Задание 20 · Числа и их свойства

20.3. Последовательности и прогрессии

Для репетитора: показать ответы

1. Последовательность

Последовательность — это числа, записанные в определённом порядке: $a_1,a_2,a_3,\dots$ Задавать её можно формулой $n$-го члена, рекуррентным соотношением (каждый следующий член выражается через предыдущие) или условиями на члены. В задачах №20 все члены обычно должны быть целыми (часто натуральными) числами, и именно это условие делает задачу «задачей на числа».

2. Арифметическая прогрессия

Каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и то же число $d$ (разность): $a_n=a_{n-1}+d$.

Что	Формула
$n$-й член	$a_n=a_1+(n-1)d$
Связь двух любых членов	$a_n=a_k+d(n-k)$ (например, $a_9=a_5+4d$)
Разность	$d=a_2-a_1$
Сумма первых $n$ членов	$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ и $S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$
Характеристическое свойство	$a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$, то есть $a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n$

При $d>0$ прогрессия возрастает, при $d<0$ убывает, при $d=0$ все члены равны.
Если разность отрицательная, формулы работают так же, $d$ берётся со знаком минус.
Сумма первых $n$ натуральных чисел: $1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$; например, $1+1+2+2+\dots+n+n=2\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}$.
Сумма $2m+1$ подряд идущих целых чисел делится на $2m+1$.

3. Геометрическая прогрессия

Первый член отличен от нуля, и каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же ненулевое число $q$ (знаменатель): $b_n=b_{n-1}q$.

Что	Формула
$n$-й член	$b_n=b_1q^{n-1}$
Знаменатель	$q=\dfrac{b_2}{b_1}$
Сумма первых $n$ членов ($q\ne1$)	$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$
Бесконечно убывающая ($\|q\|<1$)	$S=\dfrac{b_1}{1-q}$

Характеристическое свойство: модуль каждого члена (кроме первого) равен среднему геометрическому соседних.
При $q<0$ знаки членов чередуются; при $q=1$ прогрессия постоянна.
Случай $q=1$ разбирают отдельно (формулу суммы для него применять нельзя). Сумма бесконечно убывающей прогрессии в задачах на числа встречается редко.
Если члены — натуральные числа, главный инструмент — разложение на простые множители.

4. Какие бывают задачи

Арифметические прогрессии.
Геометрические прогрессии.
Последовательности, заданные формулой $n$-го члена или условием на члены.
Последовательности наборов чисел.
Последовательности ходов (процессы), где отслеживают меняющуюся величину.

Типичные вопросы к прогрессии: какие значения могут принимать члены или суммы, при каком наибольшем $n$ выполняется оценка, при каких $n$ сумма равна заданному числу.

5. Рекуррентные последовательности

Члены задаются соотношением вида $a_{n+2}=m\cdot a_{n+1}+p\cdot a_n+t$. Типичный набор пунктов: а) привести пример последовательности с заданным свойством; б) выяснить, может ли встретиться некоторое значение (часто отвечает чётность); в) найти наименьшую длину последовательности (оценка и пример).

6. Приёмы

Чётность. Если сумма двух соседних членов нечётна, они разной чётности; если требуемая чётность невозможна, значение не встретится.
Уравнение в целых числах. Условие целочисленности сводит задачу к уравнению в целых числах. Для арифметической прогрессии из $S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$ получаем $2S_n=n\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr)$: число $n$ должно быть делителем $2S_n$, и значения $n$ перебирают среди делителей.
Делимость и остатки. Анализ остатков отсеивает невозможные случаи.
Усиление неравенств. Заменяют величину на её наибольшее или наименьшее возможное значение и получают границу.
Ограниченный перебор. Когда оценка оставляет конечное число целых значений, проверяют их по очереди.
Оценка числа членов. Решают квадратное неравенство относительно $n$ и учитывают, что $n$ натуральное.
Оценка + пример. Сначала докажите границу, затем постройте последовательность, на которой она достигается.

Лайфхак 1. Записывайте «Дано» и «Найти». Выпишите, что известно ($a_1,d,n,q$), выберите формулу и подставьте значения.

