Задание 20 · Числа и их свойства

20.4. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Для репетитора: показать ответы

1. Что это за задачи

Это задачи на числа, оформленные «сюжетом»: ряды мест в кинотеатре или театре, мотки верёвки, грузы и грузовики, купюры, очки за броски. Сюжет нужен лишь для антуража: в условии зашифрованы числа (количества мест, длины, массы, суммы денег) и ограничения на них, а вопросы имеют привычный вид: «Может ли…?», «Каково наибольшее (наименьшее) значение…?». Поэтому решаются они теми же инструментами, что и остальные задачи на свойства чисел: делимость, остатки, прогрессии, оценка и пример.

2. Первый шаг: переведите сюжет на язык чисел

Запишите «Дано» и «Найти»: какие величины известны, что неизвестно и как они связаны.
Определите, что именно образует последовательность или набор: число мест по рядам, длины мотков, массы глыб, суммы выплат.
Выпишите ограничения: целые или натуральные числа, различные или нет, не больше или не меньше заданного значения, общая сумма.
Следите за единицами измерения (метры, килограммы, рубли).

3. Ряды мест: арифметическая прогрессия

Если в каждом следующем ряду мест на одно и то же число больше, ряды образуют арифметическую прогрессию: $a_1$ — число мест в первом ряду, $d$ — прибавка на каждый следующий ряд, $a_n$ — число мест в ряду $n$, а общее число мест — сумма $S_n$.

Что	Формула
Число мест в ряду $n$	$a_n=a_1+(n-1)d$
Через любой другой ряд $k$	$a_n=a_k+d(n-k)$
Всего мест в $n$ рядах	$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$
Свойство «среднего»	$a_{k-1}+a_{k+1}=2a_k$

Если известны два члена (например, $a_3$ и $a_7$), сначала найдите $d$ из $a_7=a_3+4d$, а затем нужный член.
Число мест всегда целое, поэтому условие целочисленности ограничивает $a_1$, $d$ и число рядов $n$: из $2S_n=n\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr)$ видно, что $n$ должно быть делителем $2S_n$.
Если число мест в рядах произвольное (не прогрессия), оценивайте сумму через наименьшие или наибольшие возможные значения слагаемых и ищите пример.

Рост «на одно и то же число» — не единственная модель: если величина каждый раз умножается на одно и то же число, это геометрическая прогрессия $b_n=b_1q^{n-1}$, $S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$.

4. Набор длин, масс или сумм

Мотки верёвки, грузы, выплаты — это набор положительных чисел с заданной общей суммой. К таким наборам применимы приёмы задач про числа на доске:

Сумма $n$ различных натуральных чисел не меньше $1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$; если нужно много слагаемых, берут как можно меньшие.
Среднее $m=\dfrac{S}{n}$: сумма равна произведению среднего и числа слагаемых.
Условие «всё делится на…»: если общая сумма равна числу, кратному вместимости, то все ёмкости должны быть заполнены полностью. Например, суммарная масса $190\,000$ кг равна $38\cdot5000$ кг, поэтому все 38 грузовиков должны быть загружены полностью.
Вместимость: сколько предметов помещается в одну ёмкость, находят делением с учётом целой части (три глыбы по 1500 кг дают 4500 кг и помещаются в 5000 кг, четыре — 6000 кг — нет).
Выплаты купюрами: сначала находят, какую сумму получает каждый (общая сумма делится на число получателей), затем смотрят остаток от деления на номинал крупной купюры; именно остаток определяет минимальное число мелких купюр.

5. Метод «оценка + пример»

Оценка: докажите, что величина не больше (не меньше) некоторого числа. Например, если за один шаг (бросок, ряд, моток) значение не больше $M$, то за $n$ шагов сумма не больше $nM$; если нужна сумма $S$, то число шагов не меньше $S/M$, округлённого вверх.
Пример: постройте набор, при котором оценка достигается.

Если пример найден, оценка точна и ответ получен. Не забывайте проверить, что пример удовлетворяет всем условиям задачи.

Усиление неравенства: переменную заменяют на её наибольшее или наименьшее возможное значение.
Чтобы слагаемых было как можно больше, берите их как можно меньшими.
Ограниченный перебор: когда оценка оставляет конечное число целых значений, проверяйте их по очереди.

6. Чётность, делимость, остатки

Чётность: если по условию получается число другой чётности, чем требуется, ответ «нельзя».
Делимость: условия «длина кратна…», «поровну между…» записываются через делимость; остаток от деления показывает, сколько останется «лишнего».

