Задание 3 · Стереометрия (краткий ответ)

3.10. Конус

Для репетитора: показать ответы

1. Что такое конус

Прямой круговой конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Основание — круг, вершина проектируется в центр основания.

Радиус $r$ (или $R$) — радиус основания.
Высота $h$ — перпендикуляр из вершины на плоскость основания, соединяющий вершину с центром основания.
Образующая $l$ — отрезок от вершины до точки окружности основания. Все образующие равны.
Радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник: $l^2=r^2+h^2$.

2. Формулы

Величина	Формула
Боковая поверхность	$S_{\text{бок}}=\pi rl$
Полная поверхность	$S_{\text{полн}}=\pi r(r+l)=\pi rl+\pi r^2$
Объём	$V=\dfrac13\pi r^2h$

Пример: при $r=5$, $l=13$ боковая поверхность $S_{\text{бок}}=65\pi$.

3. Развёртка конуса

Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор. Его радиус равен образующей $l$, а длина дуги равна длине окружности основания $2\pi r$. Площадь сектора даёт формулу $S_{\text{бок}}=\pi rl$.

4. Сечения конуса

Осевое сечение — равнобедренный треугольник: основание равно диаметру основания конуса $2r$, боковые стороны — образующие $l$, высота треугольника — высота конуса. Если треугольник правильный, то $l=2r$.
Сечение плоскостью, перпендикулярной оси, — круг с центром на оси.
Сечение плоскостью, параллельной основанию, отсекает меньший конус, подобный данному.

5. Усечённый конус

Если конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, и отбросить верхнюю часть, получится усечённый конус. Он задаётся радиусами оснований $R$ и $r$, высотой $h$ и образующей $l$. Боковая поверхность: $S_{\text{бок}}=\pi(R+r)l$.

6. Конус и другие тела

Пирамида вписана в конус, если её основание вписано в окружность основания конуса, а вершина общая.
В любой прямой круговой конус можно вписать шар, и около него можно описать шар.
Конус, вписанный в цилиндр (общие основание и высота): $V_{\text{кон}}=\dfrac13V_{\text{цил}}$.
Если у конуса и цилиндра общие основание и высота и $h=r$, то образующая конуса $l=r\sqrt2$, а отношение боковых поверхностей цилиндра и конуса равно $\sqrt2$.
Конус вписан в сферу, центр которой — центр основания конуса, а вершина лежит на сфере: $l=R\sqrt2$.

7. Подобие и изменение размеров

Если конус сечь плоскостью, параллельной основанию, получается подобный конус с коэффициентом $k$: площади относятся как $k^2$, объёмы — как $k^3$. Если высота уменьшена в 4 раза, объём уменьшится в 64 раза.
Если высоту конуса увеличить в $m$ раз, объём увеличится в $m$ раз. Если радиус увеличить в $m$ раз, объём вырастет в $m^2$ раз.
Задачи про жидкость в конусе решают подобием: уровень жидкости отсекает конус, подобный всему сосуду.

Лайфхак 1. Ищите прямоугольный треугольник. Радиус, высота и образующая всегда образуют прямоугольный треугольник: зная любые две величины, третью находите по теореме Пифагора.

Лайфхак 2. Подобие вместо формул. Для «уровня жидкости в конусе» и сечения, параллельного основанию, не нужно считать радиусы: объёмы относятся как куб отношения высот.

Лайфхак 3. Конус и цилиндр с общим основанием и высотой. Объём конуса ровно в 3 раза меньше объёма цилиндра.

Разобранные примеры

Пример 1

Объем конуса равен 24. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение

Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем меньшего конуса в восемь раз меньше объема большего конуса.

Ответ: 3.

Пример 2

Площадь полной поверхности конуса равна 164. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 1:1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

Решение

Исходный и отсеченный конус подобны с коэффициентом подобия 2. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому площадь отсеченного конуса в 4 раза меньше площади поверхности исходного. Тем самым, она равна 41.

Ответ: 41.

Пример 3

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ высоты. Объём жидкости равен 54 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение

Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуса, он равен 432 мл. Следовательно, необходимо долить 432 − 54 = 378 мл жидкости.

Ответ: 378.

