависит от знака $a$ (ветви параболы вверх или вниз) и знака дискриминанта $D$.
Если $a>0$ и $D<0$, то левая часть положительна при всех $x$.
При $D\ge0$ раскладывайте на множители: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ и применяйте метод интервалов.

Теоремы о корнях квадратного трёхчлена — основной приём для задач вида «неравенство должно выполняться при всех $x$» или «не должно иметь решений»: они сводят вопрос к знаку дискриминанта и положению корней относительно нужных точек.

3. Неравенства с модулем

\(|f|
$|f|>g\Leftrightarrow f>g$ или $f<-g$;
$|f|>|g|\Leftrightarrow f^2>g^2\Leftrightarrow (f-g)(f+g)>0$.

В первых двух неравенствах условие на знак $g$ отдельно писать не нужно: при $g<0$ система $\begin{cases}f-g\end{cases}$ сама не имеет решений.

4. Неравенства с корнем

$\sqrt f<\sqrt g\Leftrightarrow f\ge0$ и \(f
\(\sqrt f
$g\sqrt f>0\Leftrightarrow f>0$ и $g>0$;
$g\sqrt f\ge0\Leftrightarrow f=0$ или ($f>0$ и $g\ge0$).

5. «Неравенство верно при всех $x$» и «нет решений»

Если после замены $t$ (например, $t=\cos x$ при $t\in[0;1]$) получилась квадратичная функция $f(t)$ с ветвями вверх, то неравенство $f(t)<0$ выполняется на всём отрезке тогда и только тогда, когда $f(0)<0$ и $f(1)<0$ (парабола с ветвями вверх принимает наибольшее значение на концах отрезка). Далее решается система неравенств относительно параметра.
Показательные неравенства вида «при всех $x$» сводят заменой $t=3^x$ или $t=2^x$ (причём $t>0$) к квадратному неравенству по $t$ и исследуют его теоремами о корнях квадратного трёхчлена.
Множества решений «неравенство верно» и «неравенство не имеет решений» противоположны: во втором случае верно обратное неравенство при всех $x$.

6. Графический способ

Неравенство $f(x)>g(x,a)$ удобно читать по графикам: решения — те $x$, при которых график $f$ лежит выше графика $g$. Метод областей на плоскости $(x;a)$: постройте кривые, на которых выражения обращаются в ноль, определите знак в каждой области и отметьте области, где неравенство выполняется; затем проводите горизонтали $a=\text{const}$.

Лайфхак 1. Три случая для знака старшего коэффициента. В линейном неравенстве $ax>b$ и квадратном $ax^2+bx+c>0$ разбирайте $a>0$, $a<0$ и $a=0$ отдельно.

Лайфхак 2. Замена и отрезок. После замены $t=\cos x$ или $t=3^x$ выясните область значений $t$: условие «при всех $x$» превращается в условие «при всех $t$ из этой области».

Лайфхак 3. Модульные неравенства без перебора знаков. Для $|f|g$ условие на $g$ писать не нужно, а для $|f|>|g|$ возводите обе части в квадрат.

Лайфхак 4. Следите за концами. Строгие и нестрогие неравенства по-разному влияют на включение граничных значений параметра в ответ.

Разобранные примеры

Пример 1

При каких значениях параметра $a$ неравенство

$\log_{\frac{1}{a}}(\sqrt{x^2+ax+5}+1)\cdot\log_5(x^2+ax+6)+\log_a3\geq0$

имеет единственное решение?

Решение

Ответ: $2$.

Пример 2

Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство

$-9<\dfrac{3x^2-ax-6}{x^2-x+1}<6$

выполняется для любого $x$.

Решение

Ответ: $(-6;3)$.