7. Как оформлять и проверять

Пункты а), б), в) идут от проверки возможности к экстремуму: сначала пример или доказательство невозможности, затем наименьшее или наибольшее значение.
Если на вопрос «Можно ли?» ответ «да», достаточно привести пример; если «нет» — нужно доказательство.
Проверяйте ответ, выписав все числа таблицей; различайте номер члена и число промежутков; убедитесь, что вы нашли ту величину, которую спрашивали.
Баллы выставляют за отдельные результаты: пример в пункте а), обоснованный ответ в пункте б), оценку и пример, на котором оценка достигается, в пункте в); поэтому частичные баллы реально получить, даже если решить всё не удаётся.

Лайфхак 1. Прочитайте условие и сразу попробуйте пункт а). Если ответ на вопрос «Может ли…?» утвердительный, его достаточно обосновать примером, и решение получается коротким.

Лайфхак 2. Начинайте с граничных случаев. Рассмотрите наименьшую или наибольшую возможную сумму при данных ограничениях: она часто сразу показывает, возможен ли нужный набор.

Лайфхак 3. Проверяйте, не «сошлись» ли числа точно. Если общая сумма в точности равна произведению числа ёмкостей на вместимость, то заполнены должны быть все ёмкости — отсюда сразу следуют ограничения.

Лайфхак 4. Приведите задачу к арифметической прогрессии, если присутствует равномерный рост. Тогда достаточно записать $a_1$, $d$, $n$ и воспользоваться формулами $a_n$ и $S_n$.

Разобранные примеры

Пример 1

Трое друзей играли в шашки. Один из них сыграл 25 игр, а другой  — 17 игр. Мог ли третий участник сыграть

а)  34;

б)  35;

в)  56 игр?

Решение

а)  Да, мог. Например, если первый с третьим сыграли 21 игру, второй с третьим  — 13 игр, а первый со вторым  — 4 игры.

б)  Нет, не мог. Действительно, в таком случае общее число сыгранных партий было бы равно (25 + 17 + 35)/⁠2  =  38,5 игр  — не целое число.

в)  Нет, не мог. Пусть такое возможно, тогда третий игрок сыграл больше партий, чем первый и второй вместе взятые (25 + 17 < 56). Но других соперников у третьего не могло быть, поэтому получаем противоречие.

Пример 2

На шести елках сидят шесть сорок  — по одной на каждой елке. Елки растут в ряд с интервалом в 10 м. Если какая-⁠то сорока перелетает с одной елки на другую, то какая-⁠нибудь другая сорока обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении.

а)  Могут ли все сороки собраться на одной елке?

б)  А если сорок и елок семь?

в)  А если елки стоят по кругу?

Решение

а)  Посчитаем суммарное расстояние от всех сорок до самой левой елки. Очевидно, оно равно 10 + 20 + 30 + 40 + 50  =  150 м и не меняется после каждого перемещения сорок.

Если все сороки окажутся на одной елке, то расстояние от этой елки до самой левой равно 150:6  =  25 м, но ясно, что на этом расстоянии никакой елки не растет.

б)  Занумеруем елки последовательно. Тогда пусть сороки с 1-⁠й и 7-⁠й елок летят на 4-⁠ю. Аналогично, сороки со 2-⁠й и 6-⁠й елок летят на 4-⁠ю. Аналогично, сороки с 3-⁠й и 5-⁠й елок летят на 4-⁠ю. Таким образом, все сороки собрались на четвертой елке.

в)  Занумеруем елки по кругу (от 1 до 6). Поставим в соответствие каждой сороке номер елки, на которой она сидит. Ясно, что после каждого перелета сорок четность суммы номеров елок, на которых они сидят, не меняется. А изначально это сумма равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6  =  21. Значит, она останется нечетной. Если же все сороки соберутся на одной елке, то сумма их номеров должна делиться на 6, то есть быть четной. Противоречие.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  нет.

