Задание 20 · Числа и их свойства
20.1. Числа и их свойства
Для репетитора: показать ответы
1. Числа и делимость
Если в условии не сказано иное, в задачах на свойства чисел речь идёт о целых числах. Натуральные числа — это \(1,2,3,\dots\) (ноль к ним не относится); все целые числа являются рациональными.
Число \(a\) делится на \(b\ne0\) (записывают \(a\,\vdots\,b\)), если \(a=bq\) для некоторого целого \(q\). Основные свойства:
- если \(a\,\vdots\,b\) и \(b\,\vdots\,c\), то \(a\,\vdots\,c\);
- если \(a\) и \(b\) делятся на \(c\), то на \(c\) делятся \(a\pm b\) и вообще \(ma+nb\) при любых целых \(m,n\);
- если \(a\) делится на \(c\), то и \(ab\) делится на \(c\) при любом целом \(b\).
Делимость определена только для целых чисел.
2. Признаки делимости
| На что | Признак |
|---|---|
| 2 | последняя цифра чётная |
| 3 | сумма цифр делится на 3 |
| 4 | две последние цифры — нули или образуют число, кратное 4 |
| 5 | число оканчивается на 0 или 5 |
| 6 | делится и на 2, и на 3 |
| 8 | три последние цифры образуют число, кратное 8 |
| 9 | сумма цифр делится на 9 |
| 10 | число оканчивается на 0 |
| 11 | разность сумм цифр на нечётных и на чётных местах делится на 11 |
| 25 | две последние цифры — 00, 25, 50 или 75 |
- Составной делитель раскладывают на взаимно простые множители: \(72=8\cdot9\), \(12=4\cdot3\), \(45=5\cdot9\), \(30=2\cdot3\cdot5\). Тогда число делится на составной делитель, если оно делится на каждый из этих множителей.
- Признак на 7: отбросьте последнюю цифру и вычтите её удвоенную из оставшегося числа (для \(784\): \(78-2\cdot4=70\), делится на 7). Признак на 13: прибавьте к числу без последней цифры учетверённую последнюю цифру и проверьте результат.
3. Деление с остатком и остатки
- Для целых \(a\) и \(b>0\) существуют единственные целые \(q\) и \(r\), такие что \(a=bq+r\), \(0\le r
- Число и сумма его цифр дают одинаковые остатки от деления на 3 и на 9. Число равноостаточно с числом из последних двух цифр по модулю 4 и из трёх последних — по модулю 8.
- Остатки можно складывать, вычитать и умножать, но нельзя делить. Полезно «надеть очки по модулю»: видеть вместо числа его остаток.
- Приём перебора остатков: любое число имеет вид \(3m\), \(3m+1\) или \(3m+2\); подставляя, выясняют, при каких \(n\) выражение кратно 3. Так, квадрат при делении на 3 даёт остаток только 0 или 1, поэтому число вида \(3k+2\) не может быть квадратом.
- Для последней цифры степеней используют периодичность остатков: последние цифры степеней повторяются, а остаток степени находят по остатку показателя; удобны отрицательные остатки (\(9\equiv-1\), \(7\equiv-3\) по модулю 10).
4. Чётность
- Чётное число \(n=2k\), нечётное \(n=2k+1\).
- Сумма двух нечётных чисел чётна; сумма нечётного количества нечётных слагаемых нечётна.
- Если левая часть равенства чётна, а правая нечётна, решений нет. Чётность суммы можно использовать, чтобы показать, что некоторое значение недостижимо.
5. Простые числа и разложение на множители
- Простое число имеет ровно два натуральных делителя (1 и само себя). Число 1 не является ни простым, ни составным. Число 2 — единственное чётное простое.
- Сумма двух нечётных чисел, не равная 2, — чётное число больше 2, то есть составное.
- Основная теорема арифметики: каждое натуральное \(n>1\) единственным образом раскладывается в произведение степеней простых: \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}\), например \(60=2^2\cdot3\cdot5\).
- Число натуральных делителей: \(\tau(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)\); для \(60\) это \(3\cdot2\cdot2=12\). Если число делителей нечётно, число — полный квадрат (15 делителей: вид \(p^{14}\) или \(p^4q^2\)).
- Простое число можно проверить так: если \(n>1\) не делится ни на одно простое число, не превосходящее \(\sqrt n\), то \(n\) простое.
6. НОД и НОК
- НОД — наибольший общий делитель, НОК — наименьшее общее кратное. Числа взаимно просты, если НОД равен 1.
- Через разложение на простые: НОД берёт минимальные показатели степеней, НОК — максимальные. Например, для \(792=2^3\cdot3^2\cdot11\) и \(1936=2^4\cdot11^2\): НОД \(=2^3\cdot11=88\).
- \(ab=\text{НОД}(a,b)\cdot\text{НОК}(a,b)\); если \(d=\text{НОД}(a,b)\), то \(a=dx\), \(b=dy\), где \(\text{НОД}(x,y)=1\).
- Если одно число делится на другое, НОД равен меньшему из них; НОД двух чисел не превосходит меньшего из них. Для простого \(p\) и числа, не кратного \(p\), НОД равен 1.
- Если \(ax=by\) и \(\text{НОД}(a,b)=1\), то \(x\) делится на \(b\), а \(y\) делится на \(a\) (из \(7a=16p\) следует: \(a\) делится на 16, \(p\) — на 7).
- Алгоритм Евклида: делим с остатком, \(a=bq_1+r_1\), \(b=r_1q_2+r_2,\dots\); последний ненулевой остаток — НОД.
7. Десятичная запись числа
- \(n=a_{m-1}\cdot10^{m-1}+\dots+a_1\cdot10+a_0\); трёхзначное число: \(\overline{abc}=100a+10b+c\).
- Условия на цифры записывают уравнением и решают в целых числах с учётом ограничений на цифры (0–9, первая цифра не ноль). Так, разность \(\overline{abc}\) и суммы его цифр равна \(99a+9b\), а после деления на 3 получается \(33a+3b\).
- Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки от деления на 9; поэтому их можно искать в виде \(a+9k\), \(k=0,1,2,\dots\), где \(a\) — наименьшее из них.
8. Метод «оценка + пример»
В задачах на наибольшее или наименьшее значение (количества элементов, слагаемых, членов последовательности) решение состоит из двух шагов:
- Оценка: доказать, что величина не больше (не меньше) некоторого числа.
- Пример: построить случай, где оценка достигается.
Если пример найден, оценка точна и ответ получен. После получения оценки проверьте, выполняются ли все остальные условия задачи. Чтобы слагаемых было как можно больше, их берут как можно меньше; для оценок усиливают неравенства, заменяя переменную на её наибольшее или наименьшее возможное значение.
9. Устройство задачи и общие приёмы
- Пункты а, б, в идут от проверки возможности к поиску экстремума: сначала пример или доказательство невозможности, затем наименьшее или наибольшее значение.
- Ответ «да» на вопрос «Можно ли…?» достаточно обосновать примером; ответ «нет» требует доказательства.
- Перебор небольшого числа случаев (по знакам, остаткам, значению цифры), контрпример для опровержения общего утверждения, оценка по последней цифре: если выражение оканчивается на цифру, на которую не может оканчиваться квадрат, решений нет.
- Инвариант — величина, которая не меняется в ходе процесса (чётность, сумма, остаток, делимость на число); если все числа на доске делятся на 7, а операции (удвоение, сложение) сохраняют кратность 7, то не делящееся на 7 число получить нельзя.
- Принцип Дирихле: если \(nk+1\) объектов размещены в \(k\) ящиках, то в каком-то ящике будет не менее \(n+1\) объекта.
- Решение можно упростить: если все числа делятся на общий множитель, на него делят, чтобы уменьшить задачу.
Разобранные примеры
Пример 1
На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
Решение
а) При любой расстановке разность числа 11 и любого соседнего с ним числа меньше 11. Значит, всегда найдутся хотя бы две разности меньше 11.
б) Например, для расстановки 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11 все разности не меньше 10.
в) Оценим значение k. Рассмотрим числа от 1 до 7. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдется разность меньше 7. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 21. В этом случае число 8 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 2 до 7 и найдется разность меньше 7.
Таким образом, всегда найдется разность меньше 7. Все разности могут быть не меньше 6. Например, для расстановки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все разности не меньше 6.
Ответ: а) нет; б) да; в) 6.
Пример 2
По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 10 до 21. Для каждой из двенадцати пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.
а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?
б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?
в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?
Решение
а) Да, могло. Например, если числа записаны в порядке 10, 21, 20, 19, 16, 15, 14, 11, 18, 13, 12, 17.
б) Всего по кругу записано 12 чисел. Для каждой пары соседних чисел мы ищем наибольший общий делитель, следовательно, получим 12 наибольших общих делителей. Если они все попарно различны, то хотя бы один из них не меньше 12. Но такого быть не может, так как для данных чисел наибольший из всевозможных наибольших общих делителей есть НОД(10,20) = 10.
в) Числа 11, 13, 17 и 19 являются простыми, наибольшие общие делители этих чисел со всеми остальными числами равняются 1. Каждое из чисел имеет двух соседей, следовательно, хотя бы два числа из этих четырёх будут иметь по крайней мере одного соседа, отличного от этих четырёх чисел. Таким образом, хотя бы пять из всех наибольших общих делителей будут равняться 1, то есть совпадать. Следовательно, не может быть больше чем восемь попарно различных наибольших общих делителей, поскольку всего их двенадцать, причём пять совпадают. Для расстановки 10, 20, 19, 17, 13, 11, 18, 12, 16, 14, 21, 15 получается ровно 8 попарно различных наибольших общих делителей.
Ответ: а) Да; б) нет; в) восемь.
- «Задачи С6 (№21)», лекция И. В. Ивановой на курсах учителей, infourok.ru
- «Методика решения задач на делимость (задание 19 ЕГЭ профильного уровня)», выпускная квалификационная работа, vkr.pspu.ru
- «Теория по заданию 19», Школково (shkolkovo.online)
- «Методические рекомендации по решению задач ЕГЭ», школа № 9, г. Усть-Илимск
- «Лайфхаки ЕГЭ 2024», НОМЦ ТГУ (nomc.math.tsu.ru)
- «Признаки делимости», Википедия
- У1
Дано трехзначное натуральное число, не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 89?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 86?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
- У2
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли выполняться равенство
б) Может ли дробь
быть в 11 раз меньше, чем сумма 
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь
если 
и 
- У3
Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.
а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть три очень счастливых?
б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
- У4
Четыре натуральных числа a, b, c, d таковы, что
а) Могут ли все числа быть попарно различны?
б) Может ли одно из этих чисел равняться 9?
в) Найдите все возможные наборы чисел (без учета их порядка в наборе), среди которых ровно два числа равны.
- У5
По кругу в некотором порядке по одному разу написаны натуральные числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.
а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?
б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?
в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?
- У6
Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равняться
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равняться
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
- У7
Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.
а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?
б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?
в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n < 100.
- У8
а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
- У9
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?
- У10
В турнире по шахматам принимают участие мальчики и девочки. За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. По правилам турнира каждый участник играет с каждым другим дважды.
а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если в турнире принимают участие пять мальчиков и три девочки?
б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если всего участников девять?
