Задание 19 · Задача с параметром

19.9. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Для репетитора: показать ответы

1. Что такое аналитический метод

Аналитический (алгебраический) метод — это решение уравнений, неравенств и систем при всех допустимых значениях параметра с помощью равносильных преобразований, замен переменной и необходимых и достаточных условий. Он удобен, когда графическая картина неочевидна или нужно строгое обоснование.

2. Алгоритм

Упростите уравнение (неравенство, систему) равносильными преобразованиями и найдите ОДЗ переменной.
Из условия задачи получите ограничения на параметр.
Оформите эти ограничения в виде уравнения, неравенства или системы.
Решите полученную систему и запишите ответ.

Основная схема исследования: выяснить, как параметр влияет на решение, найти ОДЗ параметра, рассмотреть все случаи и отобрать значения, удовлетворяющие условию.

3. Основные инструменты

Разбор по старшему коэффициенту и дискриминанту: линейный и квадратный случаи.
Теорема Виета и теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена.
Замена переменной. Нужно понять, сколько значений старой переменной соответствует каждому значению новой, и тогда переформулировать задачу для новой переменной. При этом сохраняйте ОДЗ и проверяйте, все ли значения новой переменной дают корни исходной задачи.
Метод «хорошего» и «плохого» корня (см. карточку про радикалы): находим потенциальные корни, для каждого определяем, при каких $a$ он подходит.
Общие корни двух уравнений: решаем систему $f(x,a)=0$, $g(x,a)=0$.
Метод оценки и монотонность — для доказательства единственности.
Симметрия — для необходимого условия единственности решения.

4. Замена переменной: примеры

$t=|x+1|$: при $t<0$ решений нет; $t=0$ даёт $x=-1$; $t>0$ даёт два корня.
$t=5^x$: тогда $t>0$; квадратное по $t$ уравнение анализируют с учётом этого условия.
$t=\log_5x$: замена взаимно однозначна, поэтому число корней по $t$ совпадает с числом корней по $x$.
$t=\log_2(x+1)-\log_2(x-1)=\log_2\dfrac{x+1}{x-1}$: получаем $x=\dfrac{2^t+1}{2^t-1}$, и условие $x>1$ равносильно $t>0$.
$t=\sin x$ или $t=\cos x$: помните, что $-1\le t\le1$.

5. Равносильность и следствие

Если множество решений первого условия $U_1$, а второго — $U_2$, то «из 1 следует 2» означает $U_1\subseteq U_2$, а «1 равносильно 2» означает $U_1=U_2$. Возведение в квадрат, сокращение и другие преобразования могут давать лишь следствие, поэтому найденные значения нужно проверять.

6. Рациональные уравнения

Дробь $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0$ равносильна системе $P(x)=0$, $Q(x)\ne0$. Значения параметра, при которых корень числителя обращает в ноль знаменатель, исключаются из ответа.

7. Наименьшее значение, оценки, касание

Квадратичная функция на промежутке: сравните вершину $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ с границами; экстремум на границе или в вершине.
Касание графиков $f$ и $g$ в точке $x_0$: $f(x_0)=g(x_0)$ и $f'(x_0)=g'(x_0)$. Парабола касается невертикальной прямой при $D=0$ для уравнения $ax^2+bx+c=kx+p$.

8. Критерии оценивания

Задача оценивается в 4 первичных балла. Полное обоснованное решение с верным ответом даёт максимальный балл. Записывайте идею решения: за идею и исследование баллы ставятся и без полного решения.

Лайфхак 1. Если можно сделать замену — сделайте. А если задачу удобно решить графически, решайте графически.

Лайфхак 2. Проверяйте ответ подстановкой. Найденные значения параметра подставьте в исходное условие и убедитесь, что число решений нужное; лишние значения (например, $a=1{,}2$ при условии $a>2$) отбросьте.

Лайфхак 3. Корень можно подобрать, но надо доказать единственность. Если корень очевиден, обязательно докажите, что других нет (монотонность, оценка).

Лайфхак 4. Сравнивайте иррациональные числа оценкой. Чтобы понять расположение корней относительно заданных точек, оценивайте корни, например $7<\sqrt{57}<8$.

Разобранные примеры

Пример 1

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

$левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 2a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =8a в квадрате левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка$

имеет ровно один корень.

