Задание 3 · Стереометрия (краткий ответ)

3.11. Шар

Для репетитора: показать ответы

1. Шар и сфера

Шар — множество всех точек пространства, которые находятся от данной точки (центра) на расстоянии не больше $R$. Это расстояние — радиус. Поверхность шара называется сферой. Шар получается вращением полукруга вокруг его диаметра (оси); концы оси — полюсы.

2. Основные формулы

Величина	Через радиус $R$	Через диаметр $d$
Площадь поверхности (сферы)	$S=4\pi R^2$	$S=\pi d^2$
Объём шара	$V=\dfrac43\pi R^3$	$V=\dfrac{\pi d^3}{6}$

3. Сечения шара

Пусть $d$ — расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Если $d>R$, плоскость не пересекает шар.
Если $d=R$, плоскость касается шара в одной точке.
Если \(d
Сечение плоскостью, проходящей через центр, называется большим кругом (осевое сечение): его радиус равен радиусу шара, это самый большой круг шара. Остальные сечения — малые круги.

Площадь сечения-круга: $S=\pi r^2$, поэтому для большого круга $S=\pi R^2$.

4. Части шара

Часть	Объём	Поверхность
Шаровой сегмент (высота $H$)	$V=\pi H^2\left(R-\dfrac H3\right)$	$S=2\pi RH$ (шаровой сегмент без основания)
Шаровой слой (высота $H$)	разность объёмов двух шаровых сегментов: $V=V_{\text{больш}}-V_{\text{мал}}$	$S=2\pi RH$
Шаровой сектор	$V=\dfrac23\pi R^2H$	—

5. Шар и другие тела

Шар, вписанный в куб с ребром $a$: $R=\dfrac a2$; у куба, описанного около шара радиуса $R$, ребро равно $2R$.
Шар, описанный около куба с ребром $a$: $R=\dfrac{a\sqrt3}{2}$. Около прямоугольного параллелепипеда: $R$ равен половине диагонали.
Шар, вписанный в цилиндр: диаметр шара равен высоте и диаметру основания цилиндра (цилиндр равносторонний). Тогда $V_{\text{цил}}=\dfrac32V_{\text{шара}}$.
Правильный тетраэдр с ребром $a$: описанный шар $R=\dfrac{a\sqrt6}{4}$, вписанный $r=\dfrac{a\sqrt6}{12}$.
Шар, вписанный в пирамиду: $r=\dfrac{3V}{S_{\text{полн}}}$.
Конус, вписанный в сферу так, что центр сферы — центр основания конуса: $l=R\sqrt2$.

6. Как меняются величины

Радиус шара входит в объём в кубе, а в площадь поверхности — в квадрате. Если радиус увеличить в $k$ раз, площадь поверхности вырастет в $k^2$ раз, а объём — в $k^3$ раз. Шары подобны друг другу.

Лайфхак 1. Объём и площадь через $k$. При изменении радиуса в $k$ раз площадь меняется в $k^2$, объём в $k^3$: если радиус увеличился в 3 раза, объём стал больше в 27 раз.

Лайфхак 2. Площадь сечения шара. Запомните радиус сечения $r=\sqrt{R^2-d^2}$: это теорема Пифагора в треугольнике «центр шара — центр сечения — точка на окружности сечения».

Лайфхак 3. Куб и шар. Вписанный шар касается граней куба, и его диаметр равен ребру; описанный шар проходит через вершины, и его диаметр — диагональ куба.

Лайфхак 4. Цилиндр и шар. Если цилиндр описан около шара, то отношение объёмов $V_{\text{цил}}:V_{\text{шара}}=3:2$: из объёма цилиндра 42 получаем объём шара 28.

Разобранные примеры

Пример 1

Площадь большого круга шара равна 1. Найдите площадь поверхности шара.

Решение

Площадь большого круга равна πR², а площадь поверхности шара равна 4πR², где R  — радиус шара. Следовательно, искомая площадь равна 4.

Ответ: 4.

Пример 2

Площадь поверхности шара равна 12. Найдите площадь большого круга шара.

Решение

Площадь большого круга равна πR², где R  — радиус шара, а площадь поверхности шара равна 4πR²  — в 4 раза больше. Следовательно, искомая площадь равна 3.

Ответ: 3.

Пример 3

Дано два шара. Радиус первого шара в 45 раз больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Решение

Площадь поверхности шара выражается через его радиус формулой $S=4 Пи r в квадрате ,$ поэтому при увеличении радиуса в 45 раз площадь увеличится в 45²  =  2025 раз.

