Задание 3 · Стереометрия (краткий ответ)

3.6. Призма

Для репетитора: показать ответы

1. Призма: определение и виды

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные $n$-угольники в параллельных плоскостях, а остальные $n$ граней — параллелограммы.

Прямая призма — боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Её высота равна боковому ребру, а боковые грани — прямоугольники.
Наклонная призма — боковые рёбра не перпендикулярны основаниям; высота меньше бокового ребра.
Правильная призма — прямая призма, в основании которой правильный многоугольник.
Параллелепипед — призма с параллелограммом в основании; прямоугольный параллелепипед — прямая призма с прямоугольником в основании; куб — частный случай.

Свойства: основания равны, боковые рёбра параллельны и равны; боковые грани — параллелограммы (в прямой призме — прямоугольники).

2. Формулы

Величина	Формула
Площадь боковой поверхности прямой призмы	$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$ ($h$ — боковое ребро)
Площадь полной поверхности	$S_{\text{полн}}=2S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}$
Объём	$V=S_{\text{осн}}\cdot h$
Объём наклонной призмы	$V=S_\perp\cdot l$, где $S_\perp$ — площадь перпендикулярного сечения, $l$ — боковое ребро
Прямоугольный параллелепипед	$V=abc$, $S=2(ab+bc+ac)$, $d^2=a^2+b^2+c^2$

Для правильной $n$-угольной призмы со стороной основания $a$ и высотой $h$: $S_{\text{бок}}=n\cdot a\cdot h$.

3. Правильная шестиугольная призма

Основание — правильный шестиугольник со стороной $a$.

Сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
Угол между соседними сторонами равен $120^\circ$.
Большая диагональ равна $2a$ и является диаметром описанной окружности.
Меньшая диагональ равна $a\sqrt3$ и перпендикулярна стороне.
Треугольник, образованный стороной и двумя диагоналями, прямоугольный с острыми углами $30^\circ$ и $60^\circ$.

4. Диагонали и расстояния

Диагональ прямой призмы находят в два шага: диагональ основания, затем теорема Пифагора с высотой.
Если дана диагональ боковой грани и ребро основания, высота находится по теореме Пифагора: $h=\sqrt{d^2-a^2}$.
В правильной четырёхугольной призме диагонали делятся точкой пересечения пополам.

5. Подобие, сечения, переливание

Если объём призмы (или куба) увеличили в $k^3$ раз, линейные размеры увеличились в $k$ раз, площадь поверхности — в $k^2$ раз.
Переливание: объём жидкости не меняется; если площадь основания увеличили в $n$ раз, высота уровня уменьшится в $n$ раз.
«Равновеликие» тела — тела с равными объёмами.

Лайфхак 1. Ищите прямые треугольники. Диагонали призмы, высота и диагональ основания образуют прямоугольные треугольники; с ними хватает одной теоремы Пифагора.

Лайфхак 2. Шестиугольник — углы 30° и 60°. В правильной шестиугольной призме выделяйте прямоугольный треугольник со стороной и двумя диагоналями основания: углы $30^\circ$ и $60^\circ$ упрощают вычисления.

Лайфхак 3. Масштаб вместо вычислений. Если объём больше в 8 раз, то ребро больше в 2 раза, а площадь поверхности в 4 раза.

Лайфхак 4. Основание и периметр. Для боковой поверхности достаточно периметра основания и высоты; для объёма — площади основания и высоты.

Частые ошибки.

Путают высоту призмы с боковым ребром: в прямой призме они равны, в наклонной — нет.
Забывают, что в правильной призме боковые грани — прямоугольники, а не произвольные параллелограммы.
Путают большую и меньшую диагонали шестиугольника: большая равна $2a$, меньшая — $a\sqrt3$.
Путают отношение объёмов и отношение площадей при подобии.

Разобранные примеры

Пример 1

Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 12. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в шесть раз?

Решение

Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому если все ребра увеличить в шесть раз, площадь поверхности увеличится в 36 раз. Следовательно, она станет равна 432.

Ответ: 432.

Пример 2

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Решение

Площадь каждой из боковых граней отсечённой призмы вдвое меньше площади соответствующей боковой грани исходной призмы, значит, площадь боковой поверхности исходной призмы равна 16.

Ответ: 16.

Пример 3

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Решение

Площадь основания отсеченной части меньше площади основания всей призмы в 4 раза (так как и высота и основание треугольника уменьшились в 2 раза). Высота осталась прежней, следовательно, объем уменьшился в 4 раза.