Источники

«Геометрия. Тела и поверхности вращения», Н. В. Андрафанова, iro23.ru, 2024
«Урок по геометрии, 11 класс, по теме "Поверхность конуса"», infourok.ru
«Цилиндр и конус», урок-практикум, 11 класс, infourok.ru
«Стереометрия ЕГЭ 2023. Объёмы и площади поверхностей», Школково (shkolkovo.online)
«Стереометрия», материалы для подготовки к ЕГЭ, egeturbo.ru

У1
Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
У2
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?
У3
Высота конуса равна 3, образующая равна 6. Найдите его объем, деленный на $Пи .$
У4
Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника ABC вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на $Пи .$
У5
Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?
У6
Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на $Пи .$
У7
Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 1 : 1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.
У8
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите $дробь: числитель: V, знаменатель: Пи конец дроби .$
У9
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите $дробь: числитель: V, знаменатель: Пи конец дроби .$
У10
Высота конуса равна 4, а диаметр основания  — 6. Найдите образующую конуса.
У11
Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей  — 5. Найдите высоту конуса.
У12
Площадь основания конуса равна 16π, высота  — 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.
У13
Высота конуса равна 8, а длина образующей  — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
У14
Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
У15
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 18,5 раза, а радиус основания останется прежним?
У16
Высота конуса равна 12, образующая равна 15. Найдите его объем, деленный на $Пи .$
У17
Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника ABC вокруг катета, равного 15. Найдите его объем, деленный на $Пи .$
У18
Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 36 раз, а радиус основания останется прежним?
У19
Высота конуса равна 20, образующая равна 25. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на $Пи .$
У20
Площадь полной поверхности конуса равна 108. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 1:1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.
У21
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите $V/ Пи .$
У22
Высота конуса равна 8, а диаметр основания  — 30. Найдите образующую конуса.
У23
Диаметр основания конуса равен 144, а длина образующей  — 75. Найдите высоту конуса.
У24
Площадь основания конуса равна 9. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
У25
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 5 раз, а радиус основания останется прежним?
У26
Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.
У27
Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 15 раз, а образующая останется прежней?
У28
Высота конуса равна 72, а длина образующей  — 90. Найдите диаметр основания конуса.
У29
В сосуд, имеющий форму конуса, налили 25 мл жидкости до половины высоты сосуда (см. рис.). Сколько миллилитров жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?
У30
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 8 раз, а радиус основания останется прежним?

Д1
Найдите объем V конуса, образующая которого равна 3 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите $дробь: числитель: V, знаменатель: Пи конец дроби .$
Д2
Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 1,5 раза, а высота останется прежней?
Д3
Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.
Д4
Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Д5
Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней?
Д6
Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.
Д7
Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на $Пи .$
Д8
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите $дробь: числитель: V, знаменатель: Пи конец дроби .$
Д9
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите $дробь: числитель: V, знаменатель: Пи конец дроби .$
Д10
Высота конуса равна 4, а длина образующей  — 5. Найдите диаметр основания конуса.
Д11
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Д12
Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Д13
Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей  — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Д14
Найдите объем V конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите $дробь: числитель: V, знаменатель: Пи конец дроби .$
Д15
Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 22 раза, а высота останется прежней?
Д16
Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на $Пи .$
Д17
Длина окружности основания конуса равна 7, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Д18
Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 8 раз, а образующая останется прежней?
Д19
Площадь боковой поверхности конуса в $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ раз больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.
Д20
Радиус основания конуса равен 12, высота равна 16. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π.
Д21
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите $V/ Пи .$
Д22
Высота конуса равна 21, а длина образующей  — 75. Найдите диаметр основания конуса.
Д23
Площадь основания конуса равна 36π, высота  — 3. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Д24
Объем конуса равен 10. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Д25
Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 17 раз, а высота останется прежней?
Д26
Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Д27
Высота конуса равна 5, а диаметр основания − 24. Найдите образующую конуса.
Д28
Диаметр основания конуса равен 108, а длина образующей  — 90. Найдите высоту конуса.
Д29
Площадь основания конуса равна 36π, высота  — 10. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Д30
Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 26 раз, а высота останется прежней?

Величина	Формула
Боковая поверхность	\(S_{\text{бок}}=\pi rl\)
Полная поверхность	\(S_{\text{полн}}=\pi r(r+l)=\pi rl+\pi r^2\)
Объём	\(V=\dfrac13\pi r^2h\)