Лайфхак 2. Различайте номер члена и число интервалов. При шаге в 10 минут за 10 минут происходит одно изменение, а не десять; номер члена, при котором условие выполнено впервые, не равен числу шагов. В задачах на суммы проверьте, нужна ли сумма всех членов или только $n$-й член.

Лайфхак 3. Проверяйте ответ таблицей. Выпишите члены последовательности — это надёжный способ не ошибиться; следите за единицами измерения.

Лайфхак 4. Если все члены натуральные, ищите чётность и делимость. Чётность разделяет случаи, а разложение на простые множители показывает, какие знаменатели и разности возможны.

Разобранные примеры

Пример 1

Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше, либо в 11 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 2231.

а)  Может ли последовательность состоять из двух членов?

б)  Может ли последовательность состоять из трех членов?

в)  Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Решение

а)  Очевидно, оба числа имеют одинаковую четность, поэтому их сумма четна и не может быть равна 2231.

б)  Да, это возможно: $1067 плюс 97 плюс 1067=2231.$

в)  Сумма любых двух соседних членов последовательности не меньше 12. Поскольку $2232=12 умножить на 186,$ в последовательности меньше $186 умножить на 2=372$ членов. Примером последовательности, состоящей из 371 члена может служить $11, \underbrace1,11,1,11, \ldots, 1,11_185 пар.$

Пример 2

Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4,… выделить арифметическую прогрессию

а)  длиной 4;

б)  длиной 5;

в)  длиной k, где k  — любое натуральное число?

Решение

а)  Например, годится такая прогрессия: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби .$

б)  Например, годится такая прогрессия: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 40 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 60 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 120 конец дроби .$

в)  Ясно, что последовательность $дробь: числитель: k, знаменатель: k! конец дроби ; дробь: числитель: k минус 1, знаменатель: k! конец дроби ;\ldots; дробь: числитель: 1, знаменатель: k! конец дроби$ является арифметической прогрессией с разностью $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: k! конец дроби .$ Кроме того, каждый член такой последовательности можно сократить так, чтобы в числителе была единица. Значит, все они являются членами исходной последовательности.

Источники

«Арифметическая прогрессия», Википедия
«Геометрическая прогрессия», Википедия
«Задание 19 ЕГЭ: лекция А. А. Прокофьева», abiturient.ru, 2017
«Прогрессии: задание 14 ОГЭ», материалы И. А. Крапчатой, iro23.ru, 2024
«Задачи С6 (№21)», лекция И. В. Ивановой на курсах учителей, infourok.ru
«Теория по заданию 19», Школково (shkolkovo.online)

