Задание 3 · Стереометрия (краткий ответ)

3.2. Прямоугольный параллелепипед

Для репетитора: показать ответы

1. Что такое прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед — многогранник с шестью гранями, каждая из которых — параллелограмм. Прямоугольный параллелепипед — прямой параллелепипед с прямоугольником в основании: все его грани — прямоугольники. Три ребра, выходящие из одной вершины, называют его измерениями (длина $a$, ширина $b$, высота $c$).

Противоположные грани равны и параллельны.
Все двугранные углы прямые.
Четыре диагонали параллелепипеда равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

2. Основные формулы

Величина	Формула
Объём	$V=abc$ (или $V=S_{\text{осн}}\cdot h$)
Площадь полной поверхности	$S=2(ab+bc+ac)$
Площадь боковой поверхности	$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$
Диагональ	$d^2=a^2+b^2+c^2$, то есть $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Диагональ основания	$\sqrt{a^2+b^2}$

Квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений. Диагональ получается в два шага: сначала диагональ основания, затем теорема Пифагора для диагонального сечения.

3. Единицы измерения и переливание

$1\ \text{дм}^3=1000\ \text{см}^3$, $1\ \text{м}^3=1000\ \text{дм}^3$, $1$ литр $=1\ \text{дм}^3$.
При переливании жидкости объём сохраняется. Так как $V=S_{\text{осн}}\cdot h$, при увеличении площади основания сосуда в $n$ раз уровень жидкости уменьшается в $n$ раз. Например, если сторона основания увеличилась в 4 раза, то площадь основания — в 16 раз, и высота уровня уменьшится в 16 раз.

4. Подобие

При увеличении всех измерений в $k$ раз площадь поверхности растёт в $k^2$ раз, объём — в $k^3$ раз. Если из прямоугольного параллелепипеда вынули часть, объём остатка равен разности объёмов.

5. Как решать задачи на параллелепипед

Запишите известные величины и выберите формулу: объём, площадь поверхности или диагональ.
Недостающее ребро находите из $V=abc$ (если дан объём и два ребра) или из $S=2(ab+bc+ac)$ (если дана площадь и два ребра).
Если нужна диагональ грани или тела, выделяйте прямоугольные треугольники и применяйте теорему Пифагора.
Если дана диагональ боковой грани и ребро основания, высоту находят по теореме Пифагора.
Следите за единицами: при необходимости переведите в литры или кубические метры.

Лайфхак 1. Нет ребра — найдите его. Если известен объём и два ребра, третье найдите делением: $c=\dfrac{V}{ab}$; если известна площадь и два ребра, подставьте их в $S=2(ab+bc+ac)$ и решите линейное уравнение относительно $c$.

Лайфхак 2. Диагональ — два раза Пифагор. Сначала диагональ основания, затем диагональ тела; формула $d^2=a^2+b^2+c^2$ — это то же самое в одной строке.

Лайфхак 3. Объём не меняется при переливании. Для задач про сосуды и жидкость приравнивайте объёмы до и после и сравнивайте площади оснований.

Лайфхак 4. Масштаб. Для подобных параллелепипедов площади относятся как квадрат, объёмы — как куб коэффициента подобия.

Частые ошибки.

Путают отношение объёмов и отношение площадей: при коэффициенте 2 площадь растёт в 4 раза, а объём в 8 раз.
Забывают перевести единицы: см³, дм³ и литры.

Разобранные примеры

Пример 1

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Решение

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений. Поэтому если x  — искомое ребро, то 2 · 6 · x  =  48, откуда x  =  4.

Ответ: 4.

Пример 2

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности.

Решение

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме попарных произведений его измерений:

$S=2 левая круглая скобка 1 умножить на 2 плюс 2 умножить на 3 плюс 1 умножить на 3 правая круглая скобка =22.$

Ответ: 22.

Пример 3

Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Решение

Объем прямоугольного параллелепипеда равен $V=Sh,$ где S  — площадь грани, а h  — высота перпендикулярного к ней ребра. Имеем

$V=Sh=12 умножить на 4=48.$

Ответ: 48.

Источники

«Стереометрия», материалы подготовки к ЕГЭ, abitur.ivanovo.ac.ru, 2022
«Стереометрия. ЕГЭ 2020», Университет «Синергия», synergy.ru
Материал по заданию 3 ЕГЭ (стереометрия), egeturbo.ru
«Призма и параллелепипед» (математика, профильный уровень), olympmo.ru, 2020
«Многогранники. Тела вращения», методическая разработка, mpk.brstu.ru, 2021