в) Сколько девочек могло принимать участие в турнире, если известно, что их в 9 раз меньше, чем мальчиков, и что мальчики набрали в сумме ровно в четыре раза больше очков, чем девочки?
- У11
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству
а) Может ли
быть равным 204?б) Может ли
быть равным 2?в) Найдите наименьшее значение
- У12
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и
a2 − b2 + с2 − d2 = 19. б) Может ли быть
a + b + с + d = 23 иa2 − b2 + с2 − d2 = 23? в) Пусть a + b + с + d = 1200 и
a2 − b2 + с2 − d2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a. - У13
Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно
б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?
- У14
Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
- У15
Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.
а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?
б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?
в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n >100.
- У16
Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321.
а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна пяти.
б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 91?
в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.
- У17
Дано двузначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 10.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 9?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 8?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
- У18
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель
натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству
а) Может ли
быть равным 170?б) Может ли
быть равным 2?в) Найдите наименьшее значение
- У19
Натуральные числа k, l, m и n удовлетворяют условию
а) Может ли
если '/%3E%3Cuse id='g16-43' xlink:href='%23g12-43' transform='scale(1.4)'/%3E%3Cuse id='g16-61' xlink:href='%23g12-61' transform='scale(1.4)'/%3E%3Cpath id='g3-48' d='M2.8-7.3C2.2-7.3 1.7-7.2 1.3-6.8C.7-6.2 .3-4.9 .3-3.7C.3-2.5 .6-1.2 1.1-.6C1.5-.1 2.1 .2 2.7 .2C3.3 .2 3.7 0 4.1-.4C4.8-1 5.2-2.3 5.2-3.6C5.2-5.8 4.2-7.3 2.8-7.3ZM2.7-7.1C3.6-7.1 4.1-5.8 4.1-3.6S3.7-.1 2.7-.1S1.3-1.3 1.3-3.6C1.3-5.9 1.8-7.1 2.7-7.1Z'/%3E%3Cpath id='g3-50' d='M5.2-1.5L5-1.5C4.6-.9 4.5-.8 4-.8H1.4L3.2-2.7C4.2-3.7 4.6-4.6 4.6-5.4C4.6-6.5 3.7-7.3 2.6-7.3C2-7.3 1.4-7.1 1-6.7C.7-6.3 .5-6 .3-5.2L.6-5.1C1-6.2 1.4-6.5 2.1-6.5C3.1-6.5 3.7-5.9 3.7-5C3.7-4.2 3.2-3.2 2.3-2.2L.3-.1V0H4.6L5.2-1.5Z'/%3E%3Cpath id='g3-52' d='M5.1-2.5H4V-7.3H3.5L.1-2.5V-1.8H3.2V0H4V-1.8H5.1V-2.5ZM3.2-2.5H.6L3.2-6.2V-2.5Z'/%3E%3Cpath id='g3-63' d='M2.7-1.8C2.8-2.5 3-2.9 3.4-3.5C3.9-4.1 3.9-4.1 4-4.3C4.4-4.8 4.5-5.2 4.5-5.7C4.5-6.1 4.4-6.5 4.1-6.7C3.7-7.1 3.1-7.3 2.5-7.3C1.5-7.3 .7-6.7 .7-5.8C.7-5.3 .9-5.1 1.3-5.1C1.5-5.1 1.7-5.3 1.7-5.5C1.7-5.7 1.6-5.8 1.5-6C1.3-6.2 1.3-6.3 1.3-6.3C1.3-6.7 1.8-7 2.3-7C3-7 3.5-6.4 3.5-5.7C3.5-5.2 3.4-4.6 3.1-4L2.8-3.3C2.6-2.8 2.5-2.3 2.5-1.8H2.7ZM2.6-1.1C2.2-1.1 2-.8 2-.5C2-.2 2.2 .1 2.6 .1C2.9 .1 3.2-.2 3.2-.5S2.9-1.1 2.6-1.1Z'/%3E%3Cuse id='g15-48' xlink:href='%23g3-48'/%3E%3Cuse id='g15-52' xlink:href='%23g3-52'/%3E%3Cuse id='g15-63' xlink:href='%23g3-63'/%3E%3Cpath id='g8-107' d='M4.5-1.2L4.3-.9C4.1-.6 4-.4 3.8-.4C3.6-.4 3.4-.8 3-1.8C2.9-2 2.7-2.4 2.6-2.8C4.2-4.2 4.5-4.4 5-4.5V-4.7H3V-4.5H3.2C3.5-4.5 3.6-4.4 3.6-4.3C3.6-4.1 3.1-3.5 2.1-2.8C1.9-2.6 1.8-2.5 1.6-2.4L2.9-7.4L2.8-7.4C2.2-7.3 1.8-7.2 1.2-7.1V-7C1.7-7 1.9-6.9 1.9-6.7C1.9-6.5 1.8-6.2 1.7-5.7C1.6-5.6 1.6-5.4 1.6-5.3L1.5-5.2L.2 0H1L1.5-2L1.9-2.3C2.1-1.8 2.4-1.2 2.6-.8C2.9-.1 3.1 .1 3.5 .1C3.9 .1 4.2-.2 4.7-1.1L4.5-1.2Z'/%3E%3Cpath id='g8-108' d='M2.5-1.3C2.4-1.2 2.3-1.1 2.2-1C1.8-.5 1.6-.3 1.4-.3C1.3-.3 1.3-.4 1.3-.5C1.3-.6 1.3-.7 1.4-1C1.4-1 1.4-1.1 1.4-1.1L3-7.4L3-7.4C2.3-7.3 1.9-7.2 1.3-7.1V-7C1.8-7 2-6.9 2-6.7C2-6.7 2-6.6 2-6.5L.5-.8C.5-.7 .4-.5 .4-.5C.4-.1 .6 .1 1 .1C1.5 .1 1.9-.2 2.6-1.2L2.5-1.3Z'/%3E%3Cpath id='g8-109' d='M7.5-1.3C7.4-1.1 7.3-1 7.3-1C7-.6 6.7-.4 6.6-.4C6.5-.4 6.4-.5 6.4-.6C6.4-.6 6.5-.8 6.5-1.1L7.3-3.8C7.3-3.8 7.3-4 7.3-4.1C7.3-4.5 7-4.8 6.7-4.8C6.5-4.8 6.2-4.7 6-4.6C5.4-4.2 5-3.7 4.2-2.5C4.5-3.3 4.7-3.9 4.7-4.1C4.7-4.5 4.4-4.8 4.1-4.8C3.4-4.8 2.6-4.1 1.6-2.5L2.3-4.8L2.2-4.8C1.6-4.7 1.4-4.6 .5-4.5V-4.3H.8C1.1-4.3 1.2-4.2 1.2-4C1.2-3.9 .9-2.9 .6-1.6C.3-.7 .3-.6 .1 0H.9C1.5-1.7 1.6-2.1 2-2.7C2.6-3.6 3.3-4.2 3.6-4.2C3.8-4.2 3.8-4.1 3.8-4C3.8-3.9 3.5-2.5 2.8 0H3.6C4.1-1.7 4.3-2.2 4.8-3C5.4-3.7 5.9-4.2 6.2-4.2C6.3-4.2 6.4-4.1 6.4-4C6.4-3.9 6.4-3.8 6.4-3.6L5.7-1.1C5.6-.7 5.6-.5 5.6-.4C5.6-.1 5.7 .1 6 .1C6.5 .1 7-.3 7.6-1.1L7.7-1.1L7.5-1.3Z'/%3E%3Cpath id='g8-110' d='M5-1.3L4.8-1C4.5-.6 4.3-.4 4.1-.4C4-.4 3.9-.5 3.9-.6C3.9-.7 3.9-.7 4.1-1.3L4.7-3.5C4.8-3.7 4.8-4 4.8-4.1C4.8-4.5 4.5-4.8 4.1-4.8C3.4-4.8 2.7-4.1 1.6-2.4L2.3-4.8L2.3-4.8C1.7-4.7 1.5-4.6 .5-4.5V-4.3C1.1-4.3 1.2-4.2 1.2-4C1.2-3.9 1.2-3.9 1.2-3.8L.2 0H1C1.5-1.7 1.6-2 2.1-2.7C2.7-3.7 3.3-4.2 3.7-4.2C3.8-4.2 3.9-4.1 3.9-3.9C3.9-3.8 3.9-3.4 3.8-3.1L3.3-1.3C3.2-.7 3.1-.6 3.1-.5C3.1-.1 3.3 .1 3.6 .1C4.1 .1 4.4-.1 5.2-1.1L5-1.3Z'/%3E%3Cpath id='g12-43' d='M3.2-1.8H5.5C5.6-1.8 5.7-1.8 5.7-2S5.6-2.1 5.5-2.1H3.2V-4.4C3.2-4.5 3.2-4.6 3.1-4.6S2.9-4.5 2.9-4.4V-2.1H.7C.6-2.1 .4-2.1 .4-2S.6-1.8 .7-1.8H2.9V.4C2.9 .5 2.9 .7 3.1 .7S3.2 .5 3.2 .4V-1.8Z'/%3E%3Cpath id='g12-61' d='M5.5-2.6C5.6-2.6 5.7-2.6 5.7-2.8S5.6-2.9 5.5-2.9H.7C.6-2.9 .4-2.9 .4-2.8S.6-2.6 .7-2.6H5.5ZM5.5-1.1C5.6-1.1 5.7-1.1 5.7-1.2S5.6-1.4 5.5-1.4H.7C.6-1.4 .4-1.4 .4-1.2S.6-1.1 .7-1.1H5.5Z'/%3E%3Cpath id='g1-0' d='M7.2-2.5C7.3-2.5 7.5-2.5 7.5-2.7S7.3-2.9 7.2-2.9H1.3C1.1-2.9 .9-2.9 .9-2.7S1.1-2.5 1.3-2.5H7.2Z'/%3E%3C/defs%3E%3Cg id='page1'%3E%3Cuse x='185.6' y='82.3' xlink:href='%23g8-107'/%3E%3Cuse x='190.7' y='77.8' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='196.7' y='82.3' xlink:href='%23g1-0'/%3E%3Cuse x='206.6' y='82.3' xlink:href='%23g8-108'/%3E%3Cuse x='210.2' y='77.8' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='216.2' y='82.3' xlink:href='%23g16-43'/%3E%3Cuse x='226.2' y='82.3' xlink:href='%23g8-109'/%3E%3Cuse x='234.1' y='77.8' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='240.1' y='82.3' xlink:href='%23g1-0'/%3E%3Cuse x='250.1' y='82.3' xlink:href='%23g8-110'/%3E%3Cuse x='255.5' y='77.8' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='262.4' y='82.3' xlink:href='%23g16-61'/%3E%3Cuse x='273.4' y='82.3' xlink:href='%23g15-52'/%3E%3Cuse x='278.8' y='82.3' xlink:href='%23g15-48'/%3E%3Cuse x='284.3' y='82.3' xlink:href='%23g15-63'/%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E)
