Задание 19 · Задача с параметром

19.6. Расположение корней квадратного трехчлена

Для репетитора: показать ответы

1. Зачем нужна эта тема

Во многих задачах с параметром условие сводится к вопросу: где на числовой оси лежат корни квадратного трёхчлена $f(x)=ax^2+bx+c$ относительно заданных чисел — больше или меньше числа, по разные стороны от него, внутри промежутка. Для ответа не нужно искать сами корни: достаточно посмотреть на параболу и знать три величины — знак дискриминанта $D$, абсциссу вершины $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ и значения $f$ в нужных точках.

2. Метод «гвоздей»: корни относительно числа $k$

Пусть ветви параболы направлены вверх ($a>0$). Корни $x_1\le x_2$.

Расположение	Условия
Число $k$ лежит между корнями: \(x_1	$f(k)<0$ (условие $D>0$ выполняется автоматически)
Оба корня больше $k$	$D\ge0$ (или $D>0$, если корни различны), $f(k)>0$, $x_0>k$
Оба корня меньше $k$	$D\ge0$ (или $D>0$, если корни различны), $f(k)>0$, \(x_0

Если $a<0$, условия на знак $f$ меняются на противоположные (или умножьте функцию на $-1$ и сведите задачу к случаю $a>0$).

3. Корни и промежутки $(m;n)$

Расположение	Условия (ветви вверх)
Оба корня лежат в интервале $(m;n)$	$D>0$, $f(m)>0$, $f(n)>0$, \(m
Ровно один корень в $(m;n)$, второй больше $n$	$f(m)>0$, $f(n)<0$
Ровно один корень в $(m;n)$, второй меньше $m$	$f(m)<0$, $f(n)>0$
Один корень в $(m;n)$, другой в $(p;q)$ (интервалы не пересекаются, \(m	$f(m)f(n)<0$ и $f(p)f(q)<0$

Примеры: «оба корня $\ge-1$» даёт $D\ge0$, $f(-1)\ge0$, $x_0>-1$; «один корень в $[2;4)$, другой $\le-3$» даёт $f(-3)\le0$, $f(2)\le0$, $f(4)>0$, $x_0<4$. Если неравенства на $f$ нестрогие, условие $D>0$ часто выполняется само и его можно не писать.

Для приведённого трёхчлена $x^2+px+q$ всё то же самое записывается так: $D=p^2-4q$, $x_0=-\dfrac{p}{2}$, $f(k)=k^2+pk+q$.

4. Теорема Виета для знаков корней

Корни разных знаков: $\dfrac{c}{a}<0$ (тогда $D>0$ выполняется само).
Корни одного знака: $\dfrac{c}{a}>0$ и $D\ge0$.
Оба положительны: $D\ge0$, $\dfrac{c}{a}>0$, $-\dfrac{b}{a}>0$.
Оба отрицательны: $D\ge0$, $\dfrac{c}{a}>0$, $-\dfrac{b}{a}<0$.
Виет удобен, когда условие касается суммы, произведения или знаков корней, а также соотношений вроде $x_1=2x_2$.

5. Алгоритм решения задачи

Введите функцию $f(x)$ — левую часть квадратного уравнения.
Проверьте вырожденный случай (коэффициент при $x^2$ равен нулю): уравнение становится линейным.
Нарисуйте схематически параболу с нужным расположением корней и точек.
Запишите условия для $D$, $f$ в «гвоздях» и положения вершины $x_0$.
Решите получившуюся систему неравенств относительно параметра, объедините с вырожденным случаем.
Проверьте граничные значения подстановкой.

6. Когда квадратный трёхчлен получился после замены

Если исходная задача сводится к квадратному уравнению относительно новой переменной $t$ (например, $t=|x|$, $t=2^x$, $t=\cos x$), то требования к исходным корням переводятся в требования к корням по $t$ с учётом области значений $t$. Например, чтобы исходное уравнение имело четыре корня при $t=x^2$, нужны два различных положительных корня по $t$: $D>0$, $t_1+t_2>0$, $t_1t_2>0$.

Лайфхак 1. Дискриминант часто не нужен. Если требуется, чтобы число $k$ лежало строго между корнями, достаточно условия $f(k)<0$ при $a>0$: из него следует $D>0$.

Лайфхак 2. Рисуйте параболу. Для каждого расположения корней нарисуйте эскиз и по нему выписывайте условия: знаки $f$ в «гвоздях», вершина, дискриминант.