У1
Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₄₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
S₁  =  a₁+a₂+...+a₄₅₀,
S₂  =  a₁²+a₂²+...+a₄₅₀²,
S₃  =  a₁³+a₂³+...+a₄₅₀³,
S₄  =  a₁⁴+a₂⁴+...+a₄₅₀⁴.
Известно, что S₁  =  739.
а)  Найдите S₄, если еще известно, что S₂  =  1779, S₃  =  5611.
б)  Может ли S₄  =  6547 ?
в)  Пусть S₄  =  6435. Найдите все значения, которые может принимать S₂.
У2
Даны две последовательности: 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2 и 3, 6, 12. В каждой из них каждое число получено из предыдущего по одному и тому же закону.
а)  Найдите этот закон.
б)  Найдите все натуральные числа, переходящие сами в себя (по этому закону).
в)  Докажите, что число 21991 после нескольких переходов станет однозначным.
У3
Целые числа от 1 до n записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат
а)  при n  =  9,
б)  при n  =  11,
в)  при n  =  1996.
У4
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 792 и
а)  пять;
б)  четыре;
в)  три
из них образуют геометрическую прогрессию?
У5
Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
а)  Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.
б)  Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?
в)  Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?
У6
Последовательность a₁, a₂, ..., a_n, ... состоит из натуральных чисел, причём $a_n плюс 2 = a_n плюс 1 плюс a_n$ при всех натуральных n.
а)  Может ли выполняться равенство 5a₅  =  9a₄?
б)  Может ли выполняться равенство 5a₅  =  7a₄?
в)  При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство $3na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате минус 1 правая круглая скобка a_n?$
У7
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $левая круглая скобка n\geqslant3 правая круглая скобка .$
а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?
в)  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.
У8
В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний  — 2076.
а)  может ли в последовательности быть три члена?
б)  может ли в последовательности быть четыре члена?
в)  может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?
У9
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и
а)  пять;
б)  четыре;
в)  три
из них образуют геометрическую прогрессию?
У10
Бесконечная арифметическая прогрессия a₁, a₂, ..., a_n, ... состоит из различных натуральных чисел.
а)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, ..., a₇ ровно три числа делятся на 100?
б)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, ..., a₄₉ ровно 11 чисел делятся на 100?
в)  Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел a₁, a₂, ..., a_2n больше кратных 100, чем среди чисел a_{2n + 1}, a_{2n + 2}, ..., a_5n?
У11
Последовательность $a_1, a_2, ..., a_n левая круглая скобка n больше или равно 3 правая круглая скобка$ состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а)  Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 40.
б)  Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n  =  6?
У12
На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)
а)  Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби .$
б)  Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби .$
в)  Найдите наибольшее возможное значение выражения $дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби .$
У13
Конечная последовательность $a_1,a_2, \ldots, a_n$ состоит из $n\geqslant3$ не обязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $k меньше или равно n минус 2$ выполнено равенство $a_k плюс 2=2a_k плюс 1 минус a_k минус 1.$
а)  Приведите пример такой последовательности при n  =  5, в которой a₅  =  4.
б)  Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза?
в)  При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из трёхзначных чисел?
У14
Возрастающие арифметические прогрессии $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ и $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ состоят из натуральных чисел.
а)  Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1 плюс a_3b_3=3a_2b_2$ ?
б)  Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1 плюс 2a_4b_4=3a_3b_3$ ?
в)  Какое наибольшее значение может принимать произведение $a_3b_3,$ если $a_1b_1 плюс 2a_4b_4 меньше или равно 300$ ?
У15
В последовательности a₁, a₂,..., a_n−1, a_n, состоящей из целых чисел, a₁  =  1, a_n  =  235. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.
а)  Приведите пример такой последовательности.
б)  Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?
в)  Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
У16
Бесконечная арифметическая прогрессия a₁, a₂, ..., a_n, ... состоит из различных натуральных чисел.
а)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, ..., a₇ ровно три числа делятся на 100?
б)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, ..., a₄₉ ровно 11 чисел делятся на 100?
в)  Для какого наибольшего натурального n может оказаться так, что среди чисел a₁, a₂, ..., a_2n больше кратных 100, чем среди чисел a_2n + 1, a_2n + 2, ..., a_5n?
У17
Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя  — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.
а)  Могло ли быть в сборнике 85 задач?
б)  Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?
в)  Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.
У18
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $левая круглая скобка n больше или равно 3 правая круглая скобка .$
а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 13?
б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 500?
в)  Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 57.
У19
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $левая круглая скобка n больше или равно 3 правая круглая скобка .$
а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?
в)  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111.
У20
В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.
а)  Может ли в последовательности быть три члена?
б)  Может ли в последовательности быть четыре члена?
в)  Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?
У21
Бесконечная арифметическая прогрессия a₁, a₂, ..., a_n, ... состоит из различных натуральных чисел.
а)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, ..., a₇ ровно три числа делятся на 36?
б)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, ..., a₃₀ ровно 9 чисел делятся на 36?
в)  Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел a₁, a₂, ..., a_2n больше кратных 36, чем среди чисел a_{2n + 1}, a_{2n + 2}, ..., a_5n?
У22
На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)
а)  Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби .$
б)  Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби .$
в)  Найдите наибольшее возможное значение выражения $дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби .$
У23
Конечная возрастающая последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$ состоит из $n больше или равно 3$ различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $k меньше или равно n минус 2$ выполнено равенство $3a_k плюс 2=4a_k плюс 1 минус a_k.$
а)  Приведите пример такой последовательности при $n=5.$
б)  Может ли в такой последовательности при некотором $n больше или равно 3$ выполняться равенство $2a_n=3a_2 минус a_1$
в)  Какое наименьшее значение может принимать $a_1,$ если $a_n=315$ ?
У24
Последовательность a₁, a₂, ...,a_n,... состоит из натуральных чисел, причем a_n+2  =  a_n+1 + a_n при всех натуральных n.
а)  Может ли выполняться равенство 5a₅ = 9a₄?
б)  Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄?
в)  При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство $3na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате минус 1 правая круглая скобка a_n?$
У25
Целое число S является суммой не меньше семи последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
a)  Может ли S равняться 8?
б)  Может ли S равняться 3?
в)  Найдите все значения, которые может принимать S.

