Задание 2 · Векторы

2.1. Векторы и операции с ними

Для репетитора: показать ответы

1. Вектор и основные понятия

Вектор — направленный отрезок: у него есть начало и конец. Вектор с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ обозначают $\overrightarrow{AB}$.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Они бывают сонаправленными и противоположно направленными.
Равные векторы сонаправлены и имеют одинаковую длину. Например, в параллелограмме $ABCD$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AD}$.
Условие коллинеарности в координатах: координаты векторов пропорциональны.

2. Сложение и вычитание векторов

Правило треугольника: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (конец первого вектора совмещается с началом второго).
Правило параллелограмма: сумма двух векторов, отложенных от одной точки, — диагональ параллелограмма, построенного на них, выходящая из этой же точки.
Вычитание: $\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)$. Для векторов с общим началом: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}$ — вектор из конца вычитаемого в конец уменьшаемого.
Умножение на число: $(\alpha+\beta)\vec a=\alpha\vec a+\beta\vec a$, $\alpha(\vec a+\vec b)=\alpha\vec a+\alpha\vec b$, $(\alpha\beta)\vec a=\alpha(\beta\vec a)$.

3. Координаты вектора и действия с ними

Что найти	Формула
Координаты вектора по точкам $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$	$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\;y_2-y_1)$ — «конец минус начало»
Длина вектора $\vec b(x;y)$	$\|\vec b\|=\sqrt{x^2+y^2}$
Сумма	$\vec a(x_1;y_1)+\vec b(x_2;y_2)=(x_1+x_2;\;y_1+y_2)$
Разность	$\vec a-\vec b=(x_1-x_2;\;y_1-y_2)$
Умножение на число $k$	$k\vec a=(kx_1;\;ky_1)$

4. Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов — число (а не вектор).

Через длины и угол: $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между векторами.
Через координаты: $\vec a\cdot\vec b=x_ax_b+y_ay_b$.
Угол между векторами: $\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}$.
Перпендикулярность: $\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$.
Знак: если угол тупой, скалярное произведение отрицательно; для острого угла — положительно.

Свойства скалярного произведения

$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$;
$(k\vec a)\cdot\vec b=k(\vec a\cdot\vec b)$;
$\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c$;
$\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$ (скалярный квадрат);
$|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$.

Для смежных углов $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$: поэтому косинусы углов $120^\circ$, $135^\circ$ отрицательны.

5. Как решать задание №2

Если векторы заданы на сетке или координатами. Выпишите координаты всех нужных векторов («конец минус начало»), затем выполните действия покоординатно.
Если векторы заданы на фигуре (треугольник, ромб, параллелограмм). Выразите нужные векторы через два базисных (например, $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$), раскройте скобки как в алгебре с учётом $\vec p\cdot\vec p=|\vec p|^2$ и значений косинусов.
Модуль суммы. Достройте до параллелограмма (ромба): сумма векторов с общим началом — диагональ, длину которой находят по теореме Пифагора или косинусов.
Модуль разности. $|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{BA}|$ — длина стороны, соединяющей концы векторов; при необходимости используйте теорему косинусов.
Угол между векторами. Векторы должны выходить из одной точки; при необходимости перенесите один из них.
Нужно найти неизвестную координату. Составьте уравнение (по длине, по перпендикулярности $\vec a\cdot\vec b=0$ или по пропорциональности координат), решите и проверьте условие (знак, наибольшее или наименьшее значение).

Лайфхак 1. Правило параллелограмма. Для суммы двух векторов с общим началом достройте фигуру до параллелограмма или ромба и ищите диагональ, выходящую из общего начала.

Лайфхак 2. Разность — сторона треугольника. Разность векторов с общим началом — это вектор, соединяющий их концы; её модуль — длина стороны, и её находят по теореме косинусов или Пифагора.

Лайфхак 3. Два базисных вектора. В геометрической задаче выразите всё через пару векторов из одной вершины, длины и угол которых известны: тогда скалярное произведение считается по первой формуле.

Лайфхак 4. Знак подсказывает угол. Отрицательное скалярное произведение означает тупой угол между векторами; это удобно для проверки ответа.

Частые ошибки.

Берут не тот угол: угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CA}$ не равен углу треугольника при вершине $A$ — векторы должны выходить из одной точки.
Путают сумму векторов и скалярное произведение: сумма — вектор, скалярное произведение — число.
Путают перпендикулярность с коллинеарностью: скалярное произведение равно нулю у перпендикулярных векторов, а не у коллинеарных.
Ошибаются в знаках при вычитании координат, особенно с отрицательными числами.

