Задание 20 · Числа и их свойства

20.2. Числовые наборы на карточках и досках

Для репетитора: показать ответы

1. Что за задачи

На доске, на карточках или просто «в наборе» записано несколько чисел (натуральных, целых, иногда с повторами). Про набор известно что-то про сумму, среднее арифметическое, кратность, различие чисел; спрашивают, возможен ли такой набор, и просят найти наибольшее или наименьшее значение. Как правило, пункт а) — «может ли…?» (хватает примера), пункты б) и в) — доказательство невозможности и поиск экстремума по схеме «оценка + пример».

2. Среднее арифметическое и сумма

Для $n$ чисел: среднее $m=\dfrac{S}{n}$, где $S$ — сумма; значит, $S=m\cdot n$.
Если к набору добавить число меньше среднего, среднее уменьшится; если больше — увеличится.
Среднее арифметическое всех чисел набора, кроме $k$-го: $M_k=\dfrac{S-a_k}{n-1}$, откуда $a_k=S-(n-1)M_k$. Вычитая такие равенства друг из друга, получают связи между числами: $a_1-a_2=(n-1)(M_2-M_1)$.
Смешение групп. Если в первой группе $n_1$ чисел со средним $A$, а во второй $n_2$ чисел со средним $B$, то среднее всего набора равно $\dfrac{n_1A+n_2B}{n_1+n_2}$. При одинаковом числе чисел в группах это $\dfrac{A+B}{2}$; при разном — может оказаться меньше или больше.
Любой член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому соседних: $a_{k-1}+a_{k+1}=2a_k$.

3. Сумма подряд идущих натуральных чисел

$S(a,b)=a+(a+1)+\dots+b=\dfrac{(a+b)(b-a+1)}{2}$, в частности $1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$. Эта формула нужна почти в каждой задаче про набор различных натуральных чисел.

4. Оценка снизу по минимальной сумме

Если на доске записаны $n$ различных натуральных чисел, их сумма не меньше суммы первых $n$ натуральных: $S\ge1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
Чтобы проверить, может ли некоторое число $c$ быть в наборе, возьмите самый «экономный» набор, содержащий $c$: наименьшие натуральные числа и $c$. Если его сумма уже больше заданной, то $c$ в наборе быть не может.
И наоборот: если сумма самого «экономного» набора, в котором числа $c$ нет, уже больше заданной суммы, то $c$ в наборе обязательно есть.

5. Метод «оценка + пример»

Оценка: доказать, что искомая величина не больше (не меньше) некоторого числа.
Пример: построить набор, на котором оценка достигается.

Усиление неравенства: переменную заменяют на её наибольшее или наименьшее возможное значение — так получают границу. Баллы в задаче ставятся отдельно за пример в а), обоснованный ответ в б), оценку в в) и пример, на котором оценка достигается.

6. Границы через отношения и разности чисел

Если известно, что наименьшее число $a$ и наибольшее $b$ отличаются не более чем в 3 раза, а числа различные натуральные (10 чисел), то $b\ge a+9$ и $b\le3a$, откуда $a\ge5$, и сумма не меньше $5+6+\dots+14=95$.

7. Цифры, остатки и кратность

Число записывается через цифры: $n=a_{m-1}\cdot10^{m-1}+\dots+a_1\cdot10+a_0$; число и сумма его цифр дают одинаковые остатки от деления на 3 и на 9.
Числа с одинаковой суммой цифр можно искать в виде $a+9k$, $k=0,1,2,\dots$ (арифметическая прогрессия с разностью 9); сумма первых пяти членов такой прогрессии $5a+90$.
Для произведения чисел (например, $8000=2^6\cdot5^3$) раскладывайте на простые множители: считайте, сколько чисел делятся на 5 и какие степени двойки входят в каждое число.
НОД двух различных натуральных чисел не больше меньшего из них; для простого числа $p$ и числа, не кратного $p$, НОД равен 1.