Лайфхак 3. Нестрогие неравенства экономят условия. Если на концах требуются нестрогие неравенства для $f$ (например, $f(-3)\le0$ и $f(2)\le0$), то условие $D>0$ часто следует из них само.

Лайфхак 4. Всегда проверяйте старший коэффициент. При $a=0$ квадратного трёхчлена нет — рассмотрите линейный случай отдельно.

Разобранные примеры

Пример 1

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(x-1)a^2-x(x^2-1)a+x^4-2x^2+1=0$ имеет ровно два различных корня.

Решение

Разложим левую часть:
$(x-1)(x+1-a)(x^2-1-a)=0$.
Получаем фиксированный корень $x=1$, корень $x=a-1$, а при $a\ge-1$ также $x=\pm\sqrt{a+1}$.
При $a<-1$ последних корней нет, поэтому остаются ровно два различных решения.
При $a=0$ имеем $x=a-1=-1$ и $x=\pm1$, то есть множество решений равно $\{-1,1\}$.
При остальных $a\ge-1$ число различных корней не равно двум.
Ответ: $(-\infty,-1)\cup\{0\}$

Пример 2

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^4-7x^3+14x^2-8x+(x-1)ax=5x^3-35x^2+70x-40+5(x-1)a$ имеет ровно два различных корня.

Решение

Перенесём все слагаемые в левую часть:
$(x-5)(x-1)(x^2-6x+a+8)=0$.
Фиксированные корни равны $x=1$ и $x=5$.
Дискриминант квадратного множителя равен $4(1-a)$. При $a>1$ дополнительных действительных корней нет, поэтому остаются ровно два решения.
При $a\le1$ оба дополнительных корня должны совпасть с $1$ и $5$. Это выполняется при $a=-3$, поскольку $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$.
Ответ: $\{-3\}\cup(1,+\infty)$

Источники

«Геометрия квадратного трёхчлена», методическое пособие, Интернат при МГУ (internat.msu.ru), 2015
«Параметр. Шпаргалка» (задания с параметром), Школково (shkolkovo.online)
«Параметр. Алгебра. Шпаргалка», Школково (shkolkovo.online)
Материалы А. В. Шевкина по задачам с параметрами, brodovo19.uralschool.ru
«Особенности решения задания 18 высокого уровня сложности ЕГЭ», методические материалы, wiki.admsurgut.ru

У1
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства
$дробь: числитель: a минус левая круглая скобка a в квадрате минус 2a минус 3 правая круглая скобка синус x плюс 4, знаменатель: 1,5 плюс 0,5 косинус 2x плюс a в квадрате конец дроби меньше 1$
содержит отрезок $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$
У2
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
$\left| x минус a в квадрате | минус корень из: начало аргумента: x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента больше или равно 0$
выполняется при любом допустимом значении x.
У3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка минус a умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка плюс a, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 конец дроби =3$
имеет хотя бы одно решение.
У4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$левая круглая скобка 4 косинус x минус 3 минус a правая круглая скобка умножить на косинус x минус 2,5 косинус 2x плюс 1,5 = 0$
имеет хотя бы один корень.
У5
Найдите все значения параметра a, при которых неравенство
$синус в степени 4 x плюс косинус в степени 4 x больше a умножить на синус x умножить на косинус x$
выполнено при любом значении x.
У6
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений 4x в квадрате минус 12xy плюс 9y в квадрате плюс 2x минус 6y=0,5x в квадрате минус 16xy плюс 13y в квадрате минус 6x плюс 10y плюс 2ax минус 4ay плюс a в квадрате минус 2a минус 5=0 конец системы .$
имеет хотя бы одно решение.
У7
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: 5 в степени x минус a конец аргумента плюс дробь: числитель: a минус 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 в степени x минус a конец аргумента конец дроби = 1$
имеет ровно два различных корня.
У8
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$5 косинус 2x плюс 1 = 2 левая круглая скобка 3 минус 4 синус x минус a правая круглая скобка синус x$
имеет хотя бы один корень.
У9
Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства
$дробь: числитель: a минус левая круглая скобка a в квадрате минус 2a правая круглая скобка косинус 2x плюс 2, знаменатель: 3 минус косинус 4x плюс a в квадрате конец дроби меньше 1$
содержит отрезок $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$
У10
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(x^2-x)a^2+(x^4-x^3-x+1)a-x^3+x^2=0$ имеет ровно два различных корня.
У11
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $ax^4-x^3+(a^3-a)x^2-(a^2-1)x=ax^3-x^2+(a^3-a)x-a^2+1$ имеет ровно два различных корня.
У12
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(x-1)a^2-(x^3-2x^2+3x-2)a-x^4+3x^3-2x^2=0$ имеет ровно два различных корня.
У13
При каких значениях параметра $a$ число 3 заключено между корнями уравнения

