Задание 19 · Задача с параметром

19.5. Системы с параметром

Для репетитора: показать ответы

1. Системы линейных уравнений и неравенств

Прямую можно задать как $y=kx+b$ или как $Ax+By=C$. Второй способ охватывает и вертикальные прямые $x=a$, которые первым не задаются.

Прямые $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$	Взаимное расположение
$k_1=k_2$, $b_1\ne b_2$	параллельны
$k_1=k_2$, $b_1=b_2$	совпадают
$k_1\ne k_2$	пересекаются
$k_1k_2=-1$	перпендикулярны

Для системы двух линейных уравнений с параметром это значит: параллельные прямые — решений нет; совпадающие — бесконечно много решений; пересекающиеся — единственное решение.

Систему неравенств решают пересечением решений отдельных неравенств. «Ровно одно решение» или «бесконечно много решений» получается, когда отрезок-пересечение вырождается в точку или совпадает с промежутком.

2. Уравнение окружности и его вырожденные случаи

Уравнение $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=g(a)$ задаёт:

при $g(a)<0$ — пустое множество (решений нет);
при $g(a)=0$ — одну точку $(x_0;y_0)$; проверьте, удовлетворяет ли она второму уравнению;
при $g(a)>0$ — окружность радиуса $\sqrt{g(a)}$.

Если уравнение имеет вид $A(x-x_0)^2+B(y-y_0)^2=C$ при $A,B,C>0$, заменой $x'=\sqrt A\,x$, $y'=\sqrt B\,y$ оно сводится к окружности.

3. Как считать решения системы геометрически

Каждое уравнение системы с двумя переменными задаёт линию на плоскости, а решения системы — это общие точки линий.
Две окружности с центрами $O_1,O_2$ и радиусами $R_1,R_2$ имеют одну общую точку, если $O_1O_2=|R_1-R_2|$ (внутреннее касание) или $O_1O_2=R_1+R_2$ (внешнее касание).
Прямая и окружность касаются, если расстояние от центра $(x_0;y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ равно радиусу: $\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=R$. Прямую $y=kx+b$ для этой формулы записывают как $kx-y+b=0$.
Касание можно проверить и через дискриминант: после подстановки получается квадратное уравнение, и касанию соответствует $D=0$.
Если центр окружности зависит от параметра, то его положение при изменении параметра описывает кривую (линию центров); если радиус тоже зависит от параметра, получается целое семейство окружностей.

4. Система «две прямые и окружность»

Система вида $y=\pm ax$ и окружность с дополнительными условиями на $x$ и $y$ разбирается так: считаем точки пересечения каждой прямой с окружностью, проверяем дополнительные условия и особые положения — касание, прохождение через начало координат, совпадение точек. Решение складывается из нескольких промежутков значений параметра с «выколотыми» точками.

5. Сумма и произведение: система сводится к квадратному уравнению

Для системы $\begin{cases}x^2+y^2=A\\ x+y=B\end{cases}$ произведение находится так: $xy=\tfrac12(B^2-A)$. Тогда $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения $p^2-Bp+\tfrac12(B^2-A)=0$ (обратная теорема Виета). Единственность решения системы связана с единственностью корня этого уравнения.

6. Общие корни двух уравнений

Чтобы найти значения параметра, при которых уравнения $f(x,a)=0$ и $g(x,a)=0$ имеют общий корень, решают систему $\begin{cases}f(x,a)=0\\ g(x,a)=0\end{cases}$. Число решений этой системы равно числу общих корней.

7. Метод $xOa$

Рассматривайте параметр $a$ как вторую координату: постройте на плоскости $xOa$ множество решений $S$. Ответ — все $a_0$, при которых горизонталь $a=a_0$ пересекает $S$ нужное число раз.

8. Симметрия

Если уравнение (или система) инвариантно относительно замены $x o-x$, то вместе с решением $x_0$ решением является и $-x_0$. Поэтому единственное решение возможно только при $x=0$: сначала подставьте $x=0$ и найдите подходящие значения параметра. Это лишь необходимое условие, после него обязательно проверьте, нет ли других решений. Подробнее — в карточке «Использование симметрий».

Лайфхак 1. Систему читайте как картинку. Выделите полные квадраты и поймите, какие фигуры задают уравнения: окружность, прямая, пара прямых, ромб, парабола.

Лайфхак 2. Вырожденные радиусы. Если квадрат радиуса равен нулю — это точка (проверьте её во втором уравнении); если отрицателен — решений нет.

Лайфхак 3. Касание — «границы» ответа. Значения параметра, при которых фигуры касаются или проходят через характерные точки, обычно и являются граничными в ответе.

Лайфхак 4. Проверьте единственность. Для условия «ровно одно решение» помогает чётность (симметрия), касание, $D=0$ или совпадение корней. Найдя кандидатов, подставьте и убедитесь, что других решений нет.