Источники

«Методика решения задач на делимость (задание 19 ЕГЭ профильного уровня)», выпускная квалификационная работа, vkr.pspu.ru
«Прогрессии: задание 14 ОГЭ», материалы И. А. Крапчатой, iro23.ru, 2024
«Методические рекомендации по решению задач ЕГЭ», школа № 9, г. Усть-Илимск
«Задание 19 ЕГЭ: лекция А. А. Прокофьева», abiturient.ru, 2017
«Лайфхаки ЕГЭ 2024», НОМЦ ТГУ (nomc.math.tsu.ru)
«Арифметическая прогрессия», Википедия

У1
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более $дробь: числитель: 2, знаменатель: 11 конец дроби$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более $дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а)  Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б)  Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в)  Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
У2
У Лены три набора, в каждом из которых одинаковое количество ручек (больше 1). У Юли несколько (больше 1) наборов ручек, по 5 штук в каждом.
а)  При каком количестве наборов у Юли, количество всех ручек у Лены нечетно, если всего у девочек 105 ручек?
б)  Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в 12 наборов по 12 ручек в каждом?
в)  Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в k наборов по k ручек в каждом (k > 3)?
У3
В школе, где учатся Поля, Маня и Дуня, есть длинный коридор вдоль одной из стен которого расположен длинный ряд из n ячеек, занумерованных натуральными числами от 1 до n, закрывающихся на замки, в которых школьники могут хранить свои личные вещи. Однажды, придя в школу в выходной день, Поля обнаружила все ячейки открытыми. Она стала обходить ряд ячеек сначала до конца, закрывая на замок каждую вторую ячейку. Достигнув конца ряда, она развернулась и снова стала закрывать на замок каждую вторую ячейку из тех, которые еще были открыты. Таким образом, Поля продолжала обходить ряд и закрывать на замок ячейки до тех пор, пока осталась незакрытой одна ячейка.
Обозначим $f левая круглая скобка n правая круглая скобка$ номер последней открытой ячейки. Например, если количество ячеек $n=15,$ то $f левая круглая скобка 15 правая круглая скобка =11,$ как показано на рисунке.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
→ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 3 5 7 9 11 13 15 ←
→ 3 7 11 15
3 11 ←
а)  Найдите $f левая круглая скобка 50 правая круглая скобка .$
Докажите, что:
б)  не существует натурального числа n, такого что $f левая круглая скобка n правая круглая скобка =2013;$
в)  существует бесконечное множество натуральных чисел n, таких, что $f левая круглая скобка n правая круглая скобка =f левая круглая скобка 50 правая круглая скобка .$
У4
У Кости была кучка из 100 камешков. Каждым ходом он делил какую-⁠то из кучек на две меньших, пока у него не оказалось 100 кучек по одному камешку.
а)  возможно ли, что в какой-⁠то момент в каких-⁠то 30 кучках было ровно 60 камешков;
б)  возможно ли, что в какой-⁠то момент в каких-⁠то 20 кучках было в сумме ровно 60 камешков;
в)  мог ли Костя действовать так, чтобы ни в какой момент не нашлось 19 кучек, в которых в сумме ровно 60 камешков?
У5
а)  В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере две трети задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере две трети школьников. Известно также, что по крайней мере две трети школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере две трети задач контрольной. Могло ли такое быть?
б)  Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на три четверти?
в)  Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на семь девятых?
У6
Красный карандаш стоит 18 рублей, синий  — 14 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 499 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на шесть.
а)  Можно ли купить 30 карандашей?
б)  Можно ли купить 33 карандаша?
в)  Какое наибольшее число карандашей можно купить?
У7
В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 46, а вместе солдат меньше чем 111. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 8, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.
а)  Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.
б)  Можно ли построить роту указанным способом по 13 солдат в одном ряду?
в)  Сколько в роте может быть солдат?
У8
Участники одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 73 баллов. Из-⁠за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а)  Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б)  Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в)  Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 80, средний балл участников, сдавших тест, составил 90, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 65. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 93, а не сдавших  — 69. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
У9
В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 50, а вместе солдат меньше чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.
а)  Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.
б)  Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду?
в)  Сколько в роте может быть солдат?
У10
Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку  — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма  — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 30?$
б)  Может ли эта разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 35?$
в)  Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
У11
За новогодним столом дети ели бутерброды и конфеты, причем каждый что-то ел, и может быть так, что кто-то ел и то и другое. Известно, что мальчиков, евших бутерброды, было не более чем $дробь: числитель: 5, знаменатель: 16 конец дроби$ от общего числа детей, евших бутерброды, а мальчиков, евших конфеты, было не более $дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби$ от общего числа детей, евших конфеты.
а)  Могло ли за столом быть 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?
б)  Какое наибольшее количество мальчиков могло быть за столом, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?
в)  Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа детей без дополнительного условия пунктов а и б?
У12
После того, как учитель доказал классу новую теорему, выяснилось, что большая часть класса не поняла доказательство (быть может, все  — Решу ЕГЭ). На перемене один ученик вдруг понял доказательство (и только он). Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.
а)  Могло ли получиться так, что теперь уже меньшая часть класса не понимает доказательство?
б)  Могло ли получиться так, что исходно процент учеников, понявших доказательство, выражался целым числом, а после перемены  ― нецелым числом?
в)  Какое наибольшее целое значение может принять процент учеников класса, так и не понявших доказательство этой теоремы?
У13
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-⁠то юноша отправил какой-⁠то девушке несколько писем.