Источники

«Задача 18. Параметры», материалы интенсива, bank-zadach.ru
«Параметр. Шпаргалка» (задания с параметром), Школково (shkolkovo.online)
«Особенности решения задания 18 высокого уровня сложности ЕГЭ», методические материалы, wiki.admsurgut.ru
Прокофьев А. А., «Методы решения задач с параметром» (ЕГЭ, занятие 18), abiturient.ru, 2017
Борщакова Е. Н., презентация к заданию 18 ЕГЭ, iro23.ru, 2025

У1
Найдите все значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства
$корень из: начало аргумента: 3 минус x конец аргумента плюс |x минус a| меньше или равно 2$
является отрезок.
У2
Найдите все значения параметра а из отрезка $левая квадратная скобка минус 6; 6 правая квадратная скобка$ при которых неравенство $левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка плюс 3x правая круглая скобка больше 0$ выполняется при любых $x больше или равно 0.$
У3
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства
$2 плюс корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax конец аргумента больше x$
содержит отрезок [4; 7].
У4
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства
$дробь: числитель: 11a минус левая круглая скобка a в квадрате минус 7a плюс 17 правая круглая скобка синус x плюс 9, знаменатель: 3 косинус в квадрате x плюс a в квадрате плюс 2 конец дроби меньше 3$
содержит отрезок $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$
У5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
$дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 плюс x минус x в квадрате конец аргумента , знаменатель: x минус 2a конец дроби меньше или равно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 плюс x минус x в квадрате конец аргумента , знаменатель: 2x минус 2a плюс 4 конец дроби$
имеет ровно два решения.
У6
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
$минус 1 меньше или равно синус x умножить на левая круглая скобка a минус косинус 2 x правая круглая скобка меньше или равно 1$
верно при всех действительных значениях x.
У7
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: a плюс 1 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2 |a| правая круглая скобка больше 0$ выполняется при любых x.
У8
Найдите все значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства $корень из: начало аргумента: 5 минус x конец аргумента плюс |x минус 3a плюс 1| меньше или равно 3$ является отрезок.
У9
Найдите все значения a, при каждом из которых любое значение из промежутка [−1,5; −0,5] является решением неравенства
$левая круглая скобка 4|x| минус a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 минус a правая круглая скобка \geqslant0.$
У10
Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства
$дробь: числитель: 5 минус a минус левая круглая скобка a в квадрате минус 2a плюс 1 правая круглая скобка синус x, знаменатель: косинус в квадрате x плюс a в квадрате плюс 2 конец дроби меньше 1$
содержит отрезок $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$
У11
Найдите все значения $a$, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел $x$ и $y$, удовлетворяющая неравенству
$2|x-a|+7|x-3|\leq \sqrt{1-y^2}+5$
У12
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств
$\begin{cases} a(x-1)\geq4,\\ 2\sqrt{x-2}\geq a,\\ 3x<a+14 \end{cases}$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.
У13
При каких значениях параметра $a$ неравенство
$\log_a5+\log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{ax^2+2x+6}+1)\cdot\log_a(ax^2+2x+7)\leq0$
имеет единственное решение?
У14
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство
$\dfrac{3x^2+3^a+\log_3^2a-6}{-9x^4+\log_3a-3^a}\leq-1$
имеет ровно одно решение.
У15
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
$\begin{cases} (a-x)^2+(y+a)^2\le a+3,\\ x-y\le |3-2a| \end{cases}$
имеет единственное решение.
У16
Решите неравенство $π 2ax + 5 cos--≥ 0 3$ при всех значениях параметра $a$ .
У17
При всех значениях параметра $a$ решите неравенство

$(a− 1)x< 3− 3a.$
У18
Решите неравенство при всех $a$

$∘------2 x +2a− 2 3ax+ a > 0$
У19
Решите неравенство

$x< a x$

при всех значениях параметра $a.$
У20
При всех значениях параметра $a$ решите неравенство

$(2 − a)x < 10 − 5a.$
У21
При всех значениях параметра $a$ решите неравенство

$|x − 2|< a.$
У22
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых множество решений неравенства

$∘-----2 |3x− 4| 2x − x ≥(xa+ 1− a)|4 − 3x|$

является отрезком длиной 1.
У23
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