Решение

Пусть $t=x в квадрате плюс x плюс 1,$ тогда

$левая круглая скобка t плюс 2a в квадрате правая круглая скобка в квадрате =4 умножить на 2a в квадрате t равносильно t в квадрате плюс 2 умножить на 2a в квадрате t плюс левая круглая скобка 2a в квадрате правая круглая скобка в квадрате =4 умножить на 2a в квадрате t равносильно$

$равносильно t в квадрате минус 2 умножить на 2a в квадрате t плюс левая круглая скобка 2a в квадрате правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка t минус 2a в квадрате правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно t минус 2a в квадрате =0.$

Вернувшись к исходной переменной, получим квадратное уравнение $x в квадрате плюс x плюс 1 минус 2a в квадрате =0.$ Квадратное уравнение имеет ровно один корень, тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:

$1 минус 4 умножить на левая круглая скобка 1 минус 2a в квадрате правая круглая скобка =0 равносильно 8a в квадрате =3 равносильно a в квадрате = дробь: числитель: 6, знаменатель: 16 конец дроби равносильно a=\pm дробь: числитель: корень из 6 , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: корень из 6 , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: корень из 6 , знаменатель: 4 конец дроби правая фигурная скобка .$

Пример 2

Найдите все значения параметра α, при каждом из которых уравнение $x в степени 4 синус альфа плюс 2 x в квадрате косинус альфа плюс синус альфа =0$ имеет ровно два различных решения.

Решение

Пусть $x в квадрате =t.$ Для того чтобы исходное уравнение имело ровно 2 различных корня, уравнение

$t в квадрате синус альфа плюс 2t косинус альфа плюс синус альфа =0 левая круглая скобка * правая круглая скобка$

должно иметь ровно один положительный корень.

Если $синус альфа =0,$ то уравнение (⁎) равносильно уравнению $t=0,$ что не удовлетворяет условию задачи. Если $синус альфа не равно 0,$ то

$t в квадрате синус альфа плюс 2t косинус альфа плюс синус альфа =0 равносильно t в квадрате плюс 2t\ctg альфа плюс 1=0.$

По теореме Виета произведение корней полученного квадратного уравнения равно 1. Значит, это уравнение имеет ровно один положительный корень только в случае, когда его дискриминант равен нулю и абсцисса вершины параболы, являющейся графиком левой части уравнения, положительна:

$система выражений \ctg в квадрате альфа минус 1=0, минус \ctg альфа больше 0 конец системы . равносильно система выражений \ctg альфа =\pm1,\ctg альфа меньше 0 конец системы . равносильно \ctg альфа = минус 1 равносильно альфа = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

Ответ: $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

Источники

«Особенности решения задания 18 высокого уровня сложности ЕГЭ», методические материалы, wiki.admsurgut.ru
«Параметр. Алгебра. Шпаргалка», Школково (shkolkovo.online)
«Параметр. Шпаргалка» (задания с параметром), Школково (shkolkovo.online)
Материалы А. В. Шевкина по задачам с параметрами, brodovo19.uralschool.ru
Прокофьев А. А., «Методы решения задач с параметром» (ЕГЭ, занятие 18), abiturient.ru, 2017