а)  Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б)  Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в)  Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
У14
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более $дробь: числитель: 3, знаменатель: 11 конец дроби$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более $дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а)  Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б)  Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в)  Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
У15
В игре «Дротики» есть 20 наружных секторов, пронумерованных от 1 до 20 и два центральных сектора. При попадании в наружный сектор игрок получает количество очков, совпадающее с номером сектора, а за попадание в центральные сектора он получает 25 или 50 очков соответственно. В каждом из наружных секторов есть области удвоения и утроения, которые, соответственно, удваивают или утраивают номинал сектора. Так, например, попадание в сектор 10 (не в зоны удвоения и утроения) дает 10 очков, в зону удвоения сектора ― 20 очков, в зону утроения ― 30 очков.
а)  Может ли игрок тремя бросками набрать ровно 161 очко?
б)  Может ли игрок четырьмя бросками набрать ровно 235 очков?
в)  С помощью какого наименьшего количества бросков, игрок может набрать ровно 947 очков?
У16
Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого участника является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а)  Могло ли оказаться так, что после этого средний балл учеников, не сдавших тест, понизился?
б)  Могло ли оказаться так, что после этого средний балл учеников, сдавших тест, понизился, и средний балл учеников, не сдавших тест, тоже понизился?
в)  Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл учеников, сдавших тест, составил 100, а средний балл учеников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл учеников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших  — 79. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
У17
В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника  — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.
а)  Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б)  Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?
в)  При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
У18
После того, как учитель проверил контрольную работу, выяснилось, что первую задачу верно решила меньшая часть класса (быть может, никто  — Решу ЕГЭ). На перемене один ученик доказал учителю, что его решение первого задания также является верным. Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.
а)  Могло ли получиться так, что теперь уже большая часть класса верно решила первую задачу?
б)  Могло ли получиться так, что исходно процент решивших первую задачу, выражался нецелым числом, а после перемены ― целым числом?
в)  Какое наименьшее натуральное значение может после перемены принять процент учеников класса, верно решивших первую задачу?
У19
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а)  Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б)  Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в)  Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
У20
Каждый из группы учащихся сходил в зоопарк или в музей, при этом возможно, что кто-то из них сходил и в зоопарк, и в музей. Известно, что в музее мальчиков было не более $дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби$ от общего числа учащихся группы, посетивших музей, а в зоопарке мальчиков было не более $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ от общего числа учащихся группы, посетивших зоопарк.
a)  Могло ли быть в группе 12 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 25 учащихся?
б)  Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 25 учащихся?
в)  Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов a и б?
У21
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 330. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а)  Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в четыре раза больше, чем сумма исходных чисел.
б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в три раза больше, чем сумма исходных чисел?
в)  Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
У22
Восемь экспертов оценивали фильм. Каждый из них выставил оценку  — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Все эксперты выставили различные оценки. Старый рейтинг фильма  — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. Новый рейтинг фильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и подсчитывается среднее арифметическое шести оставшихся оценок.
а)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться  $дробь: числитель: 1, знаменатель: 20 конец дроби ?$
б)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться  $дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби ?$
в)  Найдите наибольшее возможное значение разности старого и нового рейтингов.
У23
Каждый из группы учащихся сходил в зоопарк или в музей, при этом возможно, что кто-то из них сходил и в зоопарк, и в музей. Известно, что в музее мальчиков было не более $дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби$ от общего числа учащихся группы, посетивших музей, а в зоопарке мальчиков было не более $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ от общего числа учащихся группы, посетивших зоопарк.
а)  Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б)  Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в)  Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов a и б.
У24
По результатам теста по математике ученик получает неотрицательное число баллов. Ученик войдет в группу А, если количество баллов не менее 45. Если количество баллов меньше 45, то ученик войдет в группу Б. Чтобы не расстраивать родителей, решили каждому ученику добавить 8 баллов, поэтому количество учеников группы А увеличилось.
а)  Мог ли после этого понизиться средний балл учеников группы Б?
б)  Мог ли после этого понизиться средний балл учеников группы Б, если при этом средний балл учеников группы А тоже понизился?
в)  Пусть первоначально средний балл группы А был 52 балла, группы Б  — 34 балла, а средний балл всех учеников составил 46 баллов. После добавления средний балл группы А стал равен 58 баллов, группы Б  — 38. При каком наименьшем числе участников возможна такая ситуация?
У25
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста  — доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 7,2; 9,5 и 11,8 округляются до 7; 10 и 12 соответственно.
а)  Всего проголосовало 14 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 36. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б)  Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в)  На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 9. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?