8. Что остаётся неизменным: инварианты

Если над числами на доске выполняют операции (стирают пары, заменяют числа), ищите величину, которая не меняется: сумма, чётность, остаток по модулю.
Если все числа делятся на 7, а операции (удвоение, сложение) сохраняют кратность 7, то число, не делящееся на 7 (например, 2012), получить нельзя.
Если стирают пары чисел с разностью, кратной 5, то стираемые числа дают одинаковые остатки по модулю 5; кратные 5 стираются только вместе с кратными 5.
Чётность суммы: если сумма всегда чётна, нечётное число получить нельзя.

9. Чётность

Сумма двух нечётных чисел чётна. Если сумма или произведение по условию должны иметь фиксированную чётность, случай другой чётности невозможен; две величины разной чётности не могут быть равны (например, суммы цифр $1+b+c$ и $18-(b+c)$ всегда разной чётности).

10. Наборы чисел в задаче: типичный порядок действий

Запишите, что даёт условие: сумму, среднее, число элементов, кратность, различие.
В пункте а) постройте пример (подбирайте небольшие числа, учитывая ограничения).
В пункте б) оцените сумму или количество; если оценка противоречит условию, ответ «нет».
В пункте в) сначала оцените, затем постройте набор, на котором оценка достигается.

Лайфхак 1. Сначала решайте пункт а). Если на вопрос «Может ли…?» ответ утвердительный, его достаточно обосновать одним примером, и это самые лёгкие баллы в задаче.

Лайфхак 2. Рассмотрите минимальную сумму. Когда в условии есть сумма чисел, прикиньте наименьшую возможную при данных ограничениях — это часто сразу даёт оценку.

Лайфхак 3. Выражайте сумму через среднее. Равенство $S=n\cdot m$ связывает среднее, сумму и число элементов; для «среднего без одного числа» используйте $a_k=S-(n-1)M_k$.

Лайфхак 4. Чтобы чисел было как можно больше, берите их как можно меньшими. Затем проверьте, что пример удовлетворяет всем условиям.

Разобранные примеры

Пример 1

Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а)  Может ли в результате получиться 0?

б)  Может ли в результате получиться 1?

в)  Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Решение

а)  Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю.

б)  Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1.

в)  Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4.

Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; −2); (−2; 1); (−3; 4); (4; −3); (−5; 7); (7; −5); (−8; 9); (9; −8).

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  4.

Пример 2

Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-⁠то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 5, 10, 11, 22, 25, 55, 110, 275, 550?

в)  Приведите все примеры пяти задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 91.

Решение

а)  Для чисел 2, 3, 5, 5 на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

б)  Среди задуманных чисел есть число 11, поскольку иначе оно бы не было записано на доску. Поскольку задуманные числа натуральные, наибольшее число в наборе  — это произведение всех задуманных чисел. Значит, среди чисел записанного набора должно быть произведение всех чисел, кроме 11, то есть 550 : 11  =  50. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого будет выписан набор из условия.

в)  Наибольшее число в наборе  — это произведение всех задуманных чисел. Число 91 раскладывается на простые множители как 7 · 13. Значит, было задумано либо число 91 и четыре единицы, либо пара чисел 7 и 13 и три единицы.

Ответ: а)  2, 3, 5, 5; б)  нет; в)  1, 1, 1, 1, 91 или 1, 1, 1, 7, 13.

Источники

«Нестандартные задачи ЕГЭ и МИОО: числа на доске, среднее арифметическое», И. В. Яковлев, MathUs.ru
«Задание 19 ЕГЭ: лекция А. А. Прокофьева», abiturient.ru, 2017
«Методические рекомендации по решению задач ЕГЭ», школа № 9, г. Усть-Илимск
«Теория по заданию 19», Школково (shkolkovo.online)
«Лайфхаки ЕГЭ 2024», НОМЦ ТГУ (nomc.math.tsu.ru)
«Задачи С6 (№21)», лекция И. В. Ивановой на курсах учителей, infourok.ru