б) Может ли
если '/%3E%3Cuse id='g16-43' xlink:href='%23g12-43' transform='scale(1.4)'/%3E%3Cuse id='g16-61' xlink:href='%23g12-61' transform='scale(1.4)'/%3E%3Cpath id='g3-50' d='M5.2-1.5L5-1.5C4.6-.9 4.5-.8 4-.8H1.4L3.2-2.7C4.2-3.7 4.6-4.6 4.6-5.4C4.6-6.5 3.7-7.3 2.6-7.3C2-7.3 1.4-7.1 1-6.7C.7-6.3 .5-6 .3-5.2L.6-5.1C1-6.2 1.4-6.5 2.1-6.5C3.1-6.5 3.7-5.9 3.7-5C3.7-4.2 3.2-3.2 2.3-2.2L.3-.1V0H4.6L5.2-1.5Z'/%3E%3Cpath id='g3-51' d='M1.7-3.6C2.3-3.6 2.6-3.6 2.8-3.5C3.5-3.2 3.9-2.6 3.9-1.9C3.9-.9 3.3-.2 2.5-.2C2.2-.2 2-.3 1.6-.6C1.2-.8 1.1-.8 .9-.8C.6-.8 .5-.7 .5-.5C.5-.1 .9 .2 1.7 .2C2.5 .2 3.4-.1 3.9-.6S4.7-1.7 4.7-2.4C4.7-2.9 4.5-3.4 4.2-3.8C4-4 3.8-4.2 3.3-4.4C4.1-4.9 4.3-5.3 4.3-5.9C4.3-6.7 3.6-7.3 2.6-7.3C2.1-7.3 1.6-7.2 1.2-6.8C.9-6.5 .7-6.2 .5-5.6L.7-5.5C1.1-6.3 1.6-6.7 2.3-6.7C3-6.7 3.5-6.2 3.5-5.5C3.5-5.1 3.3-4.7 3-4.5C2.7-4.2 2.4-4 1.7-3.7V-3.6Z'/%3E%3Cpath id='g3-55' d='M4.9-7.2H.9L.2-5.6L.4-5.5C.9-6.2 1.1-6.4 1.7-6.4H4L1.9 .1H2.6L4.9-7V-7.2Z'/%3E%3Cpath id='g3-63' d='M2.7-1.8C2.8-2.5 3-2.9 3.4-3.5C3.9-4.1 3.9-4.1 4-4.3C4.4-4.8 4.5-5.2 4.5-5.7C4.5-6.1 4.4-6.5 4.1-6.7C3.7-7.1 3.1-7.3 2.5-7.3C1.5-7.3 .7-6.7 .7-5.8C.7-5.3 .9-5.1 1.3-5.1C1.5-5.1 1.7-5.3 1.7-5.5C1.7-5.7 1.6-5.8 1.5-6C1.3-6.2 1.3-6.3 1.3-6.3C1.3-6.7 1.8-7 2.3-7C3-7 3.5-6.4 3.5-5.7C3.5-5.2 3.4-4.6 3.1-4L2.8-3.3C2.6-2.8 2.5-2.3 2.5-1.8H2.7ZM2.6-1.1C2.2-1.1 2-.8 2-.5C2-.2 2.2 .1 2.6 .1C2.9 .1 3.2-.2 3.2-.5S2.9-1.1 2.6-1.1Z'/%3E%3Cuse id='g15-51' xlink:href='%23g3-51'/%3E%3Cuse id='g15-55' xlink:href='%23g3-55'/%3E%3Cuse id='g15-63' xlink:href='%23g3-63'/%3E%3Cpath id='g8-107' d='M4.5-1.2L4.3-.9C4.1-.6 4-.4 3.8-.4C3.6-.4 3.4-.8 3-1.8C2.9-2 2.7-2.4 2.6-2.8C4.2-4.2 4.5-4.4 5-4.5V-4.7H3V-4.5H3.2C3.5-4.5 3.6-4.4 3.6-4.3C3.6-4.1 3.1-3.5 2.1-2.8C1.9-2.6 1.8-2.5 1.6-2.4L2.9-7.4L2.8-7.4C2.2-7.3 1.8-7.2 1.2-7.1V-7C1.7-7 1.9-6.9 1.9-6.7C1.9-6.5 1.8-6.2 1.7-5.7C1.6-5.6 1.6-5.4 1.6-5.3L1.5-5.2L.2 0H1L1.5-2L1.9-2.3C2.1-1.8 2.4-1.2 2.6-.8C2.9-.1 3.1 .1 3.5 .1C3.9 .1 4.2-.2 4.7-1.1L4.5-1.2Z'/%3E%3Cpath id='g8-108' d='M2.5-1.3C2.4-1.2 2.3-1.1 2.2-1C1.8-.5 1.6-.3 1.4-.3C1.3-.3 1.3-.4 1.3-.5C1.3-.6 1.3-.7 1.4-1C1.4-1 1.4-1.1 1.4-1.1L3-7.4L3-7.4C2.3-7.3 1.9-7.2 1.3-7.1V-7C1.8-7 2-6.9 2-6.7C2-6.7 2-6.6 2-6.5L.5-.8C.5-.7 .4-.5 .4-.5C.4-.1 .6 .1 1 .1C1.5 .1 1.9-.2 2.6-1.2L2.5-1.3Z'/%3E%3Cpath id='g8-109' d='M7.5-1.3C7.4-1.1 7.3-1 7.3-1C7-.6 6.7-.4 6.6-.4C6.5-.4 6.4-.5 6.4-.6C6.4-.6 6.5-.8 6.5-1.1L7.3-3.8C7.3-3.8 7.3-4 7.3-4.1C7.3-4.5 7-4.8 6.7-4.8C6.5-4.8 6.2-4.7 6-4.6C5.4-4.2 5-3.7 4.2-2.5C4.5-3.3 4.7-3.9 4.7-4.1C4.7-4.5 4.4-4.8 4.1-4.8C3.4-4.8 2.6-4.1 1.6-2.5L2.3-4.8L2.2-4.8C1.6-4.7 1.4-4.6 .5-4.5V-4.3H.8C1.1-4.3 1.2-4.2 1.2-4C1.2-3.9 .9-2.9 .6-1.6C.3-.7 .3-.6 .1 0H.9C1.5-1.7 1.6-2.1 2-2.7C2.6-3.6 3.3-4.2 3.6-4.2C3.8-4.2 3.8-4.1 3.8-4C3.8-3.9 3.5-2.5 2.8 0H3.6C4.1-1.7 4.3-2.2 4.8-3C5.4-3.7 5.9-4.2 6.2-4.2C6.3-4.2 6.4-4.1 6.4-4C6.4-3.9 6.4-3.8 6.4-3.6L5.7-1.1C5.6-.7 5.6-.5 5.6-.4C5.6-.1 5.7 .1 6 .1C6.5 .1 7-.3 7.6-1.1L7.7-1.1L7.5-1.3Z'/%3E%3Cpath id='g8-110' d='M5-1.3L4.8-1C4.5-.6 4.3-.4 4.1-.4C4-.4 3.9-.5 3.9-.6C3.9-.7 3.9-.7 4.1-1.3L4.7-3.5C4.8-3.7 4.8-4 4.8-4.1C4.8-4.5 4.5-4.8 4.1-4.8C3.4-4.8 2.7-4.1 1.6-2.4L2.3-4.8L2.3-4.8C1.7-4.7 1.5-4.6 .5-4.5V-4.3C1.1-4.3 1.2-4.2 1.2-4C1.2-3.9 1.2-3.9 1.2-3.8L.2 0H1C1.5-1.7 1.6-2 2.1-2.7C2.7-3.7 3.3-4.2 3.7-4.2C3.8-4.2 3.9-4.1 3.9-3.9C3.9-3.8 3.9-3.4 3.8-3.1L3.3-1.3C3.2-.7 3.1-.6 3.1-.5C3.1-.1 3.3 .1 3.6 .1C4.1 .1 4.4-.1 5.2-1.1L5-1.3Z'/%3E%3Cpath id='g12-43' d='M3.2-1.8H5.5C5.6-1.8 5.7-1.8 5.7-2S5.6-2.1 5.5-2.1H3.2V-4.4C3.2-4.5 3.2-4.6 3.1-4.6S2.9-4.5 2.9-4.4V-2.1H.7C.6-2.1 .4-2.1 .4-2S.6-1.8 .7-1.8H2.9V.4C2.9 .5 2.9 .7 3.1 .7S3.2 .5 3.2 .4V-1.8Z'/%3E%3Cpath id='g12-61' d='M5.5-2.6C5.6-2.6 5.7-2.6 5.7-2.8S5.6-2.9 5.5-2.9H.7C.6-2.9 .4-2.9 .4-2.8S.6-2.6 .7-2.6H5.5ZM5.5-1.1C5.6-1.1 5.7-1.1 5.7-1.2S5.6-1.4 5.5-1.4H.7C.6-1.4 .4-1.4 .4-1.2S.6-1.1 .7-1.1H5.5Z'/%3E%3Cpath id='g1-0' d='M7.2-2.5C7.3-2.5 7.5-2.5 7.5-2.7S7.3-2.9 7.2-2.9H1.3C1.1-2.9 .9-2.9 .9-2.7S1.1-2.5 1.3-2.5H7.2Z'/%3E%3C/defs%3E%3Cg id='page1'%3E%3Cuse x='185.6' y='82.3' xlink:href='%23g8-107'/%3E%3Cuse x='190.7' y='77.8' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='196.7' y='82.3' xlink:href='%23g1-0'/%3E%3Cuse x='206.6' y='82.3' xlink:href='%23g8-108'/%3E%3Cuse x='210.2' y='77.8' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='216.2' y='82.3' xlink:href='%23g16-43'/%3E%3Cuse x='226.2' y='82.3' xlink:href='%23g8-109'/%3E%3Cuse x='234.1' y='77.8' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='240.1' y='82.3' xlink:href='%23g1-0'/%3E%3Cuse x='250.1' y='82.3' xlink:href='%23g8-110'/%3E%3Cuse x='255.5' y='77.8' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='262.4' y='82.3' xlink:href='%23g16-61'/%3E%3Cuse x='273.4' y='82.3' xlink:href='%23g15-51'/%3E%3Cuse x='278.8' y='82.3' xlink:href='%23g15-55'/%3E%3Cuse x='284.3' y='82.3' xlink:href='%23g15-63'/%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E)
в) Пусть