У1
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
У2
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 72. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.
У3
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.
У4
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.
У5
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
У6
Объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD₁CB₁.
У7
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, $D_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB = 4,$ $AD = 3,$ $AA_1 = 4.$
У8
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, $B_1,$ $C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB = 5,$ $AD = 3,$ $AA_1 = 4.$
У9
Найдите расстояние между вершинами А и D $_1$ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA $_1$ = 3.
У10
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что AB  =  4, AD  =  3, $AA_1$   =  5. Найдите угол DBD₁. Ответ дайте в градусах.
У11
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $DD_1=1,$ $CD=2,$ $AD=2.$ Найдите длину диагонали $CA_1.$
У12
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=24,$ $AD=10,$ $AA_1=22.$ Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A, $A_1$ и $C.$
У13
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: AB  =  3, AD  =  5, $AA_1$   =  12. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C₁.
У14
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB  =  3, BC  =  7, BB₁  =  5.
У15
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 52. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
У16
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.
У17
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 0,5 и 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.
У18
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 6. Объем параллелепипеда равен 864. Найдите его диагональ.
У19
Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2 и 7. Найдите его площадь поверхности.
У20
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 7 и 4. Объем параллелепипеда равен 140. Найдите площадь его поверхности.
У21
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, $A_1,$ $B_1,$ $C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB = 7,$ $AD = 5,$ $AA_1 = 10.$
У22
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, $D_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB = 2,$ $AD = 6,$ $AA_1 = 4.$
У23
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, $A_1,$ $D_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB = 3,$ $AD = 3,$ $AA_1 = 6.$
У24
Найдите расстояние между вершинами B и $A_1$ прямоугольного параллелепипеда, для которого $AB=12, AD=7, AA_1=5.$
У25
Найдите угол $C_1BC$ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=5, AD=4, $AA_1$ =4. Дайте ответ в градусах.
У26
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро BC  =  4, ребро $AB = 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ ребро BB₁  =  4. Точка K  — середина ребра CC₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки B₁, A₁ и K.
У27
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: AB = 4, AD = 7, $AA_1$ = 24. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C₁.
У28
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB  =  6, AD  =  8, AA₁  =  5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, A₁, B₁, D₁.
У29
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 162. Площадь одной его грани равна 18. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.
У30
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 4 и 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Д1
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.
Д2
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.
Д3
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.
Д4
Одна из граней прямоугольного параллелепипеда  — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента$ и образует с плоскостью этой грани угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.
Д5
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.
Д6
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A₁, B, C, B₁ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB = 3,$ $AD = 4,$ $AA_1 = 5.$
Д7
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A_1,$ B, C, $C_1,$ $B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB = 4,$ $AD = 3,$ $AA_1 = 4.$
Д8
Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB  =  5, AD  =  4, AA₁=3.
Д9
Найдите угол $ABD_1$ прямоугольного параллелепипеда, для которого $AB=5,$ $AD=4,$ $AA_1=3.$ Дайте ответ в градусах.
Д10
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $BD_1=3,$ $CD=2,$ $AD=2.$ Найдите длину ребра $AA_1.$
Д11
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB=2,$ ребро $AD= корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ ребро $AA_1=2.$ Точка K  — середина ребра $BB_1.$ Найдите площадь сечения, проходящего через точки $A_1,$ $D_1$ и $K.$
Д12
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер $AB=8,$ $AD=6,$ $AA_1=21.$ Найдите синус угла между прямыми CD и $A_1C_1.$
Д13
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB  =  9, BC  =  3, BB₁  =  8.
Д14
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB  =  9, BC  =  6, AA₁  =  5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A₁, B₁, C₁.
Д15
Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 20. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 7. Найдите объем параллелепипеда.
Д16
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 7 и 3. Объем параллелепипеда равен 63. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
Д17
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 32 и 42. Диагональ параллелепипеда равна 58. Найдите объем параллелепипеда.
Д18
Одна из граней прямоугольного параллелепипеда  — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 2 и образует с плоскостью этой грани угол 30°. Найдите объем параллелепипеда.
Д19
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 12. Диагональ параллелепипеда равна 18. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
Д20
Объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 2,7. Найдите объем треугольной пирамиды AD₁CB₁.
Д21
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, $D_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB = 2,$ $AD = 10,$ $AA_1 = 6.$
Д22
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки D, B, $B_1,$ $C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB = 6,$ $AD = 6,$ $AA_1 = 9.$
Д23
Найдите квадрат расстояния между вершинами B и $D_1$ прямоугольного параллелепипеда, для которого $AB=5, AD=5, AA_1=3.$
Д24
Найдите угол $ABD_1$ прямоугольного параллелепипеда, для которого $AB=17,$ $AD=8,$ $AA_1=15.$ Ответ дайте в градусах.
Д25
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $BD_1=5;$ $CC_1=3;$ $B_1C_1= корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$ Найдите длину ребра $AB.$
Д26
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB = 18, AD  =  36 , AA₁ = 15. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C₁.
Д27
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что BC  =  9, CD  =  3, CC₁  =  7. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, C₁.
Д28
Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 16. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.
Д29
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 7 и 2. Объем параллелепипеда равен 112. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
Д30
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите объем параллелепипеда.

Величина	Формула
Объём	\(V=abc\) (или \(V=S_{\text{осн}}\cdot h\))
Площадь полной поверхности	\(S=2(ab+bc+ac)\)
Площадь боковой поверхности	\(S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h\)
Диагональ	\(d^2=a^2+b^2+c^2\), то есть \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Диагональ основания	\(\sqrt{a^2+b^2}\)