У1
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-⁠то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.
б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.
У2
Сначала Маша написала на доске 15 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 30. Затем вместо некоторых из чисел (возможно, одного) она написала на доске числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, она с доски стёрла.
а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 25. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 32?
в)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 25. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
У3
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
а)  Сколько чисел написано на доске?
б)  Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в)  Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
У4
Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а)  Может ли в результате получиться 0?
б)  Может ли в результате получиться 1?
в)  Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
У5
Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, ..., 22 выбрали 2k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.
а)  Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
б)  Может ли число k быть равным 11?
в)  Найдите наибольшее возможное значение числа k.
У6
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанных на доске заменяется на два числа: a + b и 2a − 1 или a + b и 2b − 1.
Пример: числа 2 и 3 заменяются на 3 и 5, на 5 и 5 соответственно.
а)  Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 19.
б)  Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 100?
в)  Сделали 2015 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
У7
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а)  Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в)  Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
У8
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а)  Может ли на доске быть 5 чисел?
б)  Может ли на доске быть 6 чисел?
в)  Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
У9
Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-⁠то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.
а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?
в)  Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82.
У10
На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-⁠то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а)  Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б)  Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?
в)  Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.
У11
На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.
а)  Может ли быть 24 четных числа?
б)  Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?
в)  Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?
У12
На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стерли.
а)  Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?
б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?
в)  Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
У13
На конкурсе «Мисс−261» выступление каждой участницы оценивают шесть судей. Каждый судья выставляет оценку  — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление участницы С все члены жюри выставили различные оценки. По старой системе оценивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются две наибольшие оценки, и считается среднее арифметическое четырех оставшихся оценок.
а)  Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной 18?
б)  Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной $дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2019?$
в)  Найдите наименьшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
У14
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?
в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.
У15
Сначала Маша написала на доске 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 30. Затем вместо некоторых из чисел (возможно, одного) она написала на доске числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, она с доски стёрла.
а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 30?
в)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
У16
На листочке написано более 100, но меньше 115 целых чисел. Среднее арифметическое чисел, меньших 13, равно −20, а среднее арифметическое чисел, больших 13, равно 35. Среднее арифметическое всех чисел, записанных на листочке, равно 7.
а)  Сколько чисел записано на листочке?
б)  Может ли чисел, больших 13, быть больше, чем чисел, меньших 13?
в)  Какое наибольшее количество чисел, которые больше 13, может быть среди этих чисел, если известно, что есть хотя бы одно число, равное 13?
У17
Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают.
а)  Может ли в результате получиться 0?
б)  Может ли в результате получиться 1?
в)  Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
У18
На листочке написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 1485. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 23 заменили на число 32).
а)  Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 9 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в)  Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
У19
На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-⁠то из них красные, а какие-⁠то зелёные. Красные числа кратны 8, а зелёные числа кратны 3. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а)  Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1395, если на доске написаны только кратные 3 числа?
б)  Может ли сумма чисел быть 1066, если только одно число красное?
в)  Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1066.
У20
На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 793.
а)  Может ли на доске быть 23 чётных числа?
б)  Может ли на доске быть 1 число, оканчивающееся на три?
в)  Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на три?
У21
На доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, разность которых делится на 5.
а)  Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 38, если изначально по одному разу были написаны все натуральные числа от 11 до 22 включительно?
б)  Может ли на доске остаться ровно два числа, произведение которых оканчивается на цифру 4, если изначально по одному разу были написаны квадраты натуральных чисел от 63 до 96 включительно?
в)  Пусть известно, что на доске осталось ровно два числа, а изначально по одному разу были написаны квадраты натуральных чисел от 63 до 96 включительно. Какое наибольшее значение может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них?
У22
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно, одного) на доске написали числа, большие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 51, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.
а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел уменьшилось?
б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 17?
в)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
У23
На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −12.
а)  Сколько чисел написано на доске?
б)  Каких чисел больше: положительных или отрицательных?
в)  Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
У24
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а)  Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?
б)  Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?
в)  Пусть B  — шестое по величине число, а S  — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S минус B$
У25
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно, одного) на доске написали числа, большие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 51, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.
а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел уменьшилось?
б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 17?
в)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Д1