Разобранные примеры

Пример 1

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrowAB$ и $\overrightarrowAD.$

Решение

Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Косинус прямого угла равен нулю, поэтому и искомое скалярное произведение равно нулю.

Ответ: 0.

Пример 2

Вектор $\overrightarrowAB$  с концом в точке B(5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату точки $A.$

Решение

Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Координаты точки A вычисляются следующим образом: 5 − x  =  3, 3 − y  =  1. Откуда x  =  2, y  =  2.

Ответ: 2.

Пример 3

Вектор $\overrightarrowAB$  с концом в точке B(5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите абсциссу точки A. 

Решение

Ответ: 2.

Источники

Шпаргалка «Векторы» (задание 2 ЕГЭ), Школково
Ковтун О.Г., вебинар по подготовке к ЕГЭ от 04.04.2024, ИРО Краснодарского края (iro23.ru)
Копылова С.Г., материалы по подготовке к ЕГЭ, ИРО Краснодарского края (iro23.ru), 2024
«Векторы № 2», рабочий лист по заданию 2 ЕГЭ, ИРО Краснодарского края (iro23.ru), 2024

У1
Найдите длину вектора $\veca левая круглая скобка 6; 8 правая круглая скобка .$
У2
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину вектора $\overrightarrowAC.$
У3
Две стороны изображенного на рисунке прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов $\overrightarrowAO$ и $\overrightarrowDO.$
У4
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора $\overrightarrowAD.$
У5
Диагонали изображенного на рисунке ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора $\overrightarrowAB минус \overrightarrowAD.$
У6
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора $\overrightarrowAO плюс \overrightarrowBO.$
У7
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrowAO$  и  $\overrightarrowBO.$
У8
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора $\overrightarrowAB минус \overrightarrowAC.$
У9
Найдите сумму координат вектора $\overrightarrowAB.$
У10
Вектор $\overrightarrowAB$ с началом в точке A(2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите ординату точки B.
У11
Вектор $\overrightarrowAB$  с концом в точке B(5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите абсциссу точки $A.$
У12
Найдите сумму координат вектора $\overrightarrowa$  + $\overrightarrowb.$
У13
Найдите квадрат длины вектора $\overrightarrowa минус \overrightarrowb.$
У14
Найдите угол между векторами $\overrightarrowa$  и $\overrightarrowb.$ Ответ дайте в градусах.
У15
Найдите квадрат длины вектора $\overrightarrowa$  + $\overrightarrowb.$
У16
Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrowa$  и $\overrightarrowb.$
У17
Найдите длину диагонали прямоугольника, вершины которого имеют координаты (2; 1), (2; 4), (6; 1), (6; 4).
У18
Даны векторы $\veca = левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка ,$ $\vecb = левая круглая скобка минус 3; 6 правая круглая скобка$ и $\vecc = левая круглая скобка 4; минус 2 правая круглая скобка .$ Найдите длину вектора $\veca минус \vecb плюс \vecc.$
У19
На координатной плоскости изображены векторы $\veca,$ $\vecb$ и $\vecc.$ Найдите длину вектора $\veca плюс \vecb плюс \vecc.$
У20
На координатной плоскости изображены векторы $\veca$ и $\vecb.$ Найдите длину вектора $2 \veca минус \vecb.$
У21
Длина вектора $\vec a$ равна $2 корень из 2 ,$ угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$ равен 45°, а скалярное произведение $\vec a умножить на \vec b$ равно 12. Найдите длину вектора $\vec b.$
У22
Даны векторы $\veca = левая круглая скобка 17; 0 правая круглая скобка ,$ $\vecb = левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка .$ Найдите длину вектора $\veca плюс 12\vecb.$
У23
Найдите длину вектора $3\vec a,$ если $\vec a левая круглая скобка минус 8; 6 правая круглая скобка .$
У24
Найдите длину вектора $\overrightarrowa= левая круглая скобка минус 10; 24 правая круглая скобка .$
У25
Диагонали ромба ABCD равны 40 и 42. Найдите длину вектора $\overrightarrowAD.$
У26
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 24 и 32. Найдите длину вектора $\overrightarrowAO плюс \overrightarrowBO.$
У27
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 4 и 10. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrowAO$  и  $\overrightarrowBO.$
У28
Стороны правильного треугольника ABC равны 38. Найдите длину вектора $\overrightarrowAB минус \overrightarrowAC.$
У29
Найдите сумму координат вектора $\overrightarrowAB$
У30
Вектор $\overrightarrowAB$ с началом в точке A(2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите ординату точки B.

