Задание 3 · Стереометрия (краткий ответ)

3.3. Элементы составных многогранников

Для репетитора: показать ответы

1. Составной многогранник: о чём задача

В задании №3 даётся рисунок многогранника, составленного из нескольких простых тел — чаще всего из прямоугольных параллелепипедов. В условии обычно сказано, что все двугранные углы такого многогранника прямые. Вопросы этого подтипа — про элементы: число вершин, рёбер, граней, длина отрезка (расстояние между вершинами), угол между рёбрами или гранями.

2. Элементы многогранника

Многогранник — тело, поверхность которого составлена из плоских многоугольников.
Грани — многоугольники, из которых составлена поверхность; рёбра — стороны граней; вершины — вершины граней.
Выпуклый многогранник целиком лежит по одну сторону от плоскости любой своей грани.
Формула Эйлера для выпуклого многогранника: $B-P+\Gamma=2$, где $B$ — число вершин, $P$ — число рёбер, $\Gamma$ — число граней.

3. Как считать вершины, рёбра, грани

Внимательно обойдите рисунок и пронумеруйте грани, рёбра и вершины (включая невидимые, если их можно восстановить из условия «все двугранные углы прямые»).
Для выпуклого многогранника проверьте итог формулой Эйлера.

4. Расстояния и углы при прямых двугранных углах

Если все двугранные углы прямые, любой нужный отрезок достраивают до прямоугольного треугольника.

Расстояние между вершинами: теорема Пифагора $c^2=a^2+b^2$; в пространстве — $d^2=a^2+b^2+c^2$, где $a,b,c$ — «смещения» по трём перпендикулярным рёбрам.
Угол: через тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике: $\sin$ — отношение противолежащего катета к гипотенузе, $\cos$ — прилежащего к гипотенузе, $\operatorname{tg}$ — противолежащего к прилежащему.

$\alpha$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\alpha$	$\tfrac12$	$\tfrac{\sqrt2}{2}$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$
$\cos\alpha$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac{\sqrt2}{2}$	$\tfrac12$
$\operatorname{tg}\alpha$	$\tfrac{\sqrt3}{3}$	1	$\sqrt3$
$\operatorname{ctg}\alpha$	$\sqrt3$	1	$\tfrac{\sqrt3}{3}$

5. Формулы для простых тел внутри фигуры

Для прямоугольного параллелепипеда: диагональ грани $\sqrt{a^2+b^2}$, диагональ тела $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Лайфхак 1. Достройте до параллелепипеда. Если двугранные углы прямые, достраивайте фигуру до параллелепипеда или куба: так проще считать и расстояния, и объём.

Лайфхак 2. Сначала прямоугольный треугольник. Для расстояний и углов сначала достройте прямоугольный треугольник и только потом применяйте Пифагора или тригонометрию.

Лайфхак 3. Формула Эйлера — проверка. Для выпуклого многогранника подсчёт вершин, рёбер и граней проверяйте по $B-P+\Gamma=2$.

Разобранные примеры

Пример 1

Найдите угол BDC многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Решение

Заметим, что ABCD  — квадрат со стороной 5, а BD  — его диагональ. Значит, треугольник CBD  — прямоугольный и равнобедренный, CB = CD. Угол BDC равен 45°.

Ответ: 45.

Пример 2

Найдите угол D₂EF многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Решение

Отрезок D₂E  — диагональ квадрата со стороной 2, значит, треугольник D₂EF  — прямоугольный и равнобедренный, угол D₂EF равен 45°.

Ответ: 45.

Пример 3

Найдите угол CAD₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Решение

Рассмотрим треугольник CAD₂, где AC = CD₂ = AD₂, т. к. являются диагоналями равных квадратов. Следовательно, треугольник CAD₂  — равносторонний, поэтому все его углы равны 60°

Ответ: 60.

Источники

«Многогранники», задание 3 ЕГЭ, examer.ru
Статья «Многогранник», Большая российская энциклопедия (bigenc.ru)
«Геометрия. Многогранники», 10 класс (профильный уровень), school.kco27.ru
Материал по заданию 3 ЕГЭ (стереометрия), egeturbo.ru

У1
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами A и $C_2$ .
У2
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами $B_1$ и $D_2.$
У3
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла B₂A₂C₂.
У4
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D₂.
У5
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла C₂C₃B₂.
У6
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла C₃D₃B₃.
У7
Найдите угол EAD₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
У8
Найдите квадрат расстояния между вершинами A и $B_1$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
У9
Найдите угол $BDA_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
У10
Найдите квадрат расстояния между вершинами D₂ и B₃ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
У11
Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A₃ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
У12
Найдите тангенс угла DCD₃ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
У13
Найдите квадрат расстояния между вершинами E и B₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
У14
Найдите угол AD₂E многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
У15
Найдите квадрат расстояния между вершинами A и $B_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
У16
Найдите угол ABD многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
У17
Найдите квадрат расстояния между вершинами $B_2$ и $D_3$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
У18
Найдите квадрат расстояния между вершинами B и $D_3$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
У19
Найдите тангенс угла $BAA_3$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
У20
Найдите квадрат расстояния между вершинами D и $C_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
У21
Найдите угол $AD_2E$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
У22
Найдите тангенс угла $D_1A_1C_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
У23
Найдите угол $BDA_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
У24
Найдите расстояние между вершинами $D_2$ и $B_1$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
У25
Найдите угол $A_2AD_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Д1
Найдите квадрат расстояния между вершинами A и B₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д2
Найдите угол ABD многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
Д3
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами $B_2$ и $D_3.$
Д4
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и $C_3.$
Д5
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла ABB₃.
Д6
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C₂.
Д7
Найдите расстояние между вершинами A и $C_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д8
Найдите расстояние между вершинами C и $B_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д9
Найдите тангенс угла B₂D₂C₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д10
Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д11
Найдите тангенс угла A₂D₃D₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д12
Найдите тангенс угла B₂C₁C₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д13
Найдите угол D₂EF многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
Д14
Найдите расстояние между вершинами D и $B_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д15
Найдите расстояние между вершинами B и $C_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д16
Найдите тангенс угла $D_1A_1C_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д17
Найдите квадрат расстояния между вершинами B и $D_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д18
Найдите тангенс угла $D_2A_3D_3$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д19
Найдите тангенс угла $D_1A_1D_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д20
Найдите угол AEF многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
Д21
Найдите квадрат расстояния между вершинами A и $B_1$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д22
Найдите угол $AD_2E$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
Д23
Найдите расстояние между вершинами D и $B_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Д24
Найдите угол $CAD_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

\(\alpha\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\sin\alpha\)	\(\tfrac12\)	\(\tfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\tfrac{\sqrt3}{2}\)
\(\cos\alpha\)	\(\tfrac{\sqrt3}{2}\)	\(\tfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\tfrac12\)
\(\operatorname{tg}\alpha\)	\(\tfrac{\sqrt3}{3}\)	1	\(\sqrt3\)
\(\operatorname{ctg}\alpha\)	\(\sqrt3\)	1	\(\tfrac{\sqrt3}{3}\)