$x2− (2a− 1)x + 4− a= 0 ?$
У14
При каких значениях параметра $a$ уравнение

$2 2 x + 3ax − a + 1= 0$

имеет два корня из отрезка $[− 3;0]$ ?
У15
Докажите, что уравнение

$2 2 2 2 (a − a+ 1)x + (2a + 10a +3)x− 4a − 9a− 5= 0$

имеет два различных корня при любом значении $a$ .
У16
При каких $a$ корни $x1$ и $x2$ уравнения

$2 (3a+ 2)x +(a− 1)x+ 4a+ 3= 0$

удовлетворяют условию $x1 < − 1< x2 < 1?$
У17
Найдите все значения $a$ , при каждом из которых среди корней уравнения

$2 ax + (a+ 4)x +a +1= 0$

имеется ровно один отрицательный.
У18
При каких значениях параметра $a$ у уравнения

$2 x − 2(a +1)x+ 9a− 5= 0$

есть корни, и все они удовлетворяют условию $x> 5$ ?
У19
При каких значениях параметра $a$ число 2 заключено между корнями уравнения

$x2− (a+ 4)x + 3a− 1= 0 ?$
У20
Найдите все значения $a,$ при которых квадратичный трехчлен

$2 (a− 1)x − (4a +1)x+ 8a+ 6$

имеет один или два корня, каждый из которых больше $1.$
У21
При каких значениях $a ⁄= − 1$ сумма корней данного уравнения будет наименьшей?

$2 2 2 3 (a+ 1)x − (a(2a − 3) + 1+ a+ (3− 2a) )x − (a+ 2) = 0$
У22
Найдите все значения параметра $a,$ при которых у уравнения

$2 2 x − (2a +1)x+ a + 2= 0$

существуют ровно два различных корня, которые отличаются ровно в два раза.
У23
Найдите все возможные значения параметра $a$ , при которых уравнение

$(x2 − 6x + a − 10)(x2 − 6x − 2a + 3) = 0$

имеет четыре различных корня, образующих арифметическую прогрессию.
У24
Найдите все значения $a,$ при которых уравнение

$2 ax + 2(a +2)x+ a+ 5= 0$

имеет два корня, расстояние между которыми больше 1.
У25
При каких значениях $p$ уравнение

$∘ ---p p 4(x − p⋅7)x+ p+ 7(7 − 1)=0$

имеет корни и каковы знаки корней при различных значениях $p$ ?

Д1
Найдите все значения a, при которых уравнение
$дробь: числитель: 4a, знаменатель: a минус 6 конец дроби умножить на 3 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка =9 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 3a плюс 4, знаменатель: a минус 6 конец дроби$
имеет ровно два различных корня.
Д2
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство $a плюс 2x плюс 5 корень из: начало аргумента: 2x плюс 1 конец аргумента больше минус левая круглая скобка 2ax плюс 3 правая круглая скобка$ верно для всех x из отрезка [0; 1,5].
Д3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 1 минус 2a корень из: начало аргумента: 1 плюс x в квадрате конец аргумента плюс a левая круглая скобка 1 плюс x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 плюс x в квадрате правая круглая скобка минус 2 корень из: начало аргумента: 1 плюс x в квадрате конец аргумента конец дроби =3$
имеет хотя бы одно решение.
Д4
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x в квадрате плюс |x| правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 5|x| плюс 6 правая круглая скобка плюс 1 конец аргумента =3|x| минус 3ax минус a в квадрате плюс 1$
имеет корни как большие −3, так и меньшие −3.
Д5
Найти все значения х, при каждом из которых неравенство
$левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка умножить на x в кубе плюс левая круглая скобка 1 минус 2a правая круглая скобка умножить на x в квадрате минус 6x плюс левая круглая скобка 5 плюс 4a минус a в квадрате правая круглая скобка меньше 0$
выполняется хотя бы при одном значении а, принадлежащем отрезку [−1; 2].
Д6
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: a, знаменатель: 25 в степени x конец дроби минус a=2 минус дробь: числитель: 25 в степени левая круглая скобка минус 2x правая круглая скобка , знаменатель: 5 конец дроби$
имеет ровно 2 корня, хотя бы один из которых не менее 0,5.
Д7
Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства
$дробь: числитель: a минус левая круглая скобка a в квадрате минус 2a минус 3 правая круглая скобка косинус x плюс 4, знаменатель: синус в квадрате x плюс a в квадрате плюс 1 конец дроби меньше 1$
содержит отрезок $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д8
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: 4 в степени x минус a конец аргумента плюс дробь: числитель: a минус 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 4 в степени x минус a конец аргумента конец дроби = 1$
имеет ровно два различных корня.
Д9
При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^2-(4a+3)x+5a+2=0$ имеет два различных корня?
Д10
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $ax^4-2x^3+(a^3-a)x^2-(2a^2-2)x=-ax^3+2x^2-(a^3-a)x+2a^2-2$ имеет ровно два различных корня.
Д11
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^4-x^3-3x^2-x+a(x+1)x=3x^3-3x^2-9x-3+3a(x+1)$ имеет ровно два различных корня.
Д12
При каких значениях параметра $a$ уравнение