и '/%3E%3Cuse id='g16-43' xlink:href='%23g12-43' transform='scale(1.4)'/%3E%3Cuse id='g16-61' xlink:href='%23g12-61' transform='scale(1.4)'/%3E%3Cpath id='g3-48' d='M2.8-7.3C2.2-7.3 1.7-7.2 1.3-6.8C.7-6.2 .3-4.9 .3-3.7C.3-2.5 .6-1.2 1.1-.6C1.5-.1 2.1 .2 2.7 .2C3.3 .2 3.7 0 4.1-.4C4.8-1 5.2-2.3 5.2-3.6C5.2-5.8 4.2-7.3 2.8-7.3ZM2.7-7.1C3.6-7.1 4.1-5.8 4.1-3.6S3.7-.1 2.7-.1S1.3-1.3 1.3-3.6C1.3-5.9 1.8-7.1 2.7-7.1Z'/%3E%3Cpath id='g3-49' d='M3.2-7.3L1.2-6.4V-6.2C1.3-6.3 1.5-6.3 1.5-6.3C1.7-6.4 1.9-6.4 2-6.4C2.2-6.4 2.3-6.3 2.3-5.9V-1C2.3-.7 2.2-.4 2.1-.3C1.9-.2 1.7-.2 1.3-.2V0H4.3V-.2C3.4-.2 3.2-.3 3.2-.8V-7.3L3.2-7.3Z'/%3E%3Cpath id='g3-50' d='M5.2-1.5L5-1.5C4.6-.9 4.5-.8 4-.8H1.4L3.2-2.7C4.2-3.7 4.6-4.6 4.6-5.4C4.6-6.5 3.7-7.3 2.6-7.3C2-7.3 1.4-7.1 1-6.7C.7-6.3 .5-6 .3-5.2L.6-5.1C1-6.2 1.4-6.5 2.1-6.5C3.1-6.5 3.7-5.9 3.7-5C3.7-4.2 3.2-3.2 2.3-2.2L.3-.1V0H4.6L5.2-1.5Z'/%3E%3Cpath id='g3-52' d='M5.1-2.5H4V-7.3H3.5L.1-2.5V-1.8H3.2V0H4V-1.8H5.1V-2.5ZM3.2-2.5H.6L3.2-6.2V-2.5Z'/%3E%3Cuse id='g15-48' xlink:href='%23g3-48'/%3E%3Cuse id='g15-49' xlink:href='%23g3-49'/%3E%3Cuse id='g15-52' xlink:href='%23g3-52'/%3E%3Cpath id='g8-107' d='M4.5-1.2L4.3-.9C4.1-.6 4-.4 3.8-.4C3.6-.4 3.4-.8 3-1.8C2.9-2 2.7-2.4 2.6-2.8C4.2-4.2 4.5-4.4 5-4.5V-4.7H3V-4.5H3.2C3.5-4.5 3.6-4.4 3.6-4.3C3.6-4.1 3.1-3.5 2.1-2.8C1.9-2.6 1.8-2.5 1.6-2.4L2.9-7.4L2.8-7.4C2.2-7.3 1.8-7.2 1.2-7.1V-7C1.7-7 1.9-6.9 1.9-6.7C1.9-6.5 1.8-6.2 1.7-5.7C1.6-5.6 1.6-5.4 1.6-5.3L1.5-5.2L.2 0H1L1.5-2L1.9-2.3C2.1-1.8 2.4-1.2 2.6-.8C2.9-.1 3.1 .1 3.5 .1C3.9 .1 4.2-.2 4.7-1.1L4.5-1.2Z'/%3E%3Cpath id='g8-108' d='M2.5-1.3C2.4-1.2 2.3-1.1 2.2-1C1.8-.5 1.6-.3 1.4-.3C1.3-.3 1.3-.4 1.3-.5C1.3-.6 1.3-.7 1.4-1C1.4-1 1.4-1.1 1.4-1.1L3-7.4L3-7.4C2.3-7.3 1.9-7.2 1.3-7.1V-7C1.8-7 2-6.9 2-6.7C2-6.7 2-6.6 2-6.5L.5-.8C.5-.7 .4-.5 .4-.5C.4-.1 .6 .1 1 .1C1.5 .1 1.9-.2 2.6-1.2L2.5-1.3Z'/%3E%3Cpath id='g8-109' d='M7.5-1.3C7.4-1.1 7.3-1 7.3-1C7-.6 6.7-.4 6.6-.4C6.5-.4 6.4-.5 6.4-.6C6.4-.6 6.5-.8 6.5-1.1L7.3-3.8C7.3-3.8 7.3-4 7.3-4.1C7.3-4.5 7-4.8 6.7-4.8C6.5-4.8 6.2-4.7 6-4.6C5.4-4.2 5-3.7 4.2-2.5C4.5-3.3 4.7-3.9 4.7-4.1C4.7-4.5 4.4-4.8 4.1-4.8C3.4-4.8 2.6-4.1 1.6-2.5L2.3-4.8L2.2-4.8C1.6-4.7 1.4-4.6 .5-4.5V-4.3H.8C1.1-4.3 1.2-4.2 1.2-4C1.2-3.9 .9-2.9 .6-1.6C.3-.7 .3-.6 .1 0H.9C1.5-1.7 1.6-2.1 2-2.7C2.6-3.6 3.3-4.2 3.6-4.2C3.8-4.2 3.8-4.1 3.8-4C3.8-3.9 3.5-2.5 2.8 0H3.6C4.1-1.7 4.3-2.2 4.8-3C5.4-3.7 5.9-4.2 6.2-4.2C6.3-4.2 6.4-4.1 6.4-4C6.4-3.9 6.4-3.8 6.4-3.6L5.7-1.1C5.6-.7 5.6-.5 5.6-.4C5.6-.1 5.7 .1 6 .1C6.5 .1 7-.3 7.6-1.1L7.7-1.1L7.5-1.3Z'/%3E%3Cpath id='g8-110' d='M5-1.3L4.8-1C4.5-.6 4.3-.4 4.1-.4C4-.4 3.9-.5 3.9-.6C3.9-.7 3.9-.7 4.1-1.3L4.7-3.5C4.8-3.7 4.8-4 4.8-4.1C4.8-4.5 4.5-4.8 4.1-4.8C3.4-4.8 2.7-4.1 1.6-2.4L2.3-4.8L2.3-4.8C1.7-4.7 1.5-4.6 .5-4.5V-4.3C1.1-4.3 1.2-4.2 1.2-4C1.2-3.9 1.2-3.9 1.2-3.8L.2 0H1C1.5-1.7 1.6-2 2.1-2.7C2.7-3.7 3.3-4.2 3.7-4.2C3.8-4.2 3.9-4.1 3.9-3.9C3.9-3.8 3.9-3.4 3.8-3.1L3.3-1.3C3.2-.7 3.1-.6 3.1-.5C3.1-.1 3.3 .1 3.6 .1C4.1 .1 4.4-.1 5.2-1.1L5-1.3Z'/%3E%3Cpath id='g12-43' d='M3.2-1.8H5.5C5.6-1.8 5.7-1.8 5.7-2S5.6-2.1 5.5-2.1H3.2V-4.4C3.2-4.5 3.2-4.6 3.1-4.6S2.9-4.5 2.9-4.4V-2.1H.7C.6-2.1 .4-2.1 .4-2S.6-1.8 .7-1.8H2.9V.4C2.9 .5 2.9 .7 3.1 .7S3.2 .5 3.2 .4V-1.8Z'/%3E%3Cpath id='g12-61' d='M5.5-2.6C5.6-2.6 5.7-2.6 5.7-2.8S5.6-2.9 5.5-2.9H.7C.6-2.9 .4-2.9 .4-2.8S.6-2.6 .7-2.6H5.5ZM5.5-1.1C5.6-1.1 5.7-1.1 5.7-1.2S5.6-1.4 5.5-1.4H.7C.6-1.4 .4-1.4 .4-1.2S.6-1.1 .7-1.1H5.5Z'/%3E%3Cpath id='g1-0' d='M7.2-2.5C7.3-2.5 7.5-2.5 7.5-2.7S7.3-2.9 7.2-2.9H1.3C1.1-2.9 .9-2.9 .9-2.7S1.1-2.5 1.3-2.5H7.2Z'/%3E%3C/defs%3E%3Cg id='page1'%3E%3Cuse x='181.1' y='82.3' xlink:href='%23g8-107'/%3E%3Cuse x='186.1' y='77.8' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='192.1' y='82.3' xlink:href='%23g1-0'/%3E%3Cuse x='202.1' y='82.3' xlink:href='%23g8-108'/%3E%3Cuse x='205.7' y='77.8' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='211.7' y='82.3' xlink:href='%23g16-43'/%3E%3Cuse x='221.7' y='82.3' xlink:href='%23g8-109'/%3E%3Cuse x='229.6' y='77.8' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='235.6' y='82.3' xlink:href='%23g1-0'/%3E%3Cuse x='245.5' y='82.3' xlink:href='%23g8-110'/%3E%3Cuse x='251' y='77.8' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='257.9' y='82.3' xlink:href='%23g16-61'/%3E%3Cuse x='268.8' y='82.3' xlink:href='%23g15-49'/%3E%3Cuse x='274.3' y='82.3' xlink:href='%23g15-52'/%3E%3Cuse x='279.7' y='82.3' xlink:href='%23g15-48'/%3E%3Cuse x='285.2' y='82.3' xlink:href='%23g15-48'/%3E%3Cuse x='290.6' y='82.3' xlink:href='%23g7-58'/%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E)
Найдите количество возможных различных значений k. - У20
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 38?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 5. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
- У21
а) Можно ли представить число 2032 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
б) Можно ли представить число 799 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.
- У22
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}?
- У23
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные двузначные (положительные) числа.
а) Может ли выполняться равенство
б) Может ли дробь
быть в 11 раз меньше, чем сумма 
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь
если и 
- У24
Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 2?
б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 4 : 3?
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 20?
- У25
а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.
- Д1
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.
а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2?
б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10.
в) Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в
3 раза больше очков, чем девочки? - Д2
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству
3x = 8y − 29. а) Может ли
быть равным 170?б) Может ли
быть равным 2?в) Найдите наименьшее значение
- Д3
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и
a2 − b2 + с2 − d2 = 27. б) Может ли быть
a + b + с + d = 19 иa2 − b2 + с2 − d2 = 19? в) Пусть
a + b + с + d = 1000 иa2 − b2 + с2 − d2 = 1000. Найдите количество возможных значений числа a. - Д4
Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно
б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?
- Д5
Коля множил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное m. Вова умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное n.
а) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 6?
б) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 13?
в) Какие значения может принимать модуль разности чисел m и n?