Ответ: 13.

Источники

«Стереометрия», материалы подготовки к ЕГЭ, abitur.ivanovo.ac.ru, 2022
«Стереометрия. ЕГЭ 2020», Университет «Синергия», synergy.ru
«Многогранники. Тела вращения», методическая разработка, mpk.brstu.ru, 2021
«Призма и параллелепипед» (математика, профильный уровень), olympmo.ru, 2020
Материал по заданию 3 ЕГЭ (стереометрия), egeturbo.ru

У1
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.
У2
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 и 4, и боковым ребром, равным 3.
У3
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
У4
Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.
У5
От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
У6
В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.
У7
Объём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.
У8
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, $A_1,$ $C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1,$ площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.
У9
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, $A_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1,$ площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.
У10
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, $A_1,$ $B_1,$ $D_1,$ $E_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1,$ площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.
У11
Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой станет площадь поверхности призмы, если все её рёбра увеличатся в три раза, а форма останется прежней?
У12
В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите угол $DAB.$ Ответ дайте в градусах.
У13
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AD_1$ и $B_1D_1.$ Ответ дайте в градусах.
У14
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2700 см³ воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 20 см до отметки 33 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см³.
У15
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота  — 2.
У16
Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.
У17
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 4 и острым углом 30°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 30° и равно 6. Найдите объем параллелепипеда.
У18
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 7.
У19
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12, высота призмы равна 8. Найдите площадь ее поверхности.
У20
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Площадь ее поверхности равна 132. Найдите высоту призмы.
У21
Объем куба равен 52. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.
У22
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, $A_1,$ $B_1,$ $C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1,$ площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 5.
У23
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,B,C,D,E,F,A_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1,$ площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 4.
У24
В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 40. Найдите расстояние между точками A и $D.$
У25
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1,$ все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми $BB_1$ и $AC_1.$ Ответ дайте в градусах.
У26
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 112 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.
У27
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота  — 6.
У28
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 7, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.
У29
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру.
Найдите объём этой призмы, если объём отсеченной треугольной призмы равен 7.
У30
Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Площадь её поверхности равна 72. Найдите боковое ребро призмы.

Д1
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота  — 10.
Д2
Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.
Д3
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60° и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.
Д4
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсеченной треугольной призмы равен 5.
Д5
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.
Д6
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.
Д7
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.
Д8
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A_1,$ $B_1,$ B, C правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1,$ площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.
Д9
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C,$ $A_1, B_1, C_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1,$ площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
Д10
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.
Д11
В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками B и $E.$
Д12
В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1,$ все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми FA и $D_1E_1.$ Ответ дайте в градусах.
Д13
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1,$ все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми $AA_1$ и $BC_1.$ Ответ дайте в градусах.
Д14
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Д15
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 9 и 12, и боковым ребром, равным 5.
Д16
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 7, боковое ребро равно 4. Найдите объем призмы.
Д17
Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 18, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.
Д18
От треугольной призмы, объем которой равен 150, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
Д19
В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 16 и 30. Площадь ее поверхности равна 2588. Найдите боковое ребро этой призмы.
Д20
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 20. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
Д21
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 8.
Д22
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, $A_1,$ $C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1,$ площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 3.
Д23
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, $B_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1,$ площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
Д24
В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 43. Найдите угол $A_1B_1E_1.$ Ответ дайте в градусах.
Д25
В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что CA₁  =  2A₁D₁. Найдите угол между диагоналями BD₁ и AC₁. Ответ дайте в градусах.
Д26
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 180 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в 6 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Д27
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 10 и 24, и боковым ребром, равным 19.
Д28
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 3 и острым углом $30 градусов.$ Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в $30 градусов$ и равно 6. Найдите объем параллелепипеда.
Д29
От треугольной призмы, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
Д30
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 10. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Величина	Формула
Площадь боковой поверхности прямой призмы	\(S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h\) (\(h\) — боковое ребро)
Площадь полной поверхности	\(S_{\text{полн}}=2S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}\)
Объём	\(V=S_{\text{осн}}\cdot h\)
Объём наклонной призмы	\(V=S_\perp\cdot l\), где \(S_\perp\) — площадь перпендикулярного сечения, \(l\) — боковое ребро
Прямоугольный параллелепипед	\(V=abc\), \(S=2(ab+bc+ac)\), \(d^2=a^2+b^2+c^2\)