Д1
Найдите квадрат длины вектора $\overrightarrowAB.$
Д2
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов $\overrightarrowAB$ и $\overrightarrowAD.$
Д3
Две стороны изображенного на рисунке прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов $\overrightarrowAO$ и $\overrightarrowDO.$
Д4
Диагонали изображенного на рисунке ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора $\overrightarrowAB плюс \overrightarrowAD.$
Д5
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора $\overrightarrowAB минус \overrightarrowAC.$
Д6
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора $\overrightarrowAO минус \overrightarrowBO.$
Д7
Стороны правильного треугольника ABC равны $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите длину вектора $\overrightarrowAB плюс \overrightarrowAC.$
Д8
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrowAB$ и $\overrightarrowAC.$
Д9
Вектор $\overrightarrowAB$  с началом в точке A(2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите абсциссу точки B.
Д10
Вектор $\overrightarrowAB$  с началом в точке A(3; 6) имеет координаты (9; 3). Найдите сумму координат точки B.
Д11
Вектор $\overrightarrowAB$  с концом в точке B(5; 4) имеет координаты (3; 1). Найдите сумму координат точки $A.$
Д12
Найдите квадрат длины вектора $\overrightarrowa$  + $\overrightarrowb.$
Д13
Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrowa$  и $\overrightarrowb.$
Д14
Найдите сумму координат вектора $\overrightarrowa$  + $\overrightarrowb.$
Д15
Найдите квадрат длины вектора $\overrightarrowa минус \overrightarrowb.$
Д16
Найдите угол между векторами $\overrightarrowa$  и $\overrightarrowb.$ Ответ дайте в градусах.
Д17
На координатной плоскости изображены векторы $\veca$ и $\vecb.$ Найдите скалярное произведение $\veca умножить на \vecb.$
Д18
Даны векторы $\veca = левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка ,$ $\vecb = левая круглая скобка 3; минус 6 правая круглая скобка$ и $\vecc = левая круглая скобка 4; минус 3 правая круглая скобка .$ Найдите значение выражения $левая круглая скобка \veca плюс \vecb правая круглая скобка умножить на \vecc.$
Д19
На координатной плоскости изображены векторы $\vec a,$ $\vec b$ и $\vec c.$ Найдите значение выражения $левая круглая скобка \vec a минус \vec b правая круглая скобка умножить на \vec c.$
Д20
На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b.$ Найдите косинус угла между ними.
Д21
В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите скалярное произведение $\overrightarrowAB умножить на \overrightarrowAC.$
Д22
Даны векторы $\vec a левая круглая скобка минус 10; 3 правая круглая скобка ,$ $\vec b левая круглая скобка минус 1; минус 6 правая круглая скобка$ и $\vec c левая круглая скобка минус 2; 6 правая круглая скобка .$ Найдите скалярное произведение векторов $\vec a плюс \vec b$ и $\vec c.$
Д23
Даны векторы $\veca = левая круглая скобка 2; 1 правая круглая скобка ,$ $\vecb = левая круглая скобка 2; минус 4 правая круглая скобка .$ Найдите скалярное произведение векторов $\vec a плюс \vecb$ и $7\veca минус \vecb.$
Д24
Найдите квадрат длины вектора $\veca плюс \vecb.$
Д25
Диагонали ромба ABCD равны 32 и 23. Найдите длину вектора $\overrightarrowAB минус \overrightarrowAD.$
Д26
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора $\overrightarrowAO минус \overrightarrowBO.$
Д27
Стороны правильного треугольника ABC равны $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите длину вектора $\overrightarrowAB плюс \overrightarrowAC.$
Д28
Стороны правильного треугольника ABC равны 36. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrowAB$  и  $\overrightarrowAC.$
Д29
Вектор $\overrightarrowAB$ с началом в точке $A левая круглая скобка 13; минус 1 правая круглая скобка$ имеет координаты $левая круглая скобка минус 1;8 правая круглая скобка .$ Найдите абсциссу точки B.
Д30
Вектор $\overrightarrowAB$ с началом в точке $A левая круглая скобка минус 21;4 правая круглая скобка$ имеет координаты $левая круглая скобка 8;9 правая круглая скобка .$ Найдите сумму координат точки B.

Что найти	Формула
Координаты вектора по точкам \(A(x_1;y_1)\), \(B(x_2;y_2)\)	\(\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\;y_2-y_1)\) — «конец минус начало»
Длина вектора \(\vec b(x;y)\)	\(\|\vec b\|=\sqrt{x^2+y^2}\)
Сумма	\(\vec a(x_1;y_1)+\vec b(x_2;y_2)=(x_1+x_2;\;y_1+y_2)\)
Разность	\(\vec a-\vec b=(x_1-x_2;\;y_1-y_2)\)
Умножение на число \(k\)	\(k\vec a=(kx_1;\;ky_1)\)