У1
Найдите все значения a, при которых уравнение $| косинус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2a|= косинус в квадрате x плюс синус x плюс 2a$ имеет на промежутке $совокупность выражений минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,0 конец совокупности правая круглая скобка$ единственный корень.
У2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: x минус 2a, знаменатель: x плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x минус a конец дроби =1$
имеет ровно один корень.
У3
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка 2x плюс a плюс 1 плюс тангенс x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2x плюс a минус 1 минус тангенс x правая круглая скобка в квадрате$
имеет единственное решение на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У4
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
$натуральный логарифм левая круглая скобка 3a минус x правая круглая скобка \ln левая круглая скобка 2x плюс 2a минус 5 правая круглая скобка =\ln левая круглая скобка 3a минус x правая круглая скобка \ln левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
У5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $дробь: числитель: синус x минус a косинус x, знаменатель: синус x плюс косинус x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: a плюс 2 конец дроби$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У6
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции
$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3|x плюс a| плюс |x в квадрате минус x минус 2|$
меньше 2.
У7
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
$левая круглая скобка синус x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка тангенс x минус a правая круглая скобка =0$
имеет единственное решение на интервале $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$
У8
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x минус 0,5 конец аргумента правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка корень из: начало аргумента: a минус 8x в степени 4 конец аргумента минус 2x в квадрате правая круглая скобка =0$
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее неравенству $x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше 0.$
У9
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 9x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате конец дроби =0$
имеет ровно два различных решения.
У10
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
$левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 3ax плюс 8 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 3ax плюс 6 конец аргумента правая круглая скобка в степени x плюс левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 3ax плюс 8 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 3ax плюс 6 конец аргумента правая круглая скобка в степени x =2 левая круглая скобка корень из 2 правая круглая скобка в степени x$
имеет единственное решение.
У11
Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
$логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax плюс 5 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс ax плюс 6 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка 3\geqslant0$
имеет одно решение.
У12
Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$x в степени 6 минус 6ax в степени 5 плюс 12a в квадрате x в степени 4 минус 8a в кубе x в кубе минус 7x в квадрате плюс 14ax минус 6=0$
имеет ровно два корня.
У13
Определите, при каких значениях параметра a уравнение
$|x в квадрате минус a в квадрате |=|x плюс a| корень из: начало аргумента: 3x плюс 1 конец аргумента$
имеет два различных решения.
У14
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$|x в квадрате минус a в квадрате |=|x плюс a| корень из: начало аргумента: x в квадрате минус ax плюс 4a конец аргумента$
имеет ровно два различных корня.
У15
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$5x плюс дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 36 конец аргумента конец дроби =a корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 36 конец аргумента$
имеет хотя бы один корень.
У16
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 4x плюс 4a минус a в квадрате конец аргумента =0$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
У17
Найдите наибольшее значение параметра a, при котором уравнение
$ax в квадрате =2|x минус 2| корень из: начало аргумента: 0,5x минус 1 конец аргумента плюс |x минус 4| корень из: начало аргумента: x минус 1 конец аргумента$
имеет хотя бы один корень.
У18
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: x минус 8 a, знаменатель: x плюс 8 конец дроби плюс дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x минус 2 a конец дроби = 1$
имеет единственный корень.
У19
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка 2x плюс a плюс 1 минус тангенс x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2x плюс a минус 1 плюс тангенс x правая круглая скобка в квадрате$
имеет единственное решение на отрезке $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .$
У20
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
$\ln левая круглая скобка 6a минус x правая круглая скобка \ln левая круглая скобка 2x плюс 2a минус 2 правая круглая скобка =\ln левая круглая скобка 6a минус x правая круглая скобка \ln левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
У21
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $дробь: числитель: косинус x плюс a синус x, знаменатель: синус x плюс косинус x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 минус a конец дроби$ имеет хотя бы одно решение на интервале $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$
У22
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 9x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: 3x минус 9 плюс 2a конец дроби =0$
имеет ровно два различных решения.
У23
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: |3x| минус 2x минус 2 минус a, знаменатель: x в квадрате минус 2x минус a конец дроби =0$
имеет ровно два различных корня.
У24
Найдите все значения a, при которых уравнение $|2 синус в квадрате x плюс 8 косинус x минус 3a|=2 синус в квадрате x плюс 7 косинус x плюс 3a$ имеет на промежутке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , Пи правая круглая скобка$ единственный корень.
У25
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
$\ln левая круглая скобка 6a минус x правая круглая скобка \ln левая круглая скобка 2x плюс 2a минус 2 правая круглая скобка =\ln левая круглая скобка 6a минус x правая круглая скобка \ln левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].