Ответ: 2025.

Источники

«Шар», Википедия (ru.wikipedia.org)
«Шары и многогранники», В. П. Чуваков, учебно-методическое пособие, 2016
«Стереометрия ЕГЭ 2023. Объёмы и площади поверхностей», Школково (shkolkovo.online)
«Геометрия. Тела и поверхности вращения», Н. В. Андрафанова, iro23.ru, 2024
«Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар», учебный проект для 11 класса, staff.tiiame.uz

У1
Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
У2
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?
У3
Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
У4
Объем шара равен 288 $Пи .$ Найдите площадь его поверхности, деленную на $Пи .$
У5
Площадь поверхности шара равна 132. Найдите площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр.
У6
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в десять раз?
У7
Объем второго шара в 1331 раз больше объема первого. Во сколько раз площадь поверхности второго шара больше площади поверхности первого?
У8
Объем шара равен 18 432 $Пи .$ Найдите площадь его поверхности, деленную на $Пи .$
У9
Дано два шара. Радиус первого шара в 14 раз больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
У10
Радиусы двух шаров равны 21 и 72. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
У11
Дано два шара. Радиус первого шара в 19 раз больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
У12
Площадь большого круга шара равна 41. Найдите площадь поверхности шара.
У13
Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
У14
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в пять раз?
У15
Радиусы двух шаров равны 7 и 24. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
У16
Дано два шара. Радиус первого шара в 70 раз больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
У17
Объем второго шара в 216 раз больше объема первого. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
У18
Объем шара равен 972 $Пи .$ Найдите площадь его поверхности, деленную на $Пи .$
У19
Дано два шара. Радиус первого шара в 5 раз больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
У20
Объем второго шара в 1000 раз больше объема первого. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
У21
Площадь большого круга шара равна 17. Найдите площадь поверхности шара.
У22
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?
У23
Радиусы двух шаров равны 15 и 36. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
У24
Дано два шара. Радиус первого шара в 4 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
У25
Объем второго шара в 729 раз больше объема первого. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Д1
Дано два шара. Радиус первого шара в 60 раз больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Д2
Радиусы трех шаров равны 1, 6 и 8. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
Д3
Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
Д4
Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.
Д5
 Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
Д6
Радиусы трех шаров равны 2, 12 и 16. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
Д7
Радиусы двух шаров равны 32 и 60. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
Д8
Площадь поверхности шара равна 184. Найдите площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр.
Д9
Объем первого шара в 2197 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Д10
Площадь большого круга шара равна 24. Найдите площадь поверхности шара.
Д11
Даны два шара. Диаметр второго шара в 8 раз больше диаметра первого. Во сколько раз площадь поверхности второго шара больше площади поверхности первого?
Д12
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в четыре раза?
Д13
Объем шара равен 12348 $Пи .$ Найдите площадь его поверхности, деленную на $Пи .$
Д14
Радиусы трех шаров равны 15, 20 и 25. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
Д15
Объем шара равен 26244 $Пи .$ Найдите площадь его поверхности, деленную на $Пи .$
Д16
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в пятнадцать раз?
Д17
Радиусы двух шаров равны 8 и 15. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
Д18
Площадь большого круга шара равна 7. Найдите площадь поверхности шара.
Д19
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в одиннадцать раз?
Д20
Радиусы двух шаров равны 21 и 28. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
Д21
Дано два шара. Радиус первого шара в 28 раз больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Д22
Объем второго шара в 512 раз больше объема первого. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Д23
Площадь большого круга шара равна 5. Найдите площадь поверхности шара.
Д24
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в шесть раз?

Величина	Через радиус \(R\)	Через диаметр \(d\)
Площадь поверхности (сферы)	\(S=4\pi R^2\)	\(S=\pi d^2\)
Объём шара	\(V=\dfrac43\pi R^3\)	\(V=\dfrac{\pi d^3}{6}\)

Часть	Объём	Поверхность
Шаровой сегмент (высота \(H\))	\(V=\pi H^2\left(R-\dfrac H3\right)\)	\(S=2\pi RH\) (шаровой сегмент без основания)
Шаровой слой (высота \(H\))	разность объёмов двух шаровых сегментов: \(V=V_{\text{больш}}-V_{\text{мал}}\)	\(S=2\pi RH\)
Шаровой сектор	\(V=\dfrac23\pi R^2H\)	—