$2 x +2(a− 2)x− 4a+ 5= 0$

имеет два различных корня, причем оба больше $− 1?$
Д13
Найдите все положительные значения параметра $a$ , при каждом из которых оба корня уравнения

$2 2 (1− a )x − 2ax +1 = 0$

не меньше $− 3$ .
Д14
При каких $a$ корни уравнения $x2+ x+ a= 0$ больше $a$ ?
Д15
При каких $a$ все корни уравнения

$2 ax + (4− 2a)x + 1= 0$

по модулю меньше 1?
Д16
При каких значениях $a$ один из корней уравнения

$2 2 (a + a+ 1)x +(2a− 3)x+ a− 5= 0$

больше 1, а другой меньше 1?
Д17
Найдите все значения $a,$ при которых квадратный трехчлен

$2 (a − 1)x − (2a+ 1)x +2 +5a$

имеет один или два корня, каждый из которых больше 1.
Д18
При каких $a$ все корни уравнения

$2 2 x − 6ax+ 10a − a− 4= 0$

больше $a$ .
Д19
При каких значениях параметра $a$ уравнение

$2 x − 2ax+ a+ 2= 0$

имеет два различных корня, причем оба больше $1?$
Д20
При каких значениях параметра $a$ сумма корней уравнения

$4 2 2 ax − 4a x+ x + a + 5x = 0$

будет наибольшей?
Д21
При каких $a$ уравнение

$2 (a+ 1)x − (2a+1)x+ a− 2= 0$

имеет два положительных корня?
Д22
При каких $a$ сумма квадратов корней уравнения

$2 x − 2ax+ 2a− 5= 0$

будет наименьшей?
Д23
Найдите все значения $a,$ при которых модуль разности корней уравнения

$2 2 x − 6x+ 12+ a − 4a= 0$

принимает наибольшее значение.
Д24
Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

$2 x + (a+ 2)x +3a − 1 = 0$

имеет два корня, причем один из них положительный, а второй отрицательный.
Д25
Пусть $x ,x 1 2$ – корни квадратного трехчлена $(a− 1)x2− (2a+ 1)x +2+ 5a$ . Найдите все $b$ , для каждого из которых величина $(x1− b)(x2 − b)$ принимает постоянное значение при всех $a$ , при которых она определена.

Расположение	Условия
Число \(k\) лежит между корнями: \(x_1	\(f(k)<0\) (условие \(D>0\) выполняется автоматически)
Оба корня больше \(k\)	\(D\ge0\) (или \(D>0\), если корни различны), \(f(k)>0\), \(x_0>k\)
Оба корня меньше \(k\)	\(D\ge0\) (или \(D>0\), если корни различны), \(f(k)>0\), \(x_0

Расположение	Условия (ветви вверх)
Оба корня лежат в интервале \((m;n)\)	\(D>0\), \(f(m)>0\), \(f(n)>0\), \(m
Ровно один корень в \((m;n)\), второй больше \(n\)	\(f(m)>0\), \(f(n)<0\)
Ровно один корень в \((m;n)\), второй меньше \(m\)	\(f(m)<0\), \(f(n)>0\)
Один корень в \((m;n)\), другой в \((p;q)\) (интервалы не пересекаются, \(m	\(f(m)f(n)<0\) и \(f(p)f(q)<0\)