- Д6
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 31. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. После того как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен 9. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
- Д7
а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде
'/%3E%3Cuse id='g11-49' xlink:href='%23g3-49' transform='scale(.7)'/%3E%3Cuse id='g11-50' xlink:href='%23g3-50' transform='scale(.7)'/%3E%3Cuse id='g11-51' xlink:href='%23g3-51' transform='scale(.7)'/%3E%3Cpath id='g8-97' d='M5-1.2C4.9-1 4.8-1 4.7-.9C4.4-.6 4.3-.4 4.2-.4C4.1-.4 4-.5 4-.6C4-.8 4.5-2.7 5-4.5C5-4.6 5-4.7 5.1-4.8L5-4.8L4.3-4.7L4.3-4.7L4.2-4.2C4.1-4.6 3.8-4.8 3.3-4.8C1.9-4.8 .2-2.8 .2-1.1C.2-.3 .6 .1 1.3 .1C2.1 .1 2.5-.2 3.5-1.6C3.3-.7 3.2-.6 3.2-.3C3.2 0 3.4 .1 3.7 .1C4.1 .1 4.4-.1 5.2-1.1L5-1.2ZM3.4-4.6C3.7-4.5 4-4.3 4-3.9C4-3 3.4-1.7 2.7-.9C2.4-.6 2-.4 1.7-.4C1.3-.4 1.1-.7 1.1-1.2C1.1-1.8 1.5-2.9 2-3.6C2.4-4.2 2.9-4.6 3.4-4.6Z'/%3E%3Cuse id='g16-43' xlink:href='%23g12-43' transform='scale(1.4)'/%3E%3Cuse id='g16-61' xlink:href='%23g12-61' transform='scale(1.4)'/%3E%3Cpath id='g7-59' d='M2.2 0C2.2-.7 1.9-1.2 1.5-1.2C1.2-1.2 .9-.9 .9-.6C.9-.3 1.2 0 1.5 0C1.6 0 1.8 0 1.9-.1C1.9-.2 1.9-.2 1.9-.2S2-.2 2 0C2 .8 1.6 1.4 1.2 1.8C1.1 1.9 1.1 1.9 1.1 2C1.1 2.1 1.2 2.1 1.2 2.1C1.3 2.1 2.2 1.3 2.2 0Z'/%3E%3Cpath id='g12-43' d='M3.2-1.8H5.5C5.6-1.8 5.7-1.8 5.7-2S5.6-2.1 5.5-2.1H3.2V-4.4C3.2-4.5 3.2-4.6 3.1-4.6S2.9-4.5 2.9-4.4V-2.1H.7C.6-2.1 .4-2.1 .4-2S.6-1.8 .7-1.8H2.9V.4C2.9 .5 2.9 .7 3.1 .7S3.2 .5 3.2 .4V-1.8Z'/%3E%3Cpath id='g12-61' d='M5.5-2.6C5.6-2.6 5.7-2.6 5.7-2.8S5.6-2.9 5.5-2.9H.7C.6-2.9 .4-2.9 .4-2.8S.6-2.6 .7-2.6H5.5ZM5.5-1.1C5.6-1.1 5.7-1.1 5.7-1.2S5.6-1.4 5.5-1.4H.7C.6-1.4 .4-1.4 .4-1.2S.6-1.1 .7-1.1H5.5Z'/%3E%3Cuse id='g15-48' xlink:href='%23g3-48'/%3E%3Cuse id='g15-49' xlink:href='%23g3-49'/%3E%3Cuse id='g15-50' xlink:href='%23g3-50'/%3E%3Cuse id='g15-57' xlink:href='%23g3-57'/%3E%3Cpath id='g3-48' d='M2.8-7.3C2.2-7.3 1.7-7.2 1.3-6.8C.7-6.2 .3-4.9 .3-3.7C.3-2.5 .6-1.2 1.1-.6C1.5-.1 2.1 .2 2.7 .2C3.3 .2 3.7 0 4.1-.4C4.8-1 5.2-2.3 5.2-3.6C5.2-5.8 4.2-7.3 2.8-7.3ZM2.7-7.1C3.6-7.1 4.1-5.8 4.1-3.6S3.7-.1 2.7-.1S1.3-1.3 1.3-3.6C1.3-5.9 1.8-7.1 2.7-7.1Z'/%3E%3Cpath id='g3-49' d='M3.2-7.3L1.2-6.4V-6.2C1.3-6.3 1.5-6.3 1.5-6.3C1.7-6.4 1.9-6.4 2-6.4C2.2-6.4 2.3-6.3 2.3-5.9V-1C2.3-.7 2.2-.4 2.1-.3C1.9-.2 1.7-.2 1.3-.2V0H4.3V-.2C3.4-.2 3.2-.3 3.2-.8V-7.3L3.2-7.3Z'/%3E%3Cpath id='g3-50' d='M5.2-1.5L5-1.5C4.6-.9 4.5-.8 4-.8H1.4L3.2-2.7C4.2-3.7 4.6-4.6 4.6-5.4C4.6-6.5 3.7-7.3 2.6-7.3C2-7.3 1.4-7.1 1-6.7C.7-6.3 .5-6 .3-5.2L.6-5.1C1-6.2 1.4-6.5 2.1-6.5C3.1-6.5 3.7-5.9 3.7-5C3.7-4.2 3.2-3.2 2.3-2.2L.3-.1V0H4.6L5.2-1.5Z'/%3E%3Cpath id='g3-51' d='M1.7-3.6C2.3-3.6 2.6-3.6 2.8-3.5C3.5-3.2 3.9-2.6 3.9-1.9C3.9-.9 3.3-.2 2.5-.2C2.2-.2 2-.3 1.6-.6C1.2-.8 1.1-.8 .9-.8C.6-.8 .5-.7 .5-.5C.5-.1 .9 .2 1.7 .2C2.5 .2 3.4-.1 3.9-.6S4.7-1.7 4.7-2.4C4.7-2.9 4.5-3.4 4.2-3.8C4-4 3.8-4.2 3.3-4.4C4.1-4.9 4.3-5.3 4.3-5.9C4.3-6.7 3.6-7.3 2.6-7.3C2.1-7.3 1.6-7.2 1.2-6.8C.9-6.5 .7-6.2 .5-5.6L.7-5.5C1.1-6.3 1.6-6.7 2.3-6.7C3-6.7 3.5-6.2 3.5-5.5C3.5-5.1 3.3-4.7 3-4.5C2.7-4.2 2.4-4 1.7-3.7V-3.6Z'/%3E%3Cpath id='g3-57' d='M.6 .2C1.9 .1 2.5-.1 3.2-.6C4.3-1.5 5-2.8 5-4.3C5-6.1 4-7.3 2.6-7.3C1.3-7.3 .3-6.2 .3-4.8C.3-3.5 1.1-2.6 2.3-2.6C2.9-2.6 3.3-2.7 3.9-3.2C3.5-1.4 2.3-.3 .6 0L.6 .2ZM3.9-3.9C3.9-3.6 3.9-3.5 3.8-3.4C3.5-3.2 3.1-3 2.7-3C1.8-3 1.3-3.9 1.3-5.2C1.3-5.8 1.5-6.4 1.7-6.7C1.9-6.9 2.2-7 2.5-7C3.4-7 3.9-6.1 3.9-4.3V-3.9Z'/%3E%3Cpath id='g1-0' d='M7.2-2.5C7.3-2.5 7.5-2.5 7.5-2.7S7.3-2.9 7.2-2.9H1.3C1.1-2.9 .9-2.9 .9-2.7S1.1-2.5 1.3-2.5H7.2Z'/%3E%3Cpath id='g1-1' d='M2.1-2.7C2.1-3 1.8-3.3 1.5-3.3S.9-3 .9-2.7S1.2-2.1 1.5-2.1S2.1-2.4 2.1-2.7Z'/%3E%3C/defs%3E%3Cg id='page1'%3E%3Cuse x='151.2' y='82.3' xlink:href='%23g15-49'/%3E%3Cuse x='156.7' y='82.3' xlink:href='%23g15-50'/%3E%3Cuse x='162.1' y='82.3' xlink:href='%23g15-57'/%3E%3Cuse x='167.6' y='82.3' xlink:href='%23g15-50'/%3E%3Cuse x='175.5' y='82.3' xlink:href='%23g16-61'/%3E%3Cuse x='186.4' y='82.3' xlink:href='%23g8-97'/%3E%3Cuse x='191.8' y='83.9' xlink:href='%23g11-51'/%3E%3Cuse x='197.8' y='82.3' xlink:href='%23g1-1'/%3E%3Cuse x='202.4' y='82.3' xlink:href='%23g15-49'/%3E%3Cuse x='207.8' y='82.3' xlink:href='%23g15-48'/%3E%3Cuse x='213.3' y='77.8' xlink:href='%23g11-51'/%3E%3Cuse x='219.3' y='82.3' xlink:href='%23g16-43'/%3E%3Cuse x='229.3' y='82.3' xlink:href='%23g8-97'/%3E%3Cuse x='234.7' y='83.9' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='240.7' y='82.3' xlink:href='%23g1-1'/%3E%3Cuse x='245.2' y='82.3' xlink:href='%23g15-49'/%3E%3Cuse x='250.7' y='82.3' xlink:href='%23g15-48'/%3E%3Cuse x='256.2' y='77.8' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='262.2' y='82.3' xlink:href='%23g16-43'/%3E%3Cuse x='272.1' y='82.3' xlink:href='%23g8-97'/%3E%3Cuse x='277.6' y='83.9' xlink:href='%23g11-49'/%3E%3Cuse x='283.6' y='82.3' xlink:href='%23g1-1'/%3E%3Cuse x='288.1' y='82.3' xlink:href='%23g15-49'/%3E%3Cuse x='293.6' y='82.3' xlink:href='%23g15-48'/%3E%3Cuse x='300.6' y='82.3' xlink:href='%23g16-43'/%3E%3Cuse x='310.5' y='82.3' xlink:href='%23g8-97'/%3E%3Cuse x='316' y='83.9' xlink:href='%23g11-48'/%3E%3Cuse x='320.5' y='82.3' xlink:href='%23g7-59'/%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E)
где числа '/%3E%3Cpath id='g8-97' d='M3.7-.9C3.6-.8 3.5-.7 3.5-.7C3.2-.4 3.1-.3 3-.3C3-.3 2.9-.4 2.9-.4C2.9-.6 3.3-1.9 3.6-3.3C3.7-3.4 3.7-3.4 3.7-3.5L3.6-3.5L3.2-3.4L3.1-3.4L3-3C3-3.3 2.7-3.5 2.4-3.5C1.4-3.5 .1-2 .1-.8C.1-.2 .4 .1 .9 .1C1.5 .1 1.8-.2 2.5-1.2C2.4-.5 2.4-.4 2.4-.2C2.4 0 2.5 .1 2.7 .1C3 .1 3.2-.1 3.8-.8L3.7-.9ZM2.5-3.3C2.7-3.3 2.9-3.1 2.9-2.8C2.9-2.2 2.5-1.2 2-.7C1.8-.4 1.5-.3 1.3-.3C1-.3 .8-.5 .8-.9C.8-1.3 1.1-2.1 1.4-2.6C1.8-3.1 2.1-3.4 2.5-3.3Z'/%3E%3Cpath id='g8-105' d='M1.8-.9C1.6-.7 1.5-.6 1.4-.5C1.3-.4 1.2-.3 1.1-.3C1-.3 1-.3 1-.4C1-.5 1-.6 1.1-.8C1.1-.8 1.1-.8 1.1-.9V-.9L1.1-.9L1.8-3.5L1.8-3.5C1-3.4 .8-3.3 .5-3.3V-3.2C.9-3.2 1-3.1 1-3C1-2.9 1-2.8 .9-2.6L.6-1.2C.4-.8 .4-.5 .4-.4C.4-.1 .5 .1 .8 .1C1.1 .1 1.4-.2 1.9-.8L1.8-.9ZM1.7-5.2C1.5-5.2 1.3-5 1.3-4.8C1.3-4.5 1.5-4.4 1.7-4.4C1.9-4.4 2.1-4.5 2.1-4.8C2.1-5 1.9-5.2 1.7-5.2Z'/%3E%3Cpath id='g1-0' d='M7.2-2.5C7.3-2.5 7.5-2.5 7.5-2.7S7.3-2.9 7.2-2.9H1.3C1.1-2.9 .9-2.9 .9-2.7S1.1-2.5 1.3-2.5H7.2Z'/%3E%3C/defs%3E%3Cg id='page1'%3E%3Cuse x='233.3' y='82.3' xlink:href='%23g12-97'/%3E%3Cuse x='238.7' y='83.9' xlink:href='%23g8-105'/%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E)