Д1
Леша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Если Гриша правильно называет число, или же одну цифру называет правильно, а в другой ошибается не более чем на единицу, то Леша отвечает «тепло»; в остальных случаях Леша отвечает «холодно». (Например, если задумано число 65, то, назвав 65, 64, 66, 55 или 75, Гриша услышит в ответ «тепло», а в остальных случаях услышит «холодно».)
а)  Покажите, что нет способа, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 18 попыток.
б)  Придумайте способ, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 24 попытки (какое бы число ни задумал Леша).
в)  А за 22 попытки получится?
Д2
Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает оценку  — число Q  — показатель его умственных способностей (чем больше Q, тем больше способности). За рейтинг страны принимается среднее арифметическое значений Q всех жителей страны.
а)  Группа граждан страны A эмигрировала в страну B. Мог ли при этом у обеих стран вырасти рейтинг?
б)  После этого группа граждан страны B (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из A) эмигрировала в страну A. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?
в)  Группа граждан страны A эмигрировала в страну B, а группа граждан B  — в страну C. В результате рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После этого направление миграционных потоков изменилось на противоположное  — часть жителей C переехала в B, а часть жителей B  — в A. Оказалось, что в результате рейтинги всех стран опять выросли (по сравнению с теми, что были после первого переезда, но до начала второго). Может ли такое быть (если да, то как, если нет, то почему)? Предполагается, что за рассматриваемое время Q граждан не изменилось, никто не умер и не родился.
Д3
Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы.
а)  В мешке находятся 1 желтый, 1 зеленый и 2 красных шара. Из мешка случайным образом вынимают 2 шара разного цвета и заменяют одним шаром третьего цвета. Этот процесс продолжают до тех пор, пока все оставшиеся шары в мешке не окажутся одного цвета (возможно, что при этом в мешке останется один шар) Какого цвета шары (или шар) могут остаться в мешке?
б)  В мешке 3 желтых, 4 зеленых и 5 красных шаров. Какого цвета шары (или шар) могут остаться в мешке в конце после применения описанной в предыдущем пункте процедуры?
в)  В мешке находятся 3 желтых, 4 зеленых и 5 красных шаров. Из мешка случайным образом вынимают 2 шара разного цвета и заменяют двумя шарами третьего цвета. Можно ли, применяя эту процедуру многократно, добиться того, чтобы в мешке оказались шары одного цвета? Если можно, то какого цвета эти шары?
Д4
Рассматривается набор гирек, масса каждой из которых  — целое число граммов, а общая масса всех гирек равна 500 граммам. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее массу, выраженную целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирек набора и притом единственным образом (тело кладется на одну чашу весов, гирьки  — на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирек на другие той же массы, считаются одинаковыми).
а)  Является ли правильным набор, состоящий из 167 гирек массой по одному грамму, одной гирьки массой 165 граммов и одной гирьки массой 168 граммов?
б)  Приведите пример правильного набора, в котором не все гирьки по одному грамму.
в)  Сколько существует различных правильных наборов? (Два набора различны, если некоторая гирька участвует в этих наборах неодинаковое число раз.)
Д5
Красный карандаш стоит 17 рублей, синий  — 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять.
а)  Можно ли купить при таких условиях 32 карандаша?
б)  Можно ли купить при таких условиях 35 карандашей?
в)  Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях?
Д6
В игре «Дротики» есть 20 наружных секторов, пронумерованных от 1 до 20 и два центральных сектора. При попадании в наружный сектор игрок получает количество очков, совпадающее с номером сектора, а за попадание в центральные сектора он получает 25 или 50 очков соответственно. В каждом из наружных секторов есть области удвоения и утроения, которые, соответственно, удваивают или утраивают номинал сектора. Так, например, попадание в сектор 10 (не в зоны удвоения и утроения) дает 10 очков, в зону удвоения сектора ― 20 очков, в зону утроения ― 30 очков.
а)  Может ли игрок тремя бросками набрать ровно 167 очков?
б)  Может ли игрок шестью бросками набрать ровно 356 очков?
в)  С помощью какого наименьшего количества бросков, игрок может набрать ровно 1001 очко?
Д7
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а)  Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в)  Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Д8
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а)  Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в)  Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Д9
В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 000 рублей (размер премии каждого сотрудника  — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.
а)  Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б)  Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40 000 рублей, а остальные поделить поровну на 70 сотрудников?
в)  При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Д10
Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а)  Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б)  Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в)  Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
Д11
Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму  — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма  — это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чисел $a_1,...,a_n$ равно $корень n степени из: начало аргумента: a_1 умножить на ...a_n конец аргумента .$ Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов  — различные целые числа.
а)  Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?
б)  Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?
в)  При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?
Д12
На сайте проводится опрос, кого из 134 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста  — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
а)  Всего проголосовало 17 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 41. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б)  Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 27?