На доске написано число 2045 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а)  Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б)  Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в)  Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Д2
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а)  На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?
б)  Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в)  Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Д3
На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-⁠то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две  ― третье и т. д.).
а)  Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?
б)  Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63?
в)  Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?
Д4
На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18.
а)  Сколько чисел написано на доске?
б)  Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в)  Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Д5
На доске написано 10 неотрицательных чисел. За один ход стираются два числа, а вместо них записывается сумма, округлённая до целого числа (например, вместо 5,5 и 3 записывается 9, а вместо 3,3 и 5 записывается 8).
а)  Приведите пример 10 нецелых чисел и последовательности 9 ходов, после которых на доске будет записано число, равное сумме исходных чисел.
б)  Может ли после 9 ходов на доске быть написано число, отличающееся от суммы исходных чисел на 7?
в)  На какое наибольшее число могут отличаться числа, записанные на доске после 9 ходов, выполненных с одним и тем же набором исходных чисел в различном порядке?
Д6
На проекте «Мисс Чмаровка  — 2016» выступление каждой участницы оценивают шесть судей. При этом каждый судья выставляет оценку  — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление Изольды Кабановой все члены жюри выставили различные оценки. По старой системе оценивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и считается среднее арифметическое четырех оставшихся оценок.
а)  Могут ли итоговые баллы, вычисленные по старой и новой системам оценивания, оказаться одинаковыми?
б)  Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, оказаться равной  $дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ?$
в)  Найдите наибольшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
Д7
Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5.
Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.
а)  Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?
б)  Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?
в)  Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.
Д8
На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а)  Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?
б)  Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94?
в)  Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?
Д9
Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа  — число A.
а)  Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных пяти чисел?
б)  Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных чисел в пять раз?
в)  В какое наибольшее целое число раз число A может быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел?
Д10
На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.
а)  Может ли быть записано число 250?
б)  Можно ли обойтись без числа 11?
в)  Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?
Д11
На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое или оканчивается на 9, или четное, а сумма чисел равна 877.
а)  Может ли быть на доске 27 четных чисел?
б)  Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 9?
в)  Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 9 может быть на доске?
Д12
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, а среднее арифметическое шести наибольших равно 16.
а)  Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 5?
б)  Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?
в)  Пусть B  — шестое по величине число, а S  — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S минус B.$
Д13
На доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, разность которых делится на 5.
а)  Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 34, если изначально по одному разу были написаны все натуральные числа от 9 до 20 включительно?
б)  Может ли на доске остаться ровно два числа, произведение которых оканчивается на цифру 1, если изначально по одному разу были написаны квадраты натуральных чисел от 59 до 92 включительно?
в)  Пусть известно, что на доске осталось ровно два числа, а изначально по одному разу были написаны квадраты натуральных чисел от 59 до 92 включительно. Какое наибольшее значение может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них?
Д14
На доске написано число 1025 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 3000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а)  Может ли на доске быть написано ровно 514 чисел?
б)  Может ли на доске быть написано ровно 5 чисел?
в)  Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Д15
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а)  На доске выписан набор −6, −2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были задуманы?
б)  Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в)  Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Д16
На доске написано число 8. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т. д.).
а)  Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?
б)  Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 72?
в)  Через какое наименьшее время на доске может появиться число 832?
Д17
Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а)  Может ли в результате получиться 0?
б)  Может ли в результате получиться 1?
в)  Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Д18
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120.
а)  Может ли на доске быть 5 чисел?
б)  Может ли на доске быть 6 чисел?
в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Д19
На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5120.
а)  Может ли быть записано число 230?
б)  Можно ли обойтись без числа 14?
в)  Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?
Д20
На листочке записано 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 7, среднее арифметическое семи наибольших из них равно 16.
а)  Может ли наименьшее из 13 чисел равняться 5?
б)  Может ли среднее арифметическое всех 13 чисел равняться 12?
в)  Пусть P  — среднее арифметическое всех 13 чисел, Q  — седьмое по величине число. Найдите наибольшее значение выражения P − Q.
Д21
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.
б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?
в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.
Д22
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а)  На доске выписан набор −3, −1, 2, 4, 6, 7, 9. Какие числа были задуманы?
б)  Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 6 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в)  Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Д23
Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел:
−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.
Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному из чисел:
−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.
После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а)  Может ли в результате получиться 0?
б)  Может ли в результате получиться 117?
в)  Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Д24
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доске, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 6, 9, 12, 15.
б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23?
в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 8, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.
Д25
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 5, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −5.
а)  Сколько чисел написано на доске?
б)  Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в)  Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?