Разобранные примеры

Пример 1

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка y в квадрате минус xy минус 5y плюс x плюс 4 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x плюс 2 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 4 минус y конец аргумента конец дроби =0,a=x плюс y минус 2. конец системы .$

имеет хотя бы два решения.

Решение

Заметим, что

$дробь: числитель: левая круглая скобка y в квадрате минус xy минус 5y плюс x плюс 4 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x плюс 2 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 4 минус y конец аргумента конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x плюс 2 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: 4 минус y конец аргумента конец дроби =0 равносильно система выражений совокупность выражений y=1,y=x плюс 4,x= минус 2, конец системы . y меньше 4,x\geqslant минус 2. конец совокупности .$

Исходная система имеет хотя бы два решения в том и только в том случае, когда семейство (красных) прямых $y=a минус x плюс 2$ имеет с (синим) графиком полученной системы хотя бы две общие точки, то есть при

$минус 1 меньше a плюс 2 меньше 4 равносильно минус 3 меньше a меньше 2.$

Ответ: $левая круглая скобка минус 3;2 правая круглая скобка .$

Пример 2

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

$система выражений y левая круглая скобка y минус 7 правая круглая скобка =xy минус 5 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка ,x меньше или равно 6, дробь: числитель: a левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка минус 2, знаменатель: y минус 2 конец дроби = 1. конец системы .$

имеет единственное решение.

Решение

Заметим, что

$y левая круглая скобка y минус 7 правая круглая скобка =xy минус 5 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка равносильно y в квадрате минус левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка y плюс 5 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений y=5,y=x плюс 2. конец совокупности .$

Тогда исходная система равносильна следующей смешанной системе:

$система выражений совокупность выражений y=5,y=x плюс 2, конец системы . y=a левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка ,x меньше или равно 6, y не равно 2. конец совокупности .$

Построим её график и определим, при каких значения параметра пучок прямых $y=a левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка$ имеет единственную общую точку с объединением двух лучей $y=5$ и $y=x плюс 2$ при условиях $x меньше или равно 6, y не равно 2$ (см. рис.).

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка .$

Источники

«Задача 18. Параметры», материалы интенсива, bank-zadach.ru
«Параметр. Шпаргалка» (задания с параметром), Школково (shkolkovo.online)
«Особенности решения задания 18 высокого уровня сложности ЕГЭ», методические материалы, wiki.admsurgut.ru
Материалы А. В. Шевкина по задачам с параметрами, brodovo19.uralschool.ru
Борщакова Е. Н., презентация к заданию 18 ЕГЭ, iro23.ru, 2025