Д1
В строку подряд написано 1000 чисел. Под каждым числом a первой строки напишем число, указывающее, сколько раз число a встречается в первой строке. Из полученной таким образом второй строки аналогично получаем третью: под каждым числом второй строки пишем, сколько раз оно встречается во второй строке. Затем из третьей строки так же получаем четвёртую, из четвёртой  — пятую и так далее.
а)  Докажите, что некоторая строчка совпадает со следующей.
б)  Докажите, что 11‐⁠я строка совпадает с 12‐⁠й.
в)  Приведите пример такой первоначальной строчки, для которой 10‐⁠я строка не совпадает с 11‐⁠й.
Д2
В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:
а)  набор цифр 1234; 3269;
б)  вторично набор 1975;
в)  набор 8197?
Д3
Рассматривается последовательность 1, 1/⁠2, 1/⁠3, 1/⁠4, 1/⁠5, 1/⁠6, 1/⁠7, …
а)  Существует ли арифметическая прогрессия длины 5 составленная из членов этой последовательности?
б)  Можно ли составить арифметическую прогрессию бесконечной длины из этих чисел?
в)  Может ли в прогрессии быть 2013 членов?
Д4
Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
а)  Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.
б)  Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?
в)  Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?
Д5
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16?
б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в)  Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 235.
Д6
а)  Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?
б)  Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в)  Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Д7
Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а)  Может ли S равняться 8?
б)  Может ли S равняться 1?
в)  Найдите все значения, которые может принимать S.
Д8
Число S таково, что для любого представления S в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 19.
а)  Может ли число S быть равным 38?
б)  Может ли число S быть больше 37,05?
в)  Найдите максимально возможное значение S.
Д9
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.
а)  Может ли последовательность состоять из двух членов?
б)  Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в)  Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Д10
В последовательности из 80 целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны 0.
а)  Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б)  Может ли второй член такой последовательности быть равным 20?
в)  Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.
Д11
Последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n левая круглая скобка n больше или равно 3 правая круглая скобка$ состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних стоящих рядом с ним членов.
а)  Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.
б)  Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?
в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n  =  10?
Д12
Последовательность $a_1,a_2,...,a_7$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть M_k  — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M₁  =  1, M₂  =  2.
а)  приведите пример такой последовательности, для которой M₃  =  1,5.
б)  существует ли такая последовательность, для которой M₃  =  3?
в)  Найдите наибольшее возможное значение M₃.
Д13
Конечная возрастающая последовательность $a_1,a_2,...,a_n$ состоит из $n\geqslant3$ натуральных чисел, причём при всех натуральных $k меньше или равно n минус 2$ выполнено равенство $3a_k плюс 2=5a_k плюс 1 минус 2a_k.$
а)  Приведите пример такой последовательности при n  =  4.
б)  Может ли в такой последовательности при некотором $n\geqslant3$ выполняться равенство $a_n=3a_2 минус 2a_1?$
в)  Какое наименьшее значение может принимать a₁, если a_n  =  667?
Д14
На полиграфической фабрике страницы тетради пронумерованы числами от 1 до 96. На случайной странице Максим записал число 0 и пронумеровал все страницы далее до конца тетради числами 1, 2, 3,... и т. д., не пропуская ни одной. Затем он вернулся к странице с записанным 0 и пронумеровал страницы тетради назад числами −1, −2, −3, ... и т. д. до начала тетради без пропусков. Сумма всех записанных чисел в тетради равна S. Определите номер страницы фабричной нумерации, на которой Максим записал число 0, если:
а) $S=48;$
б)   $S=4560;$