— целые, '/%3E%3Cpath id='g8-59' d='M1.6 0C1.6-.5 1.4-.8 1.1-.8C.8-.8 .7-.6 .7-.4C.7-.2 .8 0 1.1 0C1.2 0 1.3 0 1.4-.1C1.4-.1 1.4-.1 1.4-.1S1.4-.1 1.4 0C1.4 .6 1.2 1.1 .9 1.3C.8 1.4 .8 1.4 .8 1.4C.8 1.5 .8 1.5 .9 1.5C1 1.5 1.6 .9 1.6 0Z'/%3E%3Cuse id='g13-97' xlink:href='%23g9-97' transform='scale(1.4)'/%3E%3Cuse id='g13-105' xlink:href='%23g9-105' transform='scale(1.4)'/%3E%3Cpath id='g0-54' d='M7.4-6.5C7.5-6.5 7.6-6.6 7.6-6.7S7.5-6.9 7.4-6.9C7.3-6.9 7.2-6.9 7.2-6.9L1.1-4C.9-3.9 .9-3.9 .9-3.8S.9-3.6 1.1-3.5L7.2-.7C7.3-.6 7.3-.6 7.4-.6C7.5-.6 7.6-.7 7.6-.8C7.6-1 7.5-1 7.4-1.1L1.6-3.8L7.4-6.5ZM7.2 1.4C7.3 1.5 7.3 1.5 7.4 1.5C7.5 1.5 7.6 1.4 7.6 1.3C7.6 1.1 7.5 1.1 7.4 1L1.3-1.8C1.2-1.9 1.2-1.9 1.1-1.9C1-1.9 .9-1.8 .9-1.7C.9-1.6 .9-1.5 1.1-1.4L7.2 1.4Z'/%3E%3Cuse id='g16-48' xlink:href='%23g4-48'/%3E%3Cuse id='g16-49' xlink:href='%23g4-49'/%3E%3Cuse id='g16-50' xlink:href='%23g4-50'/%3E%3Cuse id='g16-51' xlink:href='%23g4-51'/%3E%3Cuse id='g16-57' xlink:href='%23g4-57'/%3E%3Cuse id='g16-59' xlink:href='%23g4-59'/%3E%3Cuse id='g16-63' xlink:href='%23g4-63'/%3E%3Cpath id='g9-97' d='M3.7-.9C3.6-.8 3.5-.7 3.5-.7C3.2-.4 3.1-.3 3-.3C3-.3 2.9-.4 2.9-.4C2.9-.6 3.3-1.9 3.6-3.3C3.7-3.4 3.7-3.4 3.7-3.5L3.6-3.5L3.2-3.4L3.1-3.4L3-3C3-3.3 2.7-3.5 2.4-3.5C1.4-3.5 .1-2 .1-.8C.1-.2 .4 .1 .9 .1C1.5 .1 1.8-.2 2.5-1.2C2.4-.5 2.4-.4 2.4-.2C2.4 0 2.5 .1 2.7 .1C3 .1 3.2-.1 3.8-.8L3.7-.9ZM2.5-3.3C2.7-3.3 2.9-3.1 2.9-2.8C2.9-2.2 2.5-1.2 2-.7C1.8-.4 1.5-.3 1.3-.3C1-.3 .8-.5 .8-.9C.8-1.3 1.1-2.1 1.4-2.6C1.8-3.1 2.1-3.4 2.5-3.3Z'/%3E%3Cpath id='g9-105' d='M1.8-.9C1.6-.7 1.5-.6 1.4-.5C1.3-.4 1.2-.3 1.1-.3C1-.3 1-.3 1-.4C1-.5 1-.6 1.1-.8C1.1-.8 1.1-.8 1.1-.9V-.9L1.1-.9L1.8-3.5L1.8-3.5C1-3.4 .8-3.3 .5-3.3V-3.2C.9-3.2 1-3.1 1-3C1-2.9 1-2.8 .9-2.6L.6-1.2C.4-.8 .4-.5 .4-.4C.4-.1 .5 .1 .8 .1C1.1 .1 1.4-.2 1.9-.8L1.8-.9ZM1.7-5.2C1.5-5.2 1.3-5 1.3-4.8C1.3-4.5 1.5-4.4 1.7-4.4C1.9-4.4 2.1-4.5 2.1-4.8C2.1-5 1.9-5.2 1.7-5.2Z'/%3E%3Cpath id='g4-48' d='M2.8-7.3C2.2-7.3 1.7-7.2 1.3-6.8C.7-6.2 .3-4.9 .3-3.7C.3-2.5 .6-1.2 1.1-.6C1.5-.1 2.1 .2 2.7 .2C3.3 .2 3.7 0 4.1-.4C4.8-1 5.2-2.3 5.2-3.6C5.2-5.8 4.2-7.3 2.8-7.3ZM2.7-7.1C3.6-7.1 4.1-5.8 4.1-3.6S3.7-.1 2.7-.1S1.3-1.3 1.3-3.6C1.3-5.9 1.8-7.1 2.7-7.1Z'/%3E%3Cpath id='g4-49' d='M3.2-7.3L1.2-6.4V-6.2C1.3-6.3 1.5-6.3 1.5-6.3C1.7-6.4 1.9-6.4 2-6.4C2.2-6.4 2.3-6.3 2.3-5.9V-1C2.3-.7 2.2-.4 2.1-.3C1.9-.2 1.7-.2 1.3-.2V0H4.3V-.2C3.4-.2 3.2-.3 3.2-.8V-7.3L3.2-7.3Z'/%3E%3Cpath id='g4-50' d='M5.2-1.5L5-1.5C4.6-.9 4.5-.8 4-.8H1.4L3.2-2.7C4.2-3.7 4.6-4.6 4.6-5.4C4.6-6.5 3.7-7.3 2.6-7.3C2-7.3 1.4-7.1 1-6.7C.7-6.3 .5-6 .3-5.2L.6-5.1C1-6.2 1.4-6.5 2.1-6.5C3.1-6.5 3.7-5.9 3.7-5C3.7-4.2 3.2-3.2 2.3-2.2L.3-.1V0H4.6L5.2-1.5Z'/%3E%3Cpath id='g4-51' d='M1.7-3.6C2.3-3.6 2.6-3.6 2.8-3.5C3.5-3.2 3.9-2.6 3.9-1.9C3.9-.9 3.3-.2 2.5-.2C2.2-.2 2-.3 1.6-.6C1.2-.8 1.1-.8 .9-.8C.6-.8 .5-.7 .5-.5C.5-.1 .9 .2 1.7 .2C2.5 .2 3.4-.1 3.9-.6S4.7-1.7 4.7-2.4C4.7-2.9 4.5-3.4 4.2-3.8C4-4 3.8-4.2 3.3-4.4C4.1-4.9 4.3-5.3 4.3-5.9C4.3-6.7 3.6-7.3 2.6-7.3C2.1-7.3 1.6-7.2 1.2-6.8C.9-6.5 .7-6.2 .5-5.6L.7-5.5C1.1-6.3 1.6-6.7 2.3-6.7C3-6.7 3.5-6.2 3.5-5.5C3.5-5.1 3.3-4.7 3-4.5C2.7-4.2 2.4-4 1.7-3.7V-3.6Z'/%3E%3Cpath id='g4-57' d='M.6 .2C1.9 .1 2.5-.1 3.2-.6C4.3-1.5 5-2.8 5-4.3C5-6.1 4-7.3 2.6-7.3C1.3-7.3 .3-6.2 .3-4.8C.3-3.5 1.1-2.6 2.3-2.6C2.9-2.6 3.3-2.7 3.9-3.2C3.5-1.4 2.3-.3 .6 0L.6 .2ZM3.9-3.9C3.9-3.6 3.9-3.5 3.8-3.4C3.5-3.2 3.1-3 2.7-3C1.8-3 1.3-3.9 1.3-5.2C1.3-5.8 1.5-6.4 1.7-6.7C1.9-6.9 2.2-7 2.5-7C3.4-7 3.9-6.1 3.9-4.3V-3.9Z'/%3E%3Cpath id='g4-59' d='M1.2 1.5C1.9 1.2 2.4 .5 2.4-.1C2.4-.7 2-1.1 1.5-1.1C1.1-1.1 .9-.9 .9-.5C.9-.1 1.1 .1 1.5 .1C1.6 .1 1.7 .1 1.7 0C1.8 0 1.8 0 1.8 0C1.9 0 2 .1 2 .2C2 .5 1.7 .9 1.1 1.3L1.2 1.5ZM1.5-5C1.2-5 .9-4.7 .9-4.4C.9-4.1 1.2-3.8 1.5-3.8C1.8-3.8 2.1-4.1 2.1-4.4C2.1-4.7 1.8-5 1.5-5Z'/%3E%3Cpath id='g4-63' d='M2.7-1.8C2.8-2.5 3-2.9 3.4-3.5C3.9-4.1 3.9-4.1 4-4.3C4.4-4.8 4.5-5.2 4.5-5.7C4.5-6.1 4.4-6.5 4.1-6.7C3.7-7.1 3.1-7.3 2.5-7.3C1.5-7.3 .7-6.7 .7-5.8C.7-5.3 .9-5.1 1.3-5.1C1.5-5.1 1.7-5.3 1.7-5.5C1.7-5.7 1.6-5.8 1.5-6C1.3-6.2 1.3-6.3 1.3-6.3C1.3-6.7 1.8-7 2.3-7C3-7 3.5-6.4 3.5-5.7C3.5-5.2 3.4-4.6 3.1-4L2.8-3.3C2.6-2.8 2.5-2.3 2.5-1.8H2.7ZM2.6-1.1C2.2-1.1 2-.8 2-.5C2-.2 2.2 .1 2.6 .1C2.9 .1 3.2-.2 3.2-.5S2.9-1.1 2.6-1.1Z'/%3E%3Cpath id='g2-0' d='M7.2-2.5C7.3-2.5 7.5-2.5 7.5-2.7S7.3-2.9 7.2-2.9H1.3C1.1-2.9 .9-2.9 .9-2.7S1.1-2.5 1.3-2.5H7.2Z'/%3E%3C/defs%3E%3Cg id='page1'%3E%3Cuse x='180' y='82.3' xlink:href='%23g16-48'/%3E%3Cuse x='187.8' y='82.3' xlink:href='%23g0-54'/%3E%3Cuse x='198.8' y='82.3' xlink:href='%23g13-97'/%3E%3Cuse x='204.2' y='83.9' xlink:href='%23g9-105'/%3E%3Cuse x='209.3' y='82.3' xlink:href='%23g0-54'/%3E%3Cuse x='220.3' y='82.3' xlink:href='%23g16-57'/%3E%3Cuse x='225.7' y='82.3' xlink:href='%23g16-57'/%3E%3Cuse x='231.2' y='82.3' xlink:href='%23g12-59'/%3E%3Cuse x='239' y='82.3' xlink:href='%23g13-105'/%3E%3Cuse x='244.5' y='82.3' xlink:href='%23g17-61'/%3E%3Cuse x='255.4' y='82.3' xlink:href='%23g16-48'/%3E%3Cuse x='260.8' y='82.3' xlink:href='%23g16-59'/%3E%3Cuse x='265.1' y='82.3' xlink:href='%23g16-49'/%3E%3Cuse x='270.5' y='82.3' xlink:href='%23g16-59'/%3E%3Cuse x='274.8' y='82.3' xlink:href='%23g16-50'/%3E%3Cuse x='280.2' y='82.3' xlink:href='%23g16-59'/%3E%3Cuse x='284.5' y='82.3' xlink:href='%23g16-51'/%3E%3Cuse x='289.9' y='82.3' xlink:href='%23g16-63'/%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E)
б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде
'/%3E%3Cuse id='g11-49' xlink:href='%23g3-49' transform='scale(.7)'/%3E%3Cuse id='g11-50' xlink:href='%23g3-50' transform='scale(.7)'/%3E%3Cuse id='g11-51' xlink:href='%23g3-51' transform='scale(.7)'/%3E%3Cpath id='g3-48' d='M2.8-7.3C2.2-7.3 1.7-7.2 1.3-6.8C.7-6.2 .3-4.9 .3-3.7C.3-2.5 .6-1.2 1.1-.6C1.5-.1 2.1 .2 2.7 .2C3.3 .2 3.7 0 4.1-.4C4.8-1 5.2-2.3 5.2-3.6C5.2-5.8 4.2-7.3 2.8-7.3ZM2.7-7.1C3.6-7.1 4.1-5.8 4.1-3.6S3.7-.1 2.7-.1S1.3-1.3 1.3-3.6C1.3-5.9 1.8-7.1 2.7-7.1Z'/%3E%3Cpath id='g3-49' d='M3.2-7.3L1.2-6.4V-6.2C1.3-6.3 1.5-6.3 1.5-6.3C1.7-6.4 1.9-6.4 2-6.4C2.2-6.4 2.3-6.3 2.3-5.9V-1C2.3-.7 2.2-.4 2.1-.3C1.9-.2 1.7-.2 1.3-.2V0H4.3V-.2C3.4-.2 3.2-.3 3.2-.8V-7.3L3.2-7.3Z'/%3E%3Cpath id='g3-50' d='M5.2-1.5L5-1.5C4.6-.9 4.5-.8 4-.8H1.4L3.2-2.7C4.2-3.7 4.6-4.6 4.6-5.4C4.6-6.5 3.7-7.3 2.6-7.3C2-7.3 1.4-7.1 1-6.7C.7-6.3 .5-6 .3-5.2L.6-5.1C1-6.2 1.4-6.5 2.1-6.5C3.1-6.5 3.7-5.9 3.7-5C3.7-4.2 3.2-3.2 2.3-2.2L.3-.1V0H4.6L5.2-1.5Z'/%3E%3Cpath id='g3-51' d='M1.7-3.6C2.3-3.6 2.6-3.6 2.8-3.5C3.5-3.2 3.9-2.6 3.9-1.9C3.9-.9 3.3-.2 2.5-.2C2.2-.2 2-.3 1.6-.6C1.2-.8 1.1-.8 .9-.8C.6-.8 .5-.7 .5-.5C.5-.1 .9 .2 1.7 .2C2.5 .2 3.4-.1 3.9-.6S4.7-1.7 4.7-2.4C4.7-2.9 4.5-3.4 4.2-3.8C4-4 3.8-4.2 3.3-4.4C4.1-4.9 4.3-5.3 4.3-5.9C4.3-6.7 3.6-7.3 2.6-7.3C2.1-7.3 1.6-7.2 1.2-6.8C.9-6.5 .7-6.2 .5-5.6L.7-5.5C1.1-6.3 1.6-6.7 2.3-6.7C3-6.7 3.5-6.2 3.5-5.5C3.5-5.1 3.3-4.7 3-4.5C2.7-4.2 2.4-4 1.7-3.7V-3.6Z'/%3E%3Cuse id='g16-43' xlink:href='%23g12-43' transform='scale(1.4)'/%3E%3Cuse id='g16-61' xlink:href='%23g12-61' transform='scale(1.4)'/%3E%3Cuse id='g15-48' xlink:href='%23g3-48'/%3E%3Cuse id='g15-49' xlink:href='%23g3-49'/%3E%3Cpath id='g8-78' d='M7.9-7.1H5.7V-6.9C6.4-6.9 6.5-6.8 6.5-6.4C6.5-6.2 6.5-6.1 6.4-5.9C6.4-5.9 6.4-5.8 6.4-5.8L5.3-1.7L3-7.1H1.3V-6.9C1.8-6.9 2-6.7 2.2-6.3L.9-1.8C.5-.4 .4-.3-.2-.2V0H1.9V-.2C1.4-.2 1.2-.3 1.2-.6C1.2-.8 1.2-1 1.3-1.2L2.5-5.8L5 .2H5.2L6.8-5.3C7.2-6.7 7.2-6.8 7.9-6.9V-7.1Z'/%3E%3Cpath id='g8-97' d='M5-1.2C4.9-1 4.8-1 4.7-.9C4.4-.6 4.3-.4 4.2-.4C4.1-.4 4-.5 4-.6C4-.8 4.5-2.7 5-4.5C5-4.6 5-4.7 5.1-4.8L5-4.8L4.3-4.7L4.3-4.7L4.2-4.2C4.1-4.6 3.8-4.8 3.3-4.8C1.9-4.8 .2-2.8 .2-1.1C.2-.3 .6 .1 1.3 .1C2.1 .1 2.5-.2 3.5-1.6C3.3-.7 3.2-.6 3.2-.3C3.2 0 3.4 .1 3.7 .1C4.1 .1 4.4-.1 5.2-1.1L5-1.2ZM3.4-4.6C3.7-4.5 4-4.3 4-3.9C4-3 3.4-1.7 2.7-.9C2.4-.6 2-.4 1.7-.4C1.3-.4 1.1-.7 1.1-1.2C1.1-1.8 1.5-2.9 2-3.6C2.4-4.2 2.9-4.6 3.4-4.6Z'/%3E%3Cpath id='g12-43' d='M3.2-1.8H5.5C5.6-1.8 5.7-1.8 5.7-2S5.6-2.1 5.5-2.1H3.2V-4.4C3.2-4.5 3.2-4.6 3.1-4.6S2.9-4.5 2.9-4.4V-2.1H.7C.6-2.1 .4-2.1 .4-2S.6-1.8 .7-1.8H2.9V.4C2.9 .5 2.9 .7 3.1 .7S3.2 .5 3.2 .4V-1.8Z'/%3E%3Cpath id='g12-61' d='M5.5-2.6C5.6-2.6 5.7-2.6 5.7-2.8S5.6-2.9 5.5-2.9H.7C.6-2.9 .4-2.9 .4-2.8S.6-2.6 .7-2.6H5.5ZM5.5-1.1C5.6-1.1 5.7-1.1 5.7-1.2S5.6-1.4 5.5-1.4H.7C.6-1.4 .4-1.4 .4-1.2S.6-1.1 .7-1.1H5.5Z'/%3E%3Cpath id='g1-0' d='M7.2-2.5C7.3-2.5 7.5-2.5 7.5-2.7S7.3-2.9 7.2-2.9H1.3C1.1-2.9 .9-2.9 .9-2.7S1.1-2.5 1.3-2.5H7.2Z'/%3E%3Cpath id='g1-1' d='M2.1-2.7C2.1-3 1.8-3.3 1.5-3.3S.9-3 .9-2.7S1.2-2.1 1.5-2.1S2.1-2.4 2.1-2.7Z'/%3E%3C/defs%3E%3Cg id='page1'%3E%3Cuse x='158.2' y='82.3' xlink:href='%23g8-78'/%3E%3Cuse x='168.5' y='82.3' xlink:href='%23g16-61'/%3E%3Cuse x='179.4' y='82.3' xlink:href='%23g8-97'/%3E%3Cuse x='184.9' y='83.9' xlink:href='%23g11-51'/%3E%3Cuse x='190.9' y='82.3' xlink:href='%23g1-1'/%3E%3Cuse x='195.4' y='82.3' xlink:href='%23g15-49'/%3E%3Cuse x='200.9' y='82.3' xlink:href='%23g15-48'/%3E%3Cuse x='206.3' y='77.8' xlink:href='%23g11-51'/%3E%3Cuse x='212.3' y='82.3' xlink:href='%23g16-43'/%3E%3Cuse x='222.3' y='82.3' xlink:href='%23g8-97'/%3E%3Cuse x='227.8' y='83.9' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='233.8' y='82.3' xlink:href='%23g1-1'/%3E%3Cuse x='238.3' y='82.3' xlink:href='%23g15-49'/%3E%3Cuse x='243.8' y='82.3' xlink:href='%23g15-48'/%3E%3Cuse x='249.2' y='77.8' xlink:href='%23g11-50'/%3E%3Cuse x='255.2' y='82.3' xlink:href='%23g16-43'/%3E%3Cuse x='265.2' y='82.3' xlink:href='%23g8-97'/%3E%3Cuse x='270.7' y='83.9' xlink:href='%23g11-49'/%3E%3Cuse x='276.7' y='82.3' xlink:href='%23g1-1'/%3E%3Cuse x='281.2' y='82.3' xlink:href='%23g15-49'/%3E%3Cuse x='286.6' y='82.3' xlink:href='%23g15-48'/%3E%3Cuse x='293.6' y='82.3' xlink:href='%23g16-43'/%3E%3Cuse x='303.6' y='82.3' xlink:href='%23g8-97'/%3E%3Cuse x='309.1' y='83.9' xlink:href='%23g11-48'/%3E%3Cuse x='313.5' y='82.3' xlink:href='%23g7-59'/%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E)
где числа — целые, '/%3E%3Cpath id='g8-59' d='M1.6 0C1.6-.5 1.4-.8 1.1-.8C.8-.8 .7-.6 .7-.4C.7-.2 .8 0 1.1 0C1.2 0 1.3 0 1.4-.1C1.4-.1 1.4-.1 1.4-.1S1.4-.1 1.4 0C1.4 .6 1.2 1.1 .9 1.3C.8 1.4 .8 1.4 .8 1.4C.8 1.5 .8 1.5 .9 1.5C1 1.5 1.6 .9 1.6 0Z'/%3E%3Cuse id='g13-97' xlink:href='%23g9-97' transform='scale(1.4)'/%3E%3Cuse id='g13-105' xlink:href='%23g9-105' transform='scale(1.4)'/%3E%3Cpath id='g9-97' d='M3.7-.9C3.6-.8 3.5-.7 3.5-.7C3.2-.4 3.1-.3 3-.3C3-.3 2.9-.4 2.9-.4C2.9-.6 3.3-1.9 3.6-3.3C3.7-3.4 3.7-3.4 3.7-3.5L3.6-3.5L3.2-3.4L3.1-3.4L3-3C3-3.3 2.7-3.5 2.4-3.5C1.4-3.5 .1-2 .1-.8C.1-.2 .4 .1 .9 .1C1.5 .1 1.8-.2 2.5-1.2C2.4-.5 2.4-.4 2.4-.2C2.4 0 2.5 .1 2.7 .1C3 .1 3.2-.1 3.8-.8L3.7-.9ZM2.5-3.3C2.7-3.3 2.9-3.1 2.9-2.8C2.9-2.2 2.5-1.2 2-.7C1.8-.4 1.5-.3 1.3-.3C1-.3 .8-.5 .8-.9C.8-1.3 1.1-2.1 1.4-2.6C1.8-3.1 2.1-3.4 2.5-3.3Z'/%3E%3Cpath id='g9-105' d='M1.8-.9C1.6-.7 1.5-.6 1.4-.5C1.3-.4 1.2-.3 1.1-.3C1-.3 1-.3 1-.4C1-.5 1-.6 1.1-.8C1.1-.8 1.1-.8 1.1-.9V-.9L1.1-.9L1.8-3.5L1.8-3.5C1-3.4 .8-3.3 .5-3.3V-3.2C.9-3.2 1-3.1 1-3C1-2.9 1-2.8 .9-2.6L.6-1.2C.4-.8 .4-.5 .4-.4C.4-.1 .5 .1 .8 .1C1.1 .1 1.4-.2 1.9-.8L1.8-.9ZM1.7-5.2C1.5-5.2 1.3-5 1.3-4.8C1.3-4.5 1.5-4.4 1.7-4.4C1.9-4.4 2.1-4.5 2.1-4.8C2.1-5 1.9-5.2 1.7-5.2Z'/%3E%3Cpath id='g0-54' d='M7.4-6.5C7.5-6.5 7.6-6.6 7.6-6.7S7.5-6.9 7.4-6.9C7.3-6.9 7.2-6.9 7.2-6.9L1.1-4C.9-3.9 .9-3.9 .9-3.8S.9-3.6 1.1-3.5L7.2-.7C7.3-.6 7.3-.6 7.4-.6C7.5-.6 7.6-.7 7.6-.8C7.6-1 7.5-1 7.4-1.1L1.6-3.8L7.4-6.5ZM7.2 1.4C7.3 1.5 7.3 1.5 7.4 1.5C7.5 1.5 7.6 1.4 7.6 1.3C7.6 1.1 7.5 1.1 7.4 1L1.3-1.8C1.2-1.9 1.2-1.9 1.1-1.9C1-1.9 .9-1.8 .9-1.7C.9-1.6 .9-1.5 1.1-1.4L7.2 1.4Z'/%3E%3Cuse id='g16-48' xlink:href='%23g4-48'/%3E%3Cuse id='g16-49' xlink:href='%23g4-49'/%3E%3Cuse id='g16-50' xlink:href='%23g4-50'/%3E%3Cuse id='g16-51' xlink:href='%23g4-51'/%3E%3Cuse id='g16-57' xlink:href='%23g4-57'/%3E%3Cuse id='g16-59' xlink:href='%23g4-59'/%3E%3Cpath id='g4-48' d='M2.8-7.3C2.2-7.3 1.7-7.2 1.3-6.8C.7-6.2 .3-4.9 .3-3.7C.3-2.5 .6-1.2 1.1-.6C1.5-.1 2.1 .2 2.7 .2C3.3 .2 3.7 0 4.1-.4C4.8-1 5.2-2.3 5.2-3.6C5.2-5.8 4.2-7.3 2.8-7.3ZM2.7-7.1C3.6-7.1 4.1-5.8 4.1-3.6S3.7-.1 2.7-.1S1.3-1.3 1.3-3.6C1.3-5.9 1.8-7.1 2.7-7.1Z'/%3E%3Cpath id='g4-49' d='M3.2-7.3L1.2-6.4V-6.2C1.3-6.3 1.5-6.3 1.5-6.3C1.7-6.4 1.9-6.4 2-6.4C2.2-6.4 2.3-6.3 2.3-5.9V-1C2.3-.7 2.2-.4 2.1-.3C1.9-.2 1.7-.2 1.3-.2V0H4.3V-.2C3.4-.2 3.2-.3 3.2-.8V-7.3L3.2-7.3Z'/%3E%3Cpath id='g4-50' d='M5.2-1.5L5-1.5C4.6-.9 4.5-.8 4-.8H1.4L3.2-2.7C4.2-3.7 4.6-4.6 4.6-5.4C4.6-6.5 3.7-7.3 2.6-7.3C2-7.3 1.4-7.1 1-6.7C.7-6.3 .5-6 .3-5.2L.6-5.1C1-6.2 1.4-6.5 2.1-6.5C3.1-6.5 3.7-5.9 3.7-5C3.7-4.2 3.2-3.2 2.3-2.2L.3-.1V0H4.6L5.2-1.5Z'/%3E%3Cpath id='g4-51' d='M1.7-3.6C2.3-3.6 2.6-3.6 2.8-3.5C3.5-3.2 3.9-2.6 3.9-1.9C3.9-.9 3.3-.2 2.5-.2C2.2-.2 2-.3 1.6-.6C1.2-.8 1.1-.8 .9-.8C.6-.8 .5-.7 .5-.5C.5-.1 .9 .2 1.7 .2C2.5 .2 3.4-.1 3.9-.6S4.7-1.7 4.7-2.4C4.7-2.9 4.5-3.4 4.2-3.8C4-4 3.8-4.2 3.3-4.4C4.1-4.9 4.3-5.3 4.3-5.9C4.3-6.7 3.6-7.3 2.6-7.3C2.1-7.3 1.6-7.2 1.2-6.8C.9-6.5 .7-6.2 .5-5.6L.7-5.5C1.1-6.3 1.6-6.7 2.3-6.7C3-6.7 3.5-6.2 3.5-5.5C3.5-5.1 3.3-4.7 3-4.5C2.7-4.2 2.4-4 1.7-3.7V-3.6Z'/%3E%3Cpath id='g4-57' d='M.6 .2C1.9 .1 2.5-.1 3.2-.6C4.3-1.5 5-2.8 