в)  Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
Д13
В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а)  Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?
б)  Пусть есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?
в)  За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?
Д14
Красный карандаш стоит 17 рублей, синий  — 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять.
а)  Можно ли купить при таких условиях 32 карандаша?
б)  Можно ли купить при таких условиях 35 карандашей?
в)  Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях?
Д15
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а)  Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 6 раз больше, чем сумма исходных чисел?
в)  Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Д16
В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше, чем 46, а вместе солдат меньше, чем 111. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, больше 8, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.
а)  Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.
б)  Можно ли построить роту указанным способом по 13 солдат в одном ряду?
в)  Сколько в роте может быть солдат?
Д17
Шесть экспертов оценивали фильм. Каждый из них выставил оценку  — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Все эксперты выставили различные оценки. Старый рейтинг фильма  — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. Новый рейтинг фильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и подсчитывается среднее арифметическое четырёх оставшихся оценок.
а)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться  $дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби ?$
б)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться  $дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ?$
в)  Найдите наибольшее возможное значение разности старого и нового рейтингов.
Д18
На сайте проводится опрос, кого из 156 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста  — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
а)  Всего проголосовало 11 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 45. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б)  Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться на 150 или больше?
в)  Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
Д19
В цифровом хранилище данные разбиты на несколько одинаковых по размеру дисков, но сейчас на них занято разное количество терабайт. Система может за одну операцию переместить любое количество данных с одного диска на другой.
а)  Есть 4 диска, на которых занято 70, 78, 76, 72 ТБ. За какое наименьшее число операций перемещения данных можно уравнять объём занятого пространства на всех дисках?
б)  Предположим, дисков 10. Всегда ли можно уравнять занятое пространство на всех дисках не более чем за 6 операций?
в)  За какое наименьшее количество операций можно заведомо уравнять занятое пространство на 2026 дисках?
Д20
Красный карандаш стоит 18 рублей, синий  — 14 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 499 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на шесть.
а)  Можно ли купить 30 карандашей?
б)  Можно ли купить 33 карандаша?
в)  Какое наибольшее число карандашей можно купить?
Д21
Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 63 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 4 балла, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а)  Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б)  Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в)  Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 70, средний балл участников, сдавших тест, составил 80, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 55. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест  — 58. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
Д22
На сайте проводится опрос, кого из 146 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста  — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9,11 и 13 соответственно.
а)  Всего проголосовало 13 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 31. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
6)  Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться на 140 или больше?
в)  Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
Д23
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а)  Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в три раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в шесть раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в)  Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Д24
Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку  — целое число баллов от 1 до 15 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма  — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться  — $дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби 45?$
б)  Может ли эта разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться  — $дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби 35?$
в)  Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
Д25
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более  $дробь: числитель: 3, знаменатель: 13 конец дроби$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более  $дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а)  Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б)  Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в)  Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?

Что	Формула
Число мест в ряду \(n\)	\(a_n=a_1+(n-1)d\)
Через любой другой ряд \(k\)	\(a_n=a_k+d(n-k)\)
Всего мест в \(n\) рядах	\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n\)
Свойство «среднего»	\(a_{k-1}+a_{k+1}=2a_k\)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
→	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	1		3		5		7		9		11		13		15	←
→			3				7				11				15
			3								11					←

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
→	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	1		3		5		7		9		11		13		15	←
→			3				7				11				15
			3								11					←

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
→	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	1		3		5		7		9		11		13		15	←
→			3				7				11				15
			3								11					←