$ax2 − 3 > 2(2− a)x− 4a$

выполняется для всех $x ∈(−2;− 1).$

Д1
Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
$дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка x в квадрате минус ax правая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше синус левая круглая скобка x в квадрате минус ax правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка 2x в квадрате минус 2ax плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка$
выполняется для всех x из отрезка $левая квадратная скобка Пи ; 2 Пи правая квадратная скобка .$
Д2
Найдите все значения параметра $a не равно 0$ такие, что неравенство
$\log в квадрате _2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2ax плюс a в квадрате минус a плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 6 конец дроби умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2ax плюс a в квадрате минус a плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0$
не имеет решений.
Д3
Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
$\left| косинус в квадрате x плюс 0,5 синус 2x плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка синус в квадрате x| меньше или равно 1,5$
выполняется для любого действительного числа х.
Д4
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
$левая круглая скобка 4|x| минус a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 минус a правая круглая скобка \leqslant0$
имеет хотя бы одно решение из промежутка [−4; 4].
Д5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
$левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 13 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3x плюс 2a конец аргумента \leqslant0$
имеет не более двух решений.
Д6
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
$дробь: числитель: a x минус a левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка , знаменатель: a в квадрате минус a x минус 1 конец дроби больше 0$
будет выполнено для любых x, не превосходящих по модулю 1.
Д7
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство $натуральный логарифм левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус a минус 1 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: x минус a плюс 1 конец аргумента меньше или равно 0$ имеет ровно одно или два решения.
Д8
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства
$дробь: числитель: 9a минус левая круглая скобка a в квадрате минус a плюс 3 правая круглая скобка синус x плюс 1, знаменатель: 2 косинус в квадрате x плюс a в квадрате плюс 3 конец дроби меньше 2$
содержит отрезок $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д9
Найдите все значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства $корень из: начало аргумента: 5 минус x конец аргумента плюс |x плюс a| меньше или равно 3$ является отрезок.
Д10
Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства
$дробь: числитель: 10 минус a минус левая круглая скобка a в квадрате минус 3a плюс 2 правая круглая скобка синус x, знаменатель: косинус в квадрате x плюс a в квадрате плюс 3 конец дроби меньше 1$
содержит отрезок $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д11
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств
$\begin{cases} 2a\leq x,\\ 6x>x^2+a^2,\\ x+a\leq6 \end{cases}$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.
Д12
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство
$ax^2-3>2(2-a)x-4a$
выполняется для всех $x\in(-2;-1)$.
Д13
Найдите все значения параметра $b$, при которых неравенство
$-6<\dfrac{2x^2+bx-4}{x^2-x+1}<4$
выполняется при любых значениях $x$.
Д14
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство
$\dfrac{2x^2+4^a+\log_2^2a-12}{4x^4-\log_2a+2^a}\leq-1$
имеет ровно одно решение.
Д15
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
$\begin{cases} (x+2a)^2+(a+y)^2\le 5-a,\\ x+y\le |a+2| \end{cases}$
имеет единственное решение.
Д16
Решите неравенство

$2 2 a(x − 6)≥ (2 − 3a )x$

при всех значениях параметра $a.$
Д17
Найдите все значения параметра $p$ , при которых все решения уравнения $p (p + 2x ) = 7x + 2p + 5$ удовлетворяют неравенству $x ≥ − 3$ .
Д18
Решите неравенство

$ax− 3> a2− 2x$

при всех значениях параметра $a.$
Д19
При всех значениях параметра $a$ решите неравенство

$( 2 ) a − a x <3 − 3a$
Д20
При всех значениях параметра $a$ решите неравенство

$ax+ 5< 0.$
Д21
При всех допустимых значениях параметра $a$ решите неравенство

$log-a-(x2 − ax ) ≤ log -a-(ax − a2 + 1) a+1 a+1$
Д22
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

$log1−(y−x+a2−3a+1)2(1+ y3− x2− y2)≤ log1−(y−x+a2−3a+1)2(y3)$

имеет решения.

19.4. Неравенства с параметром

1. Линейное неравенство \(ax>b\)

2. Квадратное неравенство \(ax^2+bx+c>0\)

3. Неравенства с модулем

4. Неравенства с корнем

5. «Неравенство верно при всех \(x\)» и «нет решений»

6. Графический способ

Разобранные примеры