в)   $S=1968$
Д15
Последовательность a₁, a₂, ..., a_n, ... состоит из натуральных чисел, причем a_n+2  =  a_n+1 + a_n при всех натуральных n.
а)  Может ли выполняться равенство 4a₅ = 7a₄?
б)  Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄?
в)  При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство $6na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс 24 правая круглая скобка a_n?$
Д16
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а)  Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней?
б)  Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?
в)  Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше чем другой?
Д17
Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
а)  Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.
б)  Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?
в)  Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?
Д18
Последовательность a₁, a₂, ..., a_n, ... состоит из натуральных чисел, причём $a_n плюс 2 = a_n плюс 1 плюс a_n$ при всех натуральных n.
а)  Может ли выполняться равенство 4a₅ = 7a₄?
б)  Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄?
в)  При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство $6na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс 24 правая круглая скобка a_n?$
Д19
Целое число S является суммой не менее пяти последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а)  Может ли S равняться 9?
б)  Может ли S равняться 2?
в)  Найдите все значения, которые может принимать S.
Д20
Число S таково, что для любого представления S в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.
а)  Может ли число S быть равным 34?
б)  Может ли число S быть больше $целая часть: 33, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 18 ?$
в)  Найдите максимально возможное значение $S.$
Д21
Последовательность $a_1, a_2,...,a_n левая круглая скобка n\geqslant3 правая круглая скобка$ состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних стоящих рядом с ним членов.
а)  Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.
б)  Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n  =  8?
Д22
Последовательность $a_1, a_2, ..., a_6$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть M_k  — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что $M_1=7, M_2=6.$
а)  Приведите пример такой последовательности, для которой $M_3=6,4.$
б)  Существует ли такая последовательность, для которой $M_3=5?$
в)  Найдите наименьшее возможное значение $M_3.$
Д23
Возрастающие арифметические прогрессии $a_1, a_2, ...$ и $b_1, b_2,...$ состоят из натуральных чисел.
а)  Приведите пример таких прогрессий, для которых $a_1b_1 плюс a_3b_3=3a_2b_2.$
б)  Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1 плюс 2a_4b_4=3a_3b_3$ ?
в)  Какое наибольшее значение может принимать произведение $a_3b_3,$ если $a_1b_1 плюс 2a_4b_4\leqslant300$ ?
Д24
Бесконечная арифметическая прогрессия a₁, a₂, ..., a_n,... состоит из различных натуральных чисел.
а)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, ..., a₇ ровно три числа делятся на 36?
б)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, ..., a₃₀ ровно 9 чисел делятся на 36?
в)  Для какого наибольшего натурального n может оказаться так, что среди чисел a₁, a₂, ..., a_2n больше кратных 36, чем среди чисел a_2n + 1, a_2n + 2, ..., a_5n?
Д25
Последовательность $a_1, a_2,...,a_n левая круглая скобка n\geqslant3 правая круглая скобка$ состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а)  Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.
б)  Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n  =  8?

Что	Формула
\(n\)-й член	\(a_n=a_1+(n-1)d\)
Связь двух любых членов	\(a_n=a_k+d(n-k)\) (например, \(a_9=a_5+4d\))
Разность	\(d=a_2-a_1\)
Сумма первых \(n\) членов	\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\) и \(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n\)
Характеристическое свойство	\(a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\), то есть \(a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n\)

Что	Формула
\(n\)-й член	\(b_n=b_1q^{n-1}\)
Знаменатель	\(q=\dfrac{b_2}{b_1}\)
Сумма первых \(n\) членов (\(q\ne1\))	\(S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)
Бесконечно убывающая (\(\|q\|<1\))	\(S=\dfrac{b_1}{1-q}\)