Д1
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка тангенс x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате плюс 2a плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка тангенс x плюс 6 правая круглая скобка плюс a в квадрате левая круглая скобка 2a плюс 8 правая круглая скобка =0$
имеет на отрезке $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ ровно два решения.
Д2
Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение $корень из: начало аргумента: a синус x плюс косинус x конец аргумента = корень из: начало аргумента: a косинус x плюс синус x конец аргумента$ имеет решения на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д3
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $4 в степени x плюс левая круглая скобка a минус 6 правая круглая скобка 2 в степени x = левая круглая скобка 2 плюс 3|a| правая круглая скобка 2 в степени x плюс левая круглая скобка a минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 3|a| плюс 2 правая круглая скобка$ имеет единственное решение.
Д4
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
$корень из: начало аргумента: 4x минус 1 конец аргумента \ln левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 минус a в квадрате правая круглая скобка =0$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Д5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$x в кубе плюс 4x в квадрате минус ax плюс 6=0$
имеет единственный корень на отрезке [−2; 2].
Д6
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 9x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: 3x минус 9 минус 2a конец дроби =0$
имеет ровно два различных решения.
Д7
При каких значениях b неравенство
$x в квадрате плюс левая круглая скобка 2a плюс 4b правая круглая скобка x плюс 2a в квадрате b плюс 4b в квадрате минус 2ab минус 6b плюс 15\leqslant0$
не имеет решений ни при одном значении a?
Д8
Найдите все значения a, при которых уравнение $левая круглая скобка x в квадрате минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 2x плюс a конец аргумента правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 2x плюс a$ имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
Д9
Найдите все значения α, при каждом из которых оба числа $3 синус альфа плюс 5$ и $9 косинус 2 альфа минус 36 синус альфа минус 18$ являются решениями неравенства
$дробь: числитель: левая круглая скобка 25x минус 3x в квадрате плюс 18 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x минус 1 конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 4 |x минус 7| минус 1 конец дроби \geqslant0.$
Д10
Найдите все значения параметра а, при которых уравнения $4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 16$ и $|a минус 9| умножить на 3 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс a умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка =1$ равносильны.
Д11
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: |x минус 6| плюс a минус 6, знаменатель: x в квадрате минус 10x плюс a в квадрате конец дроби = 0$
имеет ровно два различных корня.
Д12
При каких x для любого y существует z такое, что
$синус левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка = косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка умножить на \left|y плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби | плюс дробь: числитель: \left|y минус \tfrac3, знаменатель: 2 конец дроби |2 косинус x?$
Д13
Определите, при каких значениях параметра a уравнение
$|x в квадрате минус a в квадрате |=|x плюс a| корень из: начало аргумента: 4x плюс 3 конец аргумента$
имеет два различных решения.
Д14
При каких значениях параметра а уравнение $|x в квадрате минус a в квадрате | плюс 8 = |x плюс a| плюс 8 |x минус a|$ имеет ровно три различных решения?
Д15
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых три различных корня уравнения
$x в кубе плюс левая круглая скобка a в квадрате минус 9a правая круглая скобка x в квадрате плюс 8ax минус 64=0$
образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти корни.
Д16
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множеством решений неравенства
$дробь: числитель: ax в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате плюс 2a плюс 8 правая круглая скобка x плюс 8a плюс 16, знаменатель: x конец дроби \geqslant0$
является ровно один промежуток числовой прямой.
Д17
Найдите все значения a, при которых уравнение $| косинус в квадрате x плюс 2 синус x минус 4a|= косинус в квадрате x плюс синус x плюс 4a$ имеет на промежутке $совокупность выражений минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,0 конец совокупности правая круглая скобка$ единственный корень.
Д18
Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение $корень из: начало аргумента: косинус x минус a синус x конец аргумента = корень из: начало аргумента: a косинус x минус синус x конец аргумента$ имеет решения на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д19
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $25 в степени x минус левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка 5 в степени x = левая круглая скобка 5 плюс 3|a| правая круглая скобка 5 в степени x минус левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 3|a| плюс 5 правая круглая скобка$ имеет единственное решение.
Д20
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
$\ln левая круглая скобка 5x минус 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 2a минус a в квадрате конец аргумента =0$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Д21
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$x в кубе плюс 2x в квадрате минус ax плюс 4=0$
имеет единственный корень на отрезке [−1; 2].
Д22
Найдите все значения параметра α, при каждом из которых уравнение $x в степени 4 косинус альфа плюс 2 x в квадрате синус альфа плюс косинус альфа =0$ имеет ровно два различных решения.
Д23
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$|x в квадрате минус a в квадрате |=|x минус a| корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 4ax плюс 5a конец аргумента$
имеет ровно два различных корня.
Д24
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: x минус 2 a, знаменатель: x плюс 3 конец дроби плюс дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x минус a конец дроби =1$
имеет ровно один корень.
Д25
Найдите все значения a, при которых уравнение $| синус в квадрате x плюс 2 косинус x плюс a|= синус в квадрате x плюс косинус x минус a$ имеет на промежутке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая круглая скобка$ единственный корень.