5-4.3C5-6.1 4-7.3 2.6-7.3C1.3-7.3 .3-6.2 .3-4.8C.3-3.5 1.1-2.6 2.3-2.6C2.9-2.6 3.3-2.7 3.9-3.2C3.5-1.4 2.3-.3 .6 0L.6 .2ZM3.9-3.9C3.9-3.6 3.9-3.5 3.8-3.4C3.5-3.2 3.1-3 2.7-3C1.8-3 1.3-3.9 1.3-5.2C1.3-5.8 1.5-6.4 1.7-6.7C1.9-6.9 2.2-7 2.5-7C3.4-7 3.9-6.1 3.9-4.3V-3.9Z'/%3E%3Cpath id='g4-59' d='M1.2 1.5C1.9 1.2 2.4 .5 2.4-.1C2.4-.7 2-1.1 1.5-1.1C1.1-1.1 .9-.9 .9-.5C.9-.1 1.1 .1 1.5 .1C1.6 .1 1.7 .1 1.7 0C1.8 0 1.8 0 1.8 0C1.9 0 2 .1 2 .2C2 .5 1.7 .9 1.1 1.3L1.2 1.5ZM1.5-5C1.2-5 .9-4.7 .9-4.4C.9-4.1 1.2-3.8 1.5-3.8C1.8-3.8 2.1-4.1 2.1-4.4C2.1-4.7 1.8-5 1.5-5Z'/%3E%3Cpath id='g2-0' d='M7.2-2.5C7.3-2.5 7.5-2.5 7.5-2.7S7.3-2.9 7.2-2.9H1.3C1.1-2.9 .9-2.9 .9-2.7S1.1-2.5 1.3-2.5H7.2Z'/%3E%3C/defs%3E%3Cg id='page1'%3E%3Cuse x='180.9' y='82.3' xlink:href='%23g16-48'/%3E%3Cuse x='188.8' y='82.3' xlink:href='%23g0-54'/%3E%3Cuse x='199.7' y='82.3' xlink:href='%23g13-97'/%3E%3Cuse x='205.1' y='83.9' xlink:href='%23g9-105'/%3E%3Cuse x='210.3' y='82.3' xlink:href='%23g0-54'/%3E%3Cuse x='221.2' y='82.3' xlink:href='%23g16-57'/%3E%3Cuse x='226.6' y='82.3' xlink:href='%23g16-57'/%3E%3Cuse x='232.1' y='82.3' xlink:href='%23g12-59'/%3E%3Cuse x='239.9' y='82.3' xlink:href='%23g13-105'/%3E%3Cuse x='245.4' y='82.3' xlink:href='%23g17-61'/%3E%3Cuse x='256.3' y='82.3' xlink:href='%23g16-48'/%3E%3Cuse x='261.7' y='82.3' xlink:href='%23g16-59'/%3E%3Cuse x='266' y='82.3' xlink:href='%23g16-49'/%3E%3Cuse x='271.4' y='82.3' xlink:href='%23g16-59'/%3E%3Cuse x='275.7' y='82.3' xlink:href='%23g16-50'/%3E%3Cuse x='281.1' y='82.3' xlink:href='%23g16-59'/%3E%3Cuse x='285.4' y='82.3' xlink:href='%23g16-51'/%3E%3Cuse x='290.8' y='82.3' xlink:href='%23g12-59'/%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E)
ровно 130 способами?в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде
где числа — целые, ровно 130 способами? - Д8
Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321.
а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна трём.
б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 111?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.
- Д9
Обозначим через s(n) сумму цифр натурального числа n. Трехзначное число n будем называть хорошим, если n делится на s(n).
а) Чему равно наибольшее возможное значение частного
для хорошего числа?б) Чему равно наименьшее возможное значение частного
для хорошего числа?в) Может ли для хорошего числа быть
- Д10
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли выполняться равенство
б) Может ли дробь
быть в 11 раз меньше, чем сумма в) Какое наименьшее значение может принимать дробь
если 
и 
- Д11
Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.
а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых нет ни одного очень счастливого числа?
б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?
в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
- Д12
Четыре натуральных числа таковы, что
а) Могут ли все эти числа быть попарно различны?
б) Может ли одно из этих чисел равняться 7?
в) Найдите все возможные наборы таких чисел, среди которых есть равные.
- Д13
Петя умножил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное а. Вася умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное b.
а) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 8?
б) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 11?
в) Какие значения может принимать модуль разности чисел a и b?
- Д14
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 14 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 33?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 6. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
- Д15
а) Можно ли число 2016 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли число 197 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырех различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
- Д16
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {200; 201; 202; ...; 299} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2100} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?
- Д17
Известно, что a, b, c и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли выполняться равенство
б) Может ли дробь
быть в 11 раз меньше, чем сумма в) Какое наименьшее значение может принимать дробь
если 
и 
- Д18
Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.
а) Существуют ли одиннадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых ровно два очень счастливых?
б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2017?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
- Д19
Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно
б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?
- Д20
Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n – также натуральное число.
а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?
б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?
в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n>100.
- Д21
Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 3111.
а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна 17.
б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 109?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.
- Д22
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
- Д23
Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.
а) Существуют ли десять последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть два очень счастливых?
б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2015?
в) Найдите наименьшее натуральное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
- Д24
На сайте школы идет голосование на звание «Лучший ученик года», где каждый посетитель голосует только за одного из претендентов. Рейтинг каждого претендента (доля голосов, отданных за него) выражается в процентах, округленных до целого числа. Например, числа 9,3; 17,5 и 19,9 округляются до 9; 18 и 20 соответственно.
а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Мог ли рейтинг одного из претендентов равняться 41?
б) Пусть претендентов четверо. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого претендента равнялся 5. Это число не изменилось и после того, как Игорь проголосовал за него. При каком наименьшем числе отданных за всех претендентов голосов, включая Игоря, такое возможно?
- Д25
Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 3111.
а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна 221.
б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 2001?
в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.