У1
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка y в квадрате минус xy минус 4y плюс 2x плюс 4 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x плюс 4 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 минус y конец аргумента конец дроби =0,a=x плюс y. конец системы .$
имеет единственное решение.
У2
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система $система выражений новая строка y в квадрате плюс xy минус 7x минус 14y плюс 49=0, новая строка y=ax плюс 1, новая строка x\geqslant3 конец системы .$ имеет единственное решение.
У3
При каких значениях параметра a система $система выражений новая строка y=x в квадрате минус 2x, новая строка x в квадрате плюс y в квадрате плюс a в квадрате =2x плюс 2ay конец системы .$ имеет решения?
У4
При каких значениях параметра a для любых значений параметра b хотя бы при одном значении параметра с система уравнений
$система выражений новая строка bx плюс y=ac в квадрате , новая строка x плюс by=ac плюс 1 конец системы .$
имеет решения?
У5
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений дробь: числитель: xy в квадрате минус 3xy минус 3y плюс 9, знаменатель: корень из: начало аргумента: x плюс 3 конец аргумента конец дроби =0,y=ax конец системы .$
имеет ровно два различных решения.
У6
Найдите все значений a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений левая круглая скобка y в квадрате минус xy плюс x минус 3y плюс 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x плюс 3 конец аргумента =0,a минус x минус y=0 конец системы .$
имеет ровно два различных решения.
У7
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
$система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2x минус 4 правая круглая скобка = |x минус 2| в кубе ,y=x плюс a конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
У8
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений левая круглая скобка ay минус ax плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус x плюс 3a правая круглая скобка =0, |xy|=a конец системы .$
имеет ровно шесть решений.
У9
Найдите значения параметра a, при которых система уравнений
$система выражений 6x в квадрате минус 5xy плюс y в квадрате плюс x минус y минус 2=0,y=ax минус 5 конец системы .$
имеет ровно одно решение.
У10
Найдите все значения параметра a, при которых система
$система выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус y умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка =a в кубе , новая строка левая круглая скобка 1 плюс 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус y умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка =a конец системы .$
имеет хотя бы одно решение.
У11
Найдите все значения параметра p, при каждом из которых система неравенств
$система выражений x в квадрате плюс 18px плюс 77p в квадрате меньше или равно 0, левая круглая скобка x минус 324 правая круглая скобка в квадрате больше или равно левая круглая скобка 29p правая круглая скобка в квадрате конец системы .$
имеет единственное решение.
У12
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
$система выражений |y| плюс |2x минус x в квадрате | = 4, y в квадрате плюс левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка в квадрате =a в квадрате конец системы .$
будет иметь ровно 8 решений.
У13
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений 2x в квадрате плюс 2y в квадрате =|x| плюс |y|, дробь: числитель: y минус 3, знаменатель: x минус 3 конец дроби =a конец системы .$
будет иметь ровно 3 решения.
У14
Найдите все значения a, при каждом из которых система
$система выражений 3|x минус 2a| плюс 2|y минус a|=6,xy минус x минус 2y плюс 2=0 конец системы .$
имеет ровно три различных решения.
У15
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений новая строка дробь: числитель: 5, знаменатель: x конец дроби плюс 3 минус y=\left|y минус 2 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби |, новая строка 2y левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка плюс 3x левая круглая скобка ax плюс 4 правая круглая скобка =xy левая круглая скобка 2a плюс 3 правая круглая скобка конец системы .$
имеет больше трех решений.
У16
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений новая строка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка y плюс 2=0, новая строка xy минус 1=x минус y. конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
У17
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка y в квадрате минус xy плюс 3x минус y минус 6 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x плюс 4 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 4 минус x конец аргумента конец дроби =0,x плюс y плюс a=0. конец системы .$
имеет ровно два решения.
У18
При каких значениях параметров а и b система $система выражений новая строка 4x плюс левая круглая скобка a в квадрате плюс 2ab плюс b в квадрате правая круглая скобка y=8, новая строка левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка x плюс 18y=4 конец системы .$ имеет бесконечно много решений?
У19
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений дробь: числитель: xy в квадрате минус 2xy минус 6y плюс 12, знаменатель: корень из: начало аргумента: x плюс 3 конец аргумента конец дроби =0,y=x плюс a конец системы .$
имеет ровно два различных решения.
У20
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений x в квадрате плюс |x в квадрате плюс 2x|=y в квадрате плюс |y в квадрате плюс 2y|,x плюс y=a конец системы .$
имеет больше двух решений.
У21
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений левая круглая скобка ay минус ax плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус x плюс 3a правая круглая скобка =0, |xy|=a конец системы .$
имеет ровно восемь решений.
У22
Найдите все значения a, при каждом из которых система
$система выражений |x минус a| плюс 2|y минус a|=5,xy минус x минус y плюс 1=0 конец системы .$
имеет ровно три различных решения.
У23
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений новая строка y плюс 2 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: x конец дроби =\left|y плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби минус 3|, новая строка 2y левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка плюс 3x левая круглая скобка ax минус 2 правая круглая скобка =xy левая круглая скобка 2a плюс 3 правая круглая скобка конец системы .$
имеет больше трёх решений.
У24
Найдите все значения параметра a, при котором система уравнений
$система выражений новая строка a левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка минус ax плюс левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка y плюс 1=0, новая строка xy минус 1=y минус x. конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
У25
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений дробь: числитель: xy в квадрате минус xy минус 4y плюс 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: x плюс 2 конец аргумента конец дроби =0,y=x плюс a конец системы .$
имеет ровно два различных решения.

Д1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
$система выражений yx в квадрате плюс y в квадрате =2y плюс 63 минус 7x в квадрате ,x\geqslant минус 3,x плюс y=a конец системы .$
имеет ровно два различных решения.
Д2
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =2a, 2xy=2a минус 1 конец системы .$ имеет ровно два решения.
Д3
При каких значениях параметров а и b система $система выражений новая строка 8x плюс левая круглая скобка a в квадрате плюс ab плюс b в квадрате правая круглая скобка y=4, новая строка левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка x плюс 26y=2 конец системы .$ имеет бесконечно много решений?
Д4
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений дробь: числитель: xy в квадрате минус 2xy минус 4y плюс 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: x плюс 4 конец аргумента конец дроби =0,y=ax конец системы .$
имеет ровно два различных решения.
Д5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений левая круглая скобка xy в квадрате минус 2xy минус 6y плюс 12 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 6 минус x конец аргумента =0,y=ax конец системы .$
имеет ровно три различных решения.
Д6
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений |x в квадрате минус 2x| минус x в квадрате =|y в квадрате минус 2y| минус y в квадрате ,x плюс y=a конец системы .$
имеет более двух решений.
Д7
Найдите все значения a, при каждом из которых система
$система выражений y в квадрате минус x минус 2=|x в квадрате минус x минус 2|,x минус y=a конец системы .$
имеет более двух решений.
Д8
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
$система выражений a=x в квадрате плюс 2x плюс 5,a= левая круглая скобка 2x плюс 8 минус 2y правая круглая скобка y минус 5 конец системы .$
имеет единственное решение.
Д9
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений новая строка y=a левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _x2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _y2 конец дроби =1. конец системы .$
не имеет решений.
Д10
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений a левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс y=3a,a плюс 2x в кубе =y в кубе плюс левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x в кубе конец системы .$
имеет не более двух решений.
Д11
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
$система выражений корень из: начало аргумента: 4 минус 2x плюс y конец аргумента =2,a левая круглая скобка x в квадрате плюс 3y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3y плюс 1 правая круглая скобка минус 2a минус 1=0 конец системы .$
имеет не более трех решений.
Д12
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений 2 в степени левая круглая скобка 2 минус 2y в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка |x| минус 2 правая круглая скобка в квадрате =8, 2 в степени левая круглая скобка 1 минус y в квадрате правая круглая скобка плюс x=a конец системы .$
имеет ровно 1 решение.
Д13
Найдите все значения a, при каждом из которых система
$система выражений левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус 17 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2y минус 9 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка \leqslant0,ax плюс y=1 конец системы .$
имеет единственное решение.
Д14
Найдите все значения параметра a при каждом из которых система
$система выражений левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 16 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0, левая круглая скобка x минус a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2a минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 4 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы .$
не имеет решений.
Д15
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 12 минус x в квадрате конец аргумента минус y правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка плюс x в квадрате минус y в квадрате минус 24 правая круглая скобка , знаменатель: 2 минус x в квадрате конец дроби =0 новая строка y=1 минус 2a. конец системы .$
имеет ровно два решения.
Д16
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множеством решений системы неравенств
$система выражений a\leqslant3 логарифм по основанию 3 x,ax\geqslant9,|x минус 9| плюс |x минус 27|\leqslant18 конец системы .$
является отрезок числовой прямой, длина которого равна 15.
Д17
При каких значениях параметра a система $система выражений новая строка y=x в квадрате минус 4x плюс 3, новая строка x в квадрате плюс y в квадрате плюс a в квадрате =4x плюс 2ay минус 3 конец системы .$ имеет решения?
Д18
При каких значениях параметра a хотя бы при одном значении параметра c система уравнений
$система выражений новая строка bx плюс y=ac в квадрате , новая строка x плюс by=ac плюс 1 конец системы .$
имеет решения для любых значений параметра b?
Д19
При каком значении параметра a система имеет ровно три решения?
$система выражений левая круглая скобка xy в квадрате минус xy минус 3y плюс 3 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 6 минус x конец аргумента =0,y=ax. конец системы .$
Д20
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
$система выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 3x минус 9 правая круглая скобка = |x минус 3| в кубе ,y=x плюс a конец системы .$
имеет ровно четыре различных решения.
Д21
Найдите все значения a, при каждом из которых система
$система выражений левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус 17 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2y минус 17 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка \leqslant0, минус ax плюс y=1 конец системы .$
имеет единственное решение.
Д22
Найдите все значения a, при каждом из которых система
$система выражений левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0, левая круглая скобка x минус a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2a плюс 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы .$
не имеет решений.
Д23
Найдите все значения параметра a, при котором система уравнений
$система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка y минус корень из: начало аргумента: 10 минус x в квадрате конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 5 правая круглая скобка в квадрате минус 10 левая круглая скобка x плюс 7,5 правая круглая скобка плюс x в квадрате минус y в квадрате плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 1 конец аргумента конец дроби =0, новая строка y=ax плюс a минус 1. конец системы .$
имеет одно решение.
Д24
При каких значениях параметра a для любых значений параметра b хотя бы при одном значении параметра с система уравнений
$система выражений новая строка bx минус y= минус ac в квадрате , новая строка x минус by= минус ac плюс 1 конец системы .$
имеет решения?
Д25
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
$система выражений левая круглая скобка xy в квадрате минус xy минус 6y плюс 6 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: y плюс 2 конец аргумента =0,y=ax конец системы .$
имеет ровно три различных решения.

Прямые \(y=k_1x+b_1\) и \(y=k_2x+b_2\)	Взаимное расположение
\(k_1=k_2\), \(b_1\ne b_2\)	параллельны
\(k_1=k_2\), \(b_1=b_2\)	совпадают
\(k_1\ne k_2\)	пересекаются
\(k_1k_